Номер 36.18, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.18. Если из числителя дроби вычесть 4, знаменатель умножить на 4, то получим $ \frac{1}{12} $. Если же числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получим число 2. Найдите эту дробь.

Обозначим искомую дробь как $\frac{x}{y}$, где $x$ – числитель, а $y$ – знаменатель.

Согласно первому условию задачи, «если из числителя дроби вычесть 4, знаменатель умножить на 4, то получим $\frac{1}{12}$». Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, «если же числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получим число 2». Это дает нам второе уравнение:

$\frac{2x}{y-2} = 2$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12} \\ \frac{2x}{y-2} = 2 \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим каждое уравнение.
Из первого уравнения, используя свойство пропорции, получаем:

$12(x-4) = 4y$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3(x-4) = y$

$y = 3x - 12$

Теперь упростим второе уравнение (при условии, что $y \neq 2$):

$2x = 2(y-2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = y - 2$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 12 \\ x = y - 2 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (3x - 12) - 2$

$x = 3x - 14$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в уравнение $x = y - 2$, чтобы найти $y$:

$7 = y - 2$

$y = 7 + 2$

$y = 9$

Следовательно, искомая дробь равна $\frac{7}{9}$.

Проверим полученный результат.
1. Первое условие: $\frac{7-4}{4 \cdot 9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Условие выполняется.
2. Второе условие: $\frac{2 \cdot 7}{9-2} = \frac{14}{7} = 2$. Условие также выполняется.

Ответ: $\frac{7}{9}$.