Номер 36.16, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.16. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как $2 : 3 : 4$, а его объем равен $192\ \text{дм}^3$.

1) Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

2) Если длину и ширину этого параллелепипеда увеличить на $2\ \text{дм}$, то как изменится его объем?

1) Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их отношение $a:b:c = 2:3:4$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить как $a = 2x$, $b = 3x$ и $c = 4x$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. По условию задачи, объем равен $V = 192$ дм³.

Подставим выражения для измерений в формулу объема и составим уравнение:

$(2x) \cdot (3x) \cdot (4x) = 192$

$24x^3 = 192$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x^3 = \frac{192}{24}$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Коэффициент пропорциональности равен 2. Теперь можем найти фактические измерения параллелепипеда:

Первое измерение: $a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ дм.

Второе измерение: $b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ дм.

Третье измерение: $c = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ дм.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 8 дм.

2) Если длину и ширину этого параллелепипеда увеличить на 2 дм, то как изменится его объем?

Из первого пункта мы знаем, что первоначальные измерения параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 8 дм. Предположим, что длина равна 4 дм, ширина — 6 дм, а высота — 8 дм. Первоначальный объем $V_1 = 192$ дм³.

Увеличим длину и ширину на 2 дм, как сказано в условии. Высота при этом не изменяется.

Новая длина: $a' = 4 + 2 = 6$ дм.

Новая ширина: $b' = 6 + 2 = 8$ дм.

Высота: $c' = 8$ дм.

Теперь вычислим новый объем $V_2$ параллелепипеда с новыми измерениями:

$V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = 6 \cdot 8 \cdot 8 = 384$ дм³.

Чтобы определить, как изменился объем, сравним новый объем $V_2$ с первоначальным объемом $V_1$.

Найдем разницу объемов:

$\Delta V = V_2 - V_1 = 384 - 192 = 192$ дм³.

Найдем отношение объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{384}{192} = 2$

Это означает, что объем параллелепипеда увеличился на 192 дм³, то есть стал в 2 раза больше.

Ответ: объем параллелепипеда увеличится в 2 раза (или на 192 дм³).