Номер 36.10, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.10. Двое рабочих вместе изготовили 678 деталей. Первый рабочий работал 8 дней, второй 11 дней. Найдите число деталей, изготовленных каждым рабочим за день, если второй за каждые 4 дня выполнял на 22 детали больше, чем первый за 3 дня.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготавливает первый рабочий за один день, а $y$ — количество деталей, которое изготавливает второй рабочий за один день.

Основываясь на условиях задачи, мы можем составить систему уравнений. Первый рабочий работал 8 дней, а второй — 11 дней. Вместе они изготовили 678 деталей. Это дает нам первое уравнение:

$8x + 11y = 678$

Также известно, что второй рабочий за 4 дня изготавливает на 22 детали больше, чем первый за 3 дня. Количество деталей, изготовленных вторым рабочим за 4 дня, равно $4y$. Количество деталей, изготовленных первым рабочим за 3 дня, равно $3x$. Это условие можно записать в виде второго уравнения:

$4y = 3x + 22$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$\begin{cases} 8x + 11y = 678 \\ 4y = 3x + 22\end{cases}$$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Выразим $x$ из второго уравнения:

$3x = 4y - 22$

$x = \frac{4y - 22}{3}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$8 \left( \frac{4y - 22}{3} \right) + 11y = 678$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:

$8(4y - 22) + 3 \cdot 11y = 678 \cdot 3$

$32y - 176 + 33y = 2034$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$65y - 176 = 2034$

$65y = 2034 + 176$

$65y = 2210$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{2210}{65} = 34$

Таким образом, второй рабочий изготавливает 34 детали в день.

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив 34 в выражение для $x$:

$x = \frac{4 \cdot 34 - 22}{3} = \frac{136 - 22}{3} = \frac{114}{3} = 38$

Следовательно, первый рабочий изготавливает 38 деталей в день.

Проверим правильность решения. Общее количество деталей: $8 \cdot 38 + 11 \cdot 34 = 304 + 374 = 678$ деталей. Условие выполняется. Сравним производительность: второй рабочий за 4 дня изготовил $4 \cdot 34 = 136$ деталей, а первый за 3 дня — $3 \cdot 38 = 114$ деталей. Разница составляет $136 - 114 = 22$ детали, что также соответствует условию задачи.

Ответ: первый рабочий изготавливал 38 деталей в день, второй рабочий изготавливал 34 детали в день.