Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.2. Найдите значение выражения:

1) $\frac{2x - 1}{x}$ при $x = 3; 1; -5; -\frac{1}{2}; -1,6; 100$

2) $\frac{3a - 7}{2a + 5}$ при $a = -2; -0,4; 0; 2,5$

3) $\frac{b^2 + 6}{3b - 4}$ при $b = 3; 4,4; 5; 6$

4) $2x + \frac{8}{x + 1}$ при $x = -\frac{1}{2}; 0,5; 1; 3$

5) $\frac{y + 3}{2y} + \frac{2y}{y - 3}$ при $y = 1,5; 2,5; 4; 4,5$

6) $\frac{x + 3}{x} + \frac{x}{x - 3}$ при $x = -\frac{1}{2}; 1,5; 2; 3$

7) $\frac{(a + b)^2 - 1}{a^2 + 1}$ при $a = -3, b = -1$

8) $\frac{2a^2 - b}{b^2 + 1} - \frac{1}{a}$ при $a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5$

1) Найдем значение выражения $\frac{2x - 1}{x}$ при заданных значениях $x$.

При $x = 3$: $\frac{2(3) - 1}{3} = \frac{6 - 1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

При $x = 1$: $\frac{2(1) - 1}{1} = \frac{2 - 1}{1} = 1$.

При $x = -5$: $\frac{2(-5) - 1}{-5} = \frac{-10 - 1}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2,2$.

При $x = \frac{1}{2}$: $\frac{2(\frac{1}{2}) - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{1 - 1}{\frac{1}{2}} = \frac{0}{\frac{1}{2}} = 0$.

При $x = -1,6$: $\frac{2(-1,6) - 1}{-1,6} = \frac{-3,2 - 1}{-1,6} = \frac{-4,2}{-1,6} = \frac{42}{16} = \frac{21}{8} = 2,625$.

При $x = 100$: $\frac{2(100) - 1}{100} = \frac{200 - 1}{100} = \frac{199}{100} = 1,99$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$; $1$; $2,2$; $0$; $2,625$; $1,99$.

2) Найдем значение выражения $\frac{3a - 7}{2a + 5}$ при заданных значениях $a$.

При $a = -2$: $\frac{3(-2) - 7}{2(-2) + 5} = \frac{-6 - 7}{-4 + 5} = \frac{-13}{1} = -13$.

При $a = -0,4$: $\frac{3(-0,4) - 7}{2(-0,4) + 5} = \frac{-1,2 - 7}{-0,8 + 5} = \frac{-8,2}{4,2} = -\frac{82}{42} = -\frac{41}{21} = -1\frac{20}{21}$.

При $a = 0$: $\frac{3(0) - 7}{2(0) + 5} = \frac{0 - 7}{0 + 5} = -\frac{7}{5} = -1,4$.

При $a = 2,5$: $\frac{3(2,5) - 7}{2(2,5) + 5} = \frac{7,5 - 7}{5 + 5} = \frac{0,5}{10} = 0,05$.

Ответ: $-13$; $-1\frac{20}{21}$; $-1,4$; $0,05$.

3) Найдем значение выражения $\frac{b^2 + 6}{3b - 4}$ при заданных значениях $b$.

При $b = 3$: $\frac{3^2 + 6}{3(3) - 4} = \frac{9 + 6}{9 - 4} = \frac{15}{5} = 3$.

При $b = 4,4$: $\frac{(4,4)^2 + 6}{3(4,4) - 4} = \frac{19,36 + 6}{13,2 - 4} = \frac{25,36}{9,2} = \frac{2536}{920} = \frac{317}{115} = 2\frac{87}{115}$.

При $b = 5$: $\frac{5^2 + 6}{3(5) - 4} = \frac{25 + 6}{15 - 4} = \frac{31}{11} = 2\frac{9}{11}$.

При $b = 6$: $\frac{6^2 + 6}{3(6) - 4} = \frac{36 + 6}{18 - 4} = \frac{42}{14} = 3$.

Ответ: $3$; $2\frac{87}{115}$; $2\frac{9}{11}$; $3$.

4) Найдем значение выражения $2x + \frac{8}{x+1}$ при заданных значениях $x$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $2(-\frac{1}{2}) + \frac{8}{-\frac{1}{2} + 1} = -1 + \frac{8}{\frac{1}{2}} = -1 + 16 = 15$.

При $x = 0,5$: $2(0,5) + \frac{8}{0,5 + 1} = 1 + \frac{8}{1,5} = 1 + \frac{8}{3/2} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$.

При $x = 1$: $2(1) + \frac{8}{1 + 1} = 2 + \frac{8}{2} = 2 + 4 = 6$.

При $x = 3$: $2(3) + \frac{8}{3 + 1} = 6 + \frac{8}{4} = 6 + 2 = 8$.

Ответ: $15$; $6\frac{1}{3}$; $6$; $8$.

5) Найдем значение выражения $\frac{y+3}{2y} + \frac{2y}{y-3}$ при заданных значениях $y$.

При $y = 1,5$: $\frac{1,5+3}{2(1,5)} + \frac{2(1,5)}{1,5-3} = \frac{4,5}{3} + \frac{3}{-1,5} = 1,5 - 2 = -0,5$.

При $y = 2,5$: $\frac{2,5+3}{2(2,5)} + \frac{2(2,5)}{2,5-3} = \frac{5,5}{5} + \frac{5}{-0,5} = 1,1 - 10 = -8,9$.

При $y = 4$: $\frac{4+3}{2(4)} + \frac{2(4)}{4-3} = \frac{7}{8} + \frac{8}{1} = \frac{7}{8} + 8 = 8\frac{7}{8}$.

При $y = 4,5$: $\frac{4,5+3}{2(4,5)} + \frac{2(4,5)}{4,5-3} = \frac{7,5}{9} + \frac{9}{1,5} = \frac{75}{90} + 6 = \frac{5}{6} + 6 = 6\frac{5}{6}$.

Ответ: $-0,5$; $-8,9$; $8\frac{7}{8}$; $6\frac{5}{6}$.

6) Найдем значение выражения $\frac{x+3}{x} + \frac{x}{x-3}$ при заданных значениях $x$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $\frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}} + \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-3} = \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} + \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{7}{2}} = -5 + \frac{1}{7} = -\frac{35}{7} + \frac{1}{7} = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7}$.

При $x = 1,5$: $\frac{1,5+3}{1,5} + \frac{1,5}{1,5-3} = \frac{4,5}{1,5} + \frac{1,5}{-1,5} = 3 - 1 = 2$.

При $x = 2$: $\frac{2+3}{2} + \frac{2}{2-3} = \frac{5}{2} + \frac{2}{-1} = 2,5 - 2 = 0,5$.

При $x = 3$: знаменатель дроби $\frac{x}{x-3}$ обращается в ноль ($3-3=0$), поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: $-4\frac{6}{7}$; $2$; $0,5$; при $x=3$ выражение не имеет смысла.

7) Найдем значение выражения $\frac{(a+b)^2 - 1}{a^2 + 1}$ при $a = -3, b = -1$.

$\frac{(-3 + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

8) Найдем значение выражения $\frac{2a^2 - b}{b^2 + 1} - \frac{1}{a}$ при $a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5$.

Переведем значения в дроби: $a = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $b = 0,5 = \frac{1}{2}$.

Подставим значения в выражение: $\frac{2(\frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2 + 1} - \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2(\frac{9}{4}) - \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + 1} - \frac{2}{3} = \frac{\frac{9}{2} - \frac{1}{2}}{\frac{5}{4}} - \frac{2}{3} = \frac{\frac{8}{2}}{\frac{5}{4}} - \frac{2}{3} = \frac{4}{\frac{5}{4}} - \frac{2}{3}$.

Выполним вычисления: $4 \cdot \frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{16}{5} - \frac{2}{3} = \frac{16 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15} = \frac{48 - 10}{15} = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15}$.

Ответ: $2\frac{8}{15}$.

37.3. Заполните таблицу 37.1.

Таблица 37.1

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждого значения x из верхней строки вычислить значение выражения $\frac{x+5}{x-3}$ и записать результат в соответствующую ячейку нижней строки.

При $x = -13$
Подставим значение $x = -13$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-13+5}{-13-3} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$ или $0,5$.
Ответ: $0,5$.

При $x = -5$
Подставим значение $x = -5$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-5+5}{-5-3} = \frac{0}{-8} = 0$.
Ответ: $0$.

При $x = -0,2$
Подставим значение $x = -0,2$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{-0,2+5}{-0,2-3} = \frac{4,8}{-3,2} = -\frac{48}{32} = -\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 16} = -\frac{3}{2}$ или $-1,5$.
Ответ: $-1,5$.

При $x = 0$
Подставим значение $x = 0$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{0+5}{0-3} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.
Ответ: $-\frac{5}{3}$.

При $x = \frac{1}{17}$
Подставим значение $x = \frac{1}{17}$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{\frac{1}{17}+5}{\frac{1}{17}-3} = \frac{\frac{1}{17}+\frac{5 \cdot 17}{17}}{\frac{1}{17}-\frac{3 \cdot 17}{17}} = \frac{\frac{1+85}{17}}{\frac{1-51}{17}} = \frac{\frac{86}{17}}{-\frac{50}{17}} = \frac{86}{17} \cdot \left(-\frac{17}{50}\right) = -\frac{86}{50} = -\frac{43}{25}$ или $-1,72$.
Ответ: $-\frac{43}{25}$.

При $x = 1$
Подставим значение $x = 1$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{1+5}{1-3} = \frac{6}{-2} = -3$.
Ответ: $-3$.

При $x = 5\frac{2}{3}$
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
Подставим значение $x = \frac{17}{3}$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{\frac{17}{3}+5}{\frac{17}{3}-3} = \frac{\frac{17}{3}+\frac{15}{3}}{\frac{17}{3}-\frac{9}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
Ответ: $4$.

При $x = 7$
Подставим значение $x = 7$ в выражение:
$\frac{x+5}{x-3} = \frac{7+5}{7-3} = \frac{12}{4} = 3$.
Ответ: $3$.

Заполненная таблица 37.1 выглядит следующим образом:

37.4. Укажите значения переменной, при которых не имеет смысла выражение:

1) $\frac{x}{x-2}$;

2) $\frac{b+4}{b^2+7}$;

3) $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$;

4) $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$;

5) $\frac{y^3-1}{2-y} - \frac{2y}{3y-3}$;

6) $\frac{c^2-1}{3c} + \frac{4c}{2c-3}$.

1) Дробное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. В выражении $\frac{x}{x-2}$ знаменатель равен $x-2$. Приравняем его к нулю, чтобы найти недопустимые значения переменной $x$.
$x - 2 = 0$
$x = 2$
При $x=2$ знаменатель обращается в ноль, и на ноль делить нельзя.
Ответ: при $x=2$.

2) В выражении $\frac{b+4}{b^2+7}$ знаменатель равен $b^2+7$. Выражение не будет иметь смысла, если знаменатель равен нулю.
$b^2 + 7 = 0$
$b^2 = -7$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Следовательно, уравнение $b^2 = -7$ не имеет решений в действительных числах. Это означает, что знаменатель $b^2+7$ никогда не равен нулю.
Ответ: таких значений нет.

3) Выражение $\frac{y^2-1}{y} + \frac{y}{y-3}$ является суммой двух дробей. Оно не имеет смысла, если знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю.
Первый знаменатель: $y$. Он равен нулю при $y=0$.
Второй знаменатель: $y-3$. Он равен нулю при $y-3=0$, то есть $y=3$.
Следовательно, выражение не имеет смысла при двух значениях переменной.
Ответ: при $y=0$ и $y=3$.

4) В выражении $\frac{a+10}{a(a-1)} - 1$ знаменатель дроби равен $a(a-1)$. Выражение не имеет смысла, когда этот знаменатель равен нулю.
$a(a-1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$a = 0$ или $a - 1 = 0$
$a = 0$ или $a = 1$
Таким образом, выражение не определено при двух значениях переменной.
Ответ: при $a=0$ и $a=1$.

5) Выражение $\frac{y^3-1}{2-y} - \frac{2y}{3y-3}$ является разностью двух дробей. Оно не имеет смысла, если знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю.
Первый знаменатель: $2-y$. Он равен нулю при $2-y=0$, то есть $y=2$.
Второй знаменатель: $3y-3$. Он равен нулю при $3y-3=0$, что равносильно $3(y-1)=0$, то есть $y=1$.
Следовательно, выражение не имеет смысла при двух значениях переменной.
Ответ: при $y=1$ и $y=2$.

6) Выражение $\frac{c^2-1}{3c} + \frac{4c}{2c-3}$ является суммой двух дробей. Оно не имеет смысла, если знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю.
Первый знаменатель: $3c$. Он равен нулю при $3c=0$, то есть $c=0$.
Второй знаменатель: $2c-3$. Он равен нулю при $2c-3=0$, что равносильно $2c=3$, то есть $c=\frac{3}{2}$.
Следовательно, выражение не имеет смысла при двух значениях переменной.
Ответ: при $c=0$ и $c=\frac{3}{2}$.

37.5. Составьте дробь, у которой числитель:

1) произведение переменных $x$ и $y$, знаменатель — сумма $2x$ и $3y$;

2) разность выражений $2a$ и $b - 1$, знаменатель — их произведение.

1) Согласно условию, числителем дроби является произведение переменных $x$ и $y$. Математически это записывается как $xy$. Знаменателем является сумма выражений $2x$ и $3y$, что записывается как $2x + 3y$. Таким образом, искомая дробь представляет собой отношение числителя к знаменателю.
Ответ: $\frac{xy}{2x + 3y}$

2) В данном случае числителем дроби является разность выражений $2a$ и $b - 1$. Это записывается как $2a - (b - 1)$, что после раскрытия скобок равно $2a - b + 1$. Знаменателем является произведение этих же выражений, то есть $2a \cdot (b - 1)$. Составим дробь, подставив найденные выражения в числитель и знаменатель.
Ответ: $\frac{2a - b + 1}{2a(b - 1)}$