Страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

36.12. Требуется оклеить стены комнаты, площадь пола которой имеет квадратную форму и равна $9\text{ м}^2$. Высота комнаты $3\text{ м}$, площадь двери $- 1,8\text{ м}^2$, окна $- 1,5\text{ м}^2$ и одним рулоном можно оклеить $7,2\text{ м}^2$.

1) Найдите число рулонов, которые потребуются для оклейки комнаты.

2) Какую сумму надо заплатить за обои, если цена обоев $650\text{ тг}$ за один рулон?

1) Найдите число рулонов, которые потребуются для оклейки комнаты.

Для решения задачи выполним следующие шаги:
1. Найдем размеры комнаты.
Площадь пола комнаты имеет квадратную форму и равна $S_{пола} = 9$ м². Длина стороны квадратного пола 'a' вычисляется как квадратный корень из площади:
$a = \sqrt{S_{пола}} = \sqrt{9 \text{ м}^2} = 3$ м.
Высота комнаты по условию равна $h = 3$ м.
2. Рассчитаем общую площадь стен.
В комнате 4 одинаковые стены, так как основание — квадрат. Площадь одной стены равна произведению ее длины на высоту. Общая площадь стен (площадь боковой поверхности) равна:
$S_{стен} = 4 \times (a \times h) = 4 \times (3 \text{ м} \times 3 \text{ м}) = 4 \times 9 \text{ м}^2 = 36$ м².
3. Вычислим площадь поверхности для оклейки.
Из общей площади стен необходимо вычесть площадь двери ($S_{двери} = 1,8$ м²) и площадь окна ($S_{окна} = 1,5$ м²), так как эти участки не оклеиваются обоями.
$S_{окл} = S_{стен} - S_{двери} - S_{окна} = 36 \text{ м}^2 - 1,8 \text{ м}^2 - 1,5 \text{ м}^2 = 32,7$ м².
4. Определим необходимое количество рулонов.
Один рулон обоев покрывает площадь 7,2 м². Чтобы найти количество рулонов, разделим площадь для оклейки на площадь, которую покрывает один рулон:
Количество рулонов = $S_{окл} \div 7,2 \text{ м}^2 = 32,7 \div 7,2 \approx 4,5416...$
Поскольку рулоны продаются только целиком, необходимое количество нужно округлить в большую сторону до ближайшего целого числа.
$4,5416... \approx 5$ рулонов.
Ответ: 5 рулонов.

2) Какую сумму надо заплатить за обои, если цена обоев 650 тг за один рулон?

Мы определили, что для ремонта необходимо 5 рулонов обоев. Цена одного рулона составляет 650 тг.
Чтобы найти общую стоимость покупки, нужно умножить количество рулонов на цену за один рулон:
Общая стоимость = $5 \times 650 \text{ тг} = 3250$ тг.
Ответ: 3250 тг.

36.13. Сколько литров воды потребуется для заполнения пустого аквариума, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, если объем воды, который в него надо налить, равен объему куба с длиной стороны, равной $30 \text{ см}$?

Согласно условию, нам нужно найти объем воды в литрах. Этот объем равен объему куба с длиной стороны 30 см. Таким образом, задача сводится к вычислению объема куба и последующему переводу единиц измерения в литры.

1. Найдем объем куба. Формула для вычисления объема куба ($V$) с ребром $a$ выглядит так:

$V = a^3$

Подставим в формулу длину стороны куба $a = 30$ см:

$V = (30 \text{ см})^3 = 30 \times 30 \times 30 = 27000 \text{ см}^3$

2. Объем воды, который нужно налить в аквариум, равен вычисленному объему куба:

$V_{воды} = 27000 \text{ см}^3$

3. Теперь переведем полученный объем из кубических сантиметров в литры. Известно, что 1 литр равен 1 кубическому дециметру ($1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$), а в одном кубическом дециметре содержится 1000 кубических сантиметров ($1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$).

Следовательно, для перевода $27000 \text{ см}^3$ в литры, нужно разделить это число на 1000:

$27000 \text{ см}^3 = \frac{27000}{1000} \text{ л} = 27 \text{ л}$

Ответ: 27 л.

36.14. Клумба имеет форму прямоугольника, длины сторон которого относятся как 3:4. Найдите размеры прямоугольника, если площадь клумбы равна $4800 \text{ дм}^2$.

Пусть меньшая сторона прямоугольника равна $a$, а большая сторона равна $b$. Согласно условию задачи, длины сторон относятся как $3:4$. Это можно записать как $a:b = 3:4$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон можно выразить следующим образом: $a = 3x$ дм и $b = 4x$ дм.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию, площадь клумбы равна $4800 \text{ дм}^2$.

Составим уравнение, подставив выражения для сторон и значение площади в формулу:

$(3x) \cdot (4x) = 4800$

$12x^2 = 4800$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x^2 = \frac{4800}{12}$

$x^2 = 400$

Поскольку $x$ является коэффициентом для вычисления длины, его значение должно быть положительным. Найдем положительный корень уравнения:

$x = \sqrt{400} = 20$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти размеры прямоугольника:

Меньшая сторона: $a = 3x = 3 \cdot 20 = 60$ дм.

Большая сторона: $b = 4x = 4 \cdot 20 = 80$ дм.

Ответ: размеры прямоугольника 60 дм и 80 дм.

36.15. Клумба имеет форму прямоугольника, у которого ширина составляет $\frac{5}{7}$ от его длины.

1) Найдите размеры клумбы, если ее площадь равна $3500 \text{ дм}^2$.

2) Сколько блоков декоративного ограждения потребуется для ее ограждения, если длина одного блока декоративного ограждения составляет 50 см?

1) Найдите размеры клумбы, если ее площадь равна 3500 дм².

Пусть длина клумбы равна $l$ дм, а ширина – $w$ дм. Согласно условию задачи, ширина составляет $\frac{5}{7}$ от длины, что можно записать в виде формулы: $w = \frac{5}{7}l$. Площадь $S$ прямоугольной клумбы вычисляется как произведение ее длины на ширину: $S = l \cdot w$. Известно, что площадь равна $3500$ дм². Подставим выражение для ширины $w$ в формулу площади: $l \cdot (\frac{5}{7}l) = 3500$ $\frac{5}{7}l^2 = 3500$ Чтобы найти $l^2$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{5}$: $l^2 = 3500 \cdot \frac{7}{5}$ $l^2 = \frac{24500}{5} = 4900$ Теперь найдем длину $l$, извлекая квадратный корень: $l = \sqrt{4900} = 70$ дм. Зная длину, можем найти ширину: $w = \frac{5}{7} \cdot l = \frac{5}{7} \cdot 70 = 5 \cdot 10 = 50$ дм.
Ответ: длина клумбы 70 дм, ширина 50 дм.

2) Сколько блоков декоративного ограждения потребуется для ее ограждения, если длина одного блока декоративного ограждения составляет 50 см?

Чтобы узнать, сколько блоков потребуется для ограждения, нужно сначала найти периметр клумбы. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2 \cdot (l + w)$ Используя найденные в предыдущем пункте размеры ($l=70$ дм и $w=50$ дм): $P = 2 \cdot (70 + 50) = 2 \cdot 120 = 240$ дм. Длина одного блока ограждения дана в сантиметрах (50 см), поэтому необходимо перевести периметр клумбы в ту же единицу измерения. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), следовательно: $P = 240 \text{ дм} = 240 \cdot 10 \text{ см} = 2400 \text{ см}$. Теперь разделим общий периметр на длину одного блока, чтобы найти их необходимое количество: Количество блоков = $\frac{\text{Периметр клумбы}}{\text{Длина одного блока}} = \frac{2400 \text{ см}}{50 \text{ см}} = 48$.
Ответ: потребуется 48 блоков.

36.16. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как $2 : 3 : 4$, а его объем равен $192\ \text{дм}^3$.

1) Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

2) Если длину и ширину этого параллелепипеда увеличить на $2\ \text{дм}$, то как изменится его объем?

1) Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их отношение $a:b:c = 2:3:4$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда измерения можно выразить как $a = 2x$, $b = 3x$ и $c = 4x$.

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. По условию задачи, объем равен $V = 192$ дм³.

Подставим выражения для измерений в формулу объема и составим уравнение:

$(2x) \cdot (3x) \cdot (4x) = 192$

$24x^3 = 192$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$x^3 = \frac{192}{24}$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8} = 2$

Коэффициент пропорциональности равен 2. Теперь можем найти фактические измерения параллелепипеда:

Первое измерение: $a = 2x = 2 \cdot 2 = 4$ дм.

Второе измерение: $b = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ дм.

Третье измерение: $c = 4x = 4 \cdot 2 = 8$ дм.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 8 дм.

2) Если длину и ширину этого параллелепипеда увеличить на 2 дм, то как изменится его объем?

Из первого пункта мы знаем, что первоначальные измерения параллелепипеда равны 4 дм, 6 дм и 8 дм. Предположим, что длина равна 4 дм, ширина — 6 дм, а высота — 8 дм. Первоначальный объем $V_1 = 192$ дм³.

Увеличим длину и ширину на 2 дм, как сказано в условии. Высота при этом не изменяется.

Новая длина: $a' = 4 + 2 = 6$ дм.

Новая ширина: $b' = 6 + 2 = 8$ дм.

Высота: $c' = 8$ дм.

Теперь вычислим новый объем $V_2$ параллелепипеда с новыми измерениями:

$V_2 = a' \cdot b' \cdot c' = 6 \cdot 8 \cdot 8 = 384$ дм³.

Чтобы определить, как изменился объем, сравним новый объем $V_2$ с первоначальным объемом $V_1$.

Найдем разницу объемов:

$\Delta V = V_2 - V_1 = 384 - 192 = 192$ дм³.

Найдем отношение объемов:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{384}{192} = 2$

Это означает, что объем параллелепипеда увеличился на 192 дм³, то есть стал в 2 раза больше.

Ответ: объем параллелепипеда увеличится в 2 раза (или на 192 дм³).

36.17. Здание имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его ширина в 6 раз меньше длины и в 3 раза меньше высоты. Найдите высоту здания, если площадь его боковой поверхности равна 8232 $\text{м}^2$.

Обозначим ширину здания как $w$, длину как $l$ и высоту как $h$.

Из условия задачи следует, что ширина в 6 раз меньше длины, то есть $l = 6w$. Также ширина в 3 раза меньше высоты, значит, $h = 3w$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания. Периметр основания в данном случае равен $P_{осн} = 2(l+w)$.

Таким образом, формула площади боковой поверхности: $S_{бок} = 2(l+w)h$.

Подставим в эту формулу выражения для $l$ и $h$ через $w$:
$S_{бок} = 2(6w + w)(3w)$
$S_{бок} = 2(7w)(3w)$
$S_{бок} = 14w \cdot 3w$
$S_{бок} = 42w^2$

Нам известно, что площадь боковой поверхности равна 8232 м². Составим уравнение:
$42w^2 = 8232$

Решим это уравнение, чтобы найти ширину $w$:
$w^2 = \frac{8232}{42}$
$w^2 = 196$
$w = \sqrt{196}$
$w = 14$ (м)

Теперь, зная ширину, найдем высоту здания:
$h = 3w = 3 \cdot 14 = 42$ (м)

Ответ: высота здания равна 42 м.

36.18. Если из числителя дроби вычесть 4, знаменатель умножить на 4, то получим $ \frac{1}{12} $. Если же числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получим число 2. Найдите эту дробь.

Обозначим искомую дробь как $\frac{x}{y}$, где $x$ – числитель, а $y$ – знаменатель.

Согласно первому условию задачи, «если из числителя дроби вычесть 4, знаменатель умножить на 4, то получим $\frac{1}{12}$». Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, «если же числитель дроби умножить на 2, а из знаменателя вычесть 2, то получим число 2». Это дает нам второе уравнение:

$\frac{2x}{y-2} = 2$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{x-4}{4y} = \frac{1}{12} \\ \frac{2x}{y-2} = 2 \end{cases}$

Решим эту систему. Сначала упростим каждое уравнение.
Из первого уравнения, используя свойство пропорции, получаем:

$12(x-4) = 4y$

Разделим обе части уравнения на 4:

$3(x-4) = y$

$y = 3x - 12$

Теперь упростим второе уравнение (при условии, что $y \neq 2$):

$2x = 2(y-2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = y - 2$

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} y = 3x - 12 \\ x = y - 2 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (3x - 12) - 2$

$x = 3x - 14$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, подставим его в уравнение $x = y - 2$, чтобы найти $y$:

$7 = y - 2$

$y = 7 + 2$

$y = 9$

Следовательно, искомая дробь равна $\frac{7}{9}$.

Проверим полученный результат.
1. Первое условие: $\frac{7-4}{4 \cdot 9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Условие выполняется.
2. Второе условие: $\frac{2 \cdot 7}{9-2} = \frac{14}{7} = 2$. Условие также выполняется.

Ответ: $\frac{7}{9}$.