Страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите алгебраические дроби (38.1–38.2):

38.1. 1) $\frac{12xa}{15ya}$;

2) $\frac{12cb^2}{9bc^3}$;

3) $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$;

4) $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$;

5) $\frac{-4ax^2}{12xy}$;

6) $\frac{9axy^2}{6ay^3}$;

7) $\frac{48a^2c^2}{36ac}$;

8) $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{12xa}{15ya}$, мы должны разделить и числитель, и знаменатель на их общие множители.
Сначала рассмотрим числовые коэффициенты 12 и 15. Наибольший общий делитель (НОД) для 12 и 15 равен 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Делим 15 на 3, получаем 5.
Теперь рассмотрим переменные. Переменная $a$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому она сокращается ($a/a = 1$). Переменные $x$ и $y$ не имеют общих множителей.
Собираем все вместе: $\frac{12xa}{15ya} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot x \cdot a}{(3 \cdot 5) \cdot y \cdot a} = \frac{4x}{5y}$.
Ответ: $\frac{4x}{5y}$

2) Сократим дробь $\frac{12cb^2}{9bc^3}$.
Коэффициенты 12 и 9 имеют НОД, равный 3. $12 \div 3 = 4$, $9 \div 3 = 3$.
Сокращаем переменные. Для этого используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Для переменной $b$: $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b^1 = b$.
Для переменной $c$: $\frac{c}{c^3} = c^{1-3} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$.
Объединяя результаты, получаем: $\frac{12cb^2}{9bc^3} = \frac{4b}{3c^2}$.
Ответ: $\frac{4b}{3c^2}$

3) Сократим дробь $\frac{12ay^3}{-8a^2y}$.
Коэффициенты 12 и -8. НОД(12, 8) = 4. Так как один из коэффициентов отрицательный, вся дробь будет отрицательной. $\frac{12}{-8} = -\frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $a$: $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Для переменной $y$: $\frac{y^3}{y} = y^{3-1} = y^2$.
Итоговый результат: $\frac{12ay^3}{-8a^2y} = -\frac{3y^2}{2a}$.
Ответ: $-\frac{3y^2}{2a}$

4) Сократим дробь $\frac{-6p^3q}{-12q^3}$.
Коэффициенты -6 и -12. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное. НОД(6, 12) = 6. $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $p^3$ находится только в числителе, поэтому она остается там.
Для переменной $q$: $\frac{q}{q^3} = q^{1-3} = q^{-2} = \frac{1}{q^2}$.
Собираем все вместе: $\frac{-6p^3q}{-12q^3} = \frac{p^3}{2q^2}$.
Ответ: $\frac{p^3}{2q^2}$

5) Сократим дробь $\frac{-4ax^2}{12xy}$.
Коэффициенты -4 и 12. НОД(4, 12) = 4. Дробь будет отрицательной. $\frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $a$ остается в числителе.
Для переменной $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.
Переменная $y$ остается в знаменателе.
Объединяем: $\frac{-4ax^2}{12xy} = -\frac{ax}{3y}$.
Ответ: $-\frac{ax}{3y}$

6) Сократим дробь $\frac{9axy^2}{6ay^3}$.
Коэффициенты 9 и 6. НОД(9, 6) = 3. $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные:
Переменная $a$ сокращается ($a/a=1$).
Переменная $x$ остается в числителе.
Для переменной $y$: $\frac{y^2}{y^3} = y^{2-3} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Результат: $\frac{9axy^2}{6ay^3} = \frac{3x}{2y}$.
Ответ: $\frac{3x}{2y}$

7) Сократим дробь $\frac{48a^2c^2}{36ac}$.
Коэффициенты 48 и 36. НОД(48, 36) = 12. $\frac{48}{36} = \frac{4}{3}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$.
Для переменной $c$: $\frac{c^2}{c} = c^{2-1} = c$.
Итоговый вид дроби: $\frac{48a^2c^2}{36ac} = \frac{4ac}{3}$.
Ответ: $\frac{4ac}{3}$

8) Сократим дробь $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4}$.
Коэффициенты 63 и 84. Найдем НОД(63, 84). $63=3 \cdot 21$, $84=4 \cdot 21$. Значит НОД равен 21. $\frac{63}{84} = \frac{3 \cdot 21}{4 \cdot 21} = \frac{3}{4}$.
Сокращаем переменные:
Для переменной $x$: $\frac{x^3}{x^6} = x^{3-6} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.
Для переменной $y$: $\frac{y^5}{y^4} = y^{5-4} = y$.
Объединяем полученные части: $\frac{63x^3y^5}{84x^6y^4} = \frac{3y}{4x^3}$.
Ответ: $\frac{3y}{4x^3}$

38.2. 1) $ \frac{18bc}{24c} $;

2) $ \frac{25a^2 y}{15by} $;

3) $ \frac{24a^3}{6ac} $;

4) $ \frac{27x^2 y}{21xy^3} $;

5) $ \frac{-2a^6 b^3}{a^3 b^5} $;

6) $ \frac{x^7 y^4}{x^5 y^8} $;

7) $ \frac{42m^3 n^5}{35mn^5} $;

8) $ \frac{75p^4 q}{150p^5 q} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{18bc}{24c}$, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе.
Разложим числовые коэффициенты на множители: $18 = 3 \cdot 6$ и $24 = 4 \cdot 6$.
Переменная $c$ является общим множителем для числителя и знаменателя.
Запишем дробь с разложенными множителями и сократим общие:
$\frac{18bc}{24c} = \frac{3 \cdot 6 \cdot b \cdot c}{4 \cdot 6 \cdot c} = \frac{3b}{4}$.
Ответ: $\frac{3b}{4}$

2) Сократим дробь $\frac{25a^2y}{15by}$.
Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 25 и 15 равен 5.
Общая переменная для числителя и знаменателя - это $y$.
Разделим числитель и знаменатель на общий множитель $5y$:
$\frac{25a^2y}{15by} = \frac{5 \cdot 5 \cdot a^2 \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot b \cdot y} = \frac{5a^2}{3b}$.
Ответ: $\frac{5a^2}{3b}$

3) Сократим дробь $\frac{24a^3}{6ac}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{24}{6} = 4$.
Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2$.
Переменная $c$ остается в знаменателе.
Объединим результаты: $\frac{24a^3}{6ac} = \frac{4a^2}{c}$.
Ответ: $\frac{4a^2}{c}$

4) Сократим дробь $\frac{27x^2y}{21xy^3}$.
НОД для коэффициентов 27 и 21 равен 3. Получаем $\frac{27}{21} = \frac{9}{7}$.
Сократим переменные:
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.
$\frac{y}{y^3} = y^{1-3} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$.
Собираем все вместе: $\frac{9x}{7y^2}$.
Ответ: $\frac{9x}{7y^2}$

5) Сократим дробь $\frac{-2a^6b^3}{a^3b^5}$.
Коэффициент -2 остается.
Сократим степени переменных, используя правило вычитания показателей:
$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$.
$\frac{b^3}{b^5} = b^{3-5} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.
Результат: $-2 \cdot a^3 \cdot \frac{1}{b^2} = -\frac{2a^3}{b^2}$.
Ответ: $-\frac{2a^3}{b^2}$

6) Сократим дробь $\frac{x^7y^4}{x^5y^8}$.
Применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
$\frac{x^7}{x^5} = x^{7-5} = x^2$.
$\frac{y^4}{y^8} = y^{4-8} = y^{-4} = \frac{1}{y^4}$.
Объединяем: $x^2 \cdot \frac{1}{y^4} = \frac{x^2}{y^4}$.
Ответ: $\frac{x^2}{y^4}$

7) Сократим дробь $\frac{42m^3n^5}{35mn^5}$.
НОД для коэффициентов 42 и 35 равен 7. $\frac{42}{35} = \frac{6}{5}$.
Сократим переменные:
$\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$.
$\frac{n^5}{n^5} = n^{5-5} = n^0 = 1$.
Результат: $\frac{6}{5} \cdot m^2 \cdot 1 = \frac{6m^2}{5}$.
Ответ: $\frac{6m^2}{5}$

8) Сократим дробь $\frac{75p^4q}{150p^5q}$.
Сократим коэффициенты: $\frac{75}{150} = \frac{1}{2}$.
Сократим переменные:
$\frac{p^4}{p^5} = p^{4-5} = p^{-1} = \frac{1}{p}$.
$\frac{q}{q} = q^{1-1} = q^0 = 1$.
Результат: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p} \cdot 1 = \frac{1}{2p}$.
Ответ: $\frac{1}{2p}$

38.3. Приведите к дроби со знаменателем $4a^5c^2$ дробь:

1) $\frac{4a}{a^3c}$;

2) $\frac{5ac^3}{a^2c}$;

3) $\frac{4a}{2ac^2}$;

4) $\frac{ac^4}{0,5ac}$;

5) $\frac{5,5ac}{a^2c}$;

6) $\frac{-ax}{a^3c}$.

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого новый знаменатель $4a^5c^2$ делят на знаменатель исходной дроби. Затем числитель и знаменатель исходной дроби умножают на этот дополнительный множитель.

1) Дана дробь $\frac{4a}{a^3c}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{a^3c} = 4a^{(5-3)}c^{(2-1)} = 4a^2c$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $4a^2c$:

$\frac{4a \cdot 4a^2c}{a^3c \cdot 4a^2c} = \frac{16a^3c}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{16a^3c}{4a^5c^2}$.

2) Дана дробь $\frac{5ac^3}{a^2c}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{a^2c} = 4a^{(5-2)}c^{(2-1)} = 4a^3c$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $4a^3c$:

$\frac{5ac^3 \cdot 4a^3c}{a^2c \cdot 4a^3c} = \frac{20a^4c^4}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{20a^4c^4}{4a^5c^2}$.

3) Дана дробь $\frac{4a}{2ac^2}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{2ac^2} = 2a^{(5-1)}c^{(2-2)} = 2a^4$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $2a^4$:

$\frac{4a \cdot 2a^4}{2ac^2 \cdot 2a^4} = \frac{8a^5}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{8a^5}{4a^5c^2}$.

4) Дана дробь $\frac{ac^4}{0,5ac}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{0,5ac} = 8a^{(5-1)}c^{(2-1)} = 8a^4c$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $8a^4c$:

$\frac{ac^4 \cdot 8a^4c}{0,5ac \cdot 8a^4c} = \frac{8a^5c^5}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{8a^5c^5}{4a^5c^2}$.

5) Дана дробь $\frac{5,5ac}{a^2c}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{a^2c} = 4a^{(5-2)}c^{(2-1)} = 4a^3c$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $4a^3c$:

$\frac{5,5ac \cdot 4a^3c}{a^2c \cdot 4a^3c} = \frac{22a^4c^2}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{22a^4c^2}{4a^5c^2}$.

6) Дана дробь $\frac{-ax}{a^3c}$.

Найдем дополнительный множитель: $\frac{4a^5c^2}{a^3c} = 4a^{(5-3)}c^{(2-1)} = 4a^2c$.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $4a^2c$:

$\frac{-ax \cdot 4a^2c}{a^3c \cdot 4a^2c} = \frac{-4a^3cx}{4a^5c^2}$.

Ответ: $\frac{-4a^3cx}{4a^5c^2}$.

38.4. Приведите алгебраическую дробь:

1) $\frac{2y}{a - b}$ к дроби со знаменателем $(a - b)^2$;

2) $\frac{-3x}{x + a}$ к дроби со знаменателем $x^2 - a^2$;

3) $\frac{5a}{y - 1}$ к дроби со знаменателем $y^3 - 1$;

4) $\frac{4b}{a^2 + ab + b^2}$ к дроби со знаменателем $a^3 - b^3$;

5) $\frac{9y}{y - b}$ к дроби со знаменателем $b - y$;

6) $\frac{-5x}{x - 10}$ к дроби со знаменателем $10 - x$;

7) $\frac{-4p}{p + 2}$ к дроби со знаменателем $4 - p^2$;

8) $\frac{2a + 3}{6 - 2a}$ к дроби со знаменателем $2(a^2 - 9)$;

9) $\frac{7a}{3xy^2}$ к дроби со знаменателем $15x^2y^3$;

10) $\frac{11}{x + 1}$ к дроби со знаменателем $x^3 + 1$.

1) Чтобы привести дробь $ \frac{2y}{a-b} $ к знаменателю $ (a-b)^2 $, необходимо найти дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на старый: $ \frac{(a-b)^2}{a-b} = a-b $. Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель: $ \frac{2y \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{2y(a-b)}{(a-b)^2} $.
Ответ: $ \frac{2y(a-b)}{(a-b)^2} $.

2) Чтобы привести дробь $ \frac{-3x}{x+a} $ к знаменателю $ x^2-a^2 $, сначала разложим новый знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $ x^2-a^2 = (x-a)(x+a) $. Дополнительный множитель равен частному от деления нового знаменателя на старый: $ \frac{(x-a)(x+a)}{x+a} = x-a $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ (x-a) $: $ \frac{-3x \cdot (x-a)}{(x+a) \cdot (x-a)} = \frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2} $.
Ответ: $ \frac{-3x(x-a)}{x^2-a^2} $.

3) Приводим дробь $ \frac{5a}{y-1} $ к знаменателю $ y^3-1 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ y^3 - 1 = (y-1)(y^2+y+1) $. Дополнительный множитель: $ \frac{y^3-1}{y-1} = y^2+y+1 $. Умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на $ (y^2+y+1) $: $ \frac{5a \cdot (y^2+y+1)}{(y-1) \cdot (y^2+y+1)} = \frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1} $.
Ответ: $ \frac{5a(y^2+y+1)}{y^3-1} $.

4) Приводим дробь $ \frac{4b}{a^2+ab+b^2} $ к знаменателю $ a^3-b^3 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности кубов: $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $. Дополнительный множитель равен $ \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2} = a-b $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (a-b) $: $ \frac{4b \cdot (a-b)}{(a^2+ab+b^2) \cdot (a-b)} = \frac{4b(a-b)}{a^3-b^3} $.
Ответ: $ \frac{4b(a-b)}{a^3-b^3} $.

5) Чтобы привести дробь $ \frac{9y}{y-b} $ к знаменателю $ b-y $, заметим, что новый знаменатель отличается от старого только знаком: $ b-y = -(y-b) $. Следовательно, дополнительный множитель равен $ \frac{b-y}{y-b} = -1 $. Умножим числитель и знаменатель на $ -1 $: $ \frac{9y \cdot (-1)}{(y-b) \cdot (-1)} = \frac{-9y}{-(y-b)} = \frac{-9y}{b-y} $.
Ответ: $ \frac{-9y}{b-y} $.

6) Чтобы привести дробь $ \frac{-5x}{x-10} $ к знаменателю $ 10-x $, заметим, что $ 10-x = -(x-10) $. Дополнительный множитель равен $ -1 $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ -1 $: $ \frac{-5x \cdot (-1)}{(x-10) \cdot (-1)} = \frac{5x}{-(x-10)} = \frac{5x}{10-x} $.
Ответ: $ \frac{5x}{10-x} $.

7) Приводим дробь $ \frac{-4p}{p+2} $ к знаменателю $ 4-p^2 $. Разложим новый знаменатель по формуле разности квадратов: $ 4-p^2 = (2-p)(2+p) $. Дополнительный множитель: $ \frac{4-p^2}{p+2} = \frac{(2-p)(2+p)}{p+2} = 2-p $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (2-p) $: $ \frac{-4p \cdot (2-p)}{(p+2) \cdot (2-p)} = \frac{-4p(2-p)}{4-p^2} $.
Ответ: $ \frac{-4p(2-p)}{4-p^2} $.

8) Приводим дробь $ \frac{2a+3}{6-2a} $ к знаменателю $ 2(a^2-9) $. Сначала разложим на множители оба знаменателя. Старый знаменатель: $ 6-2a = 2(3-a) $. Новый знаменатель: $ 2(a^2-9) = 2(a-3)(a+3) $. Найдем дополнительный множитель: $ \frac{2(a-3)(a+3)}{2(3-a)} = \frac{(a-3)(a+3)}{3-a} $. Так как $ a-3 = -(3-a) $, то множитель равен $ \frac{-(3-a)(a+3)}{3-a} = -(a+3) $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ -(a+3) $: $ \frac{(2a+3) \cdot (-(a+3))}{(6-2a) \cdot (-(a+3))} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{-2(3-a)(a+3)} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a-3)(a+3)} = \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a^2-9)} $.
Ответ: $ \frac{-(2a+3)(a+3)}{2(a^2-9)} $.

9) Чтобы привести дробь $ \frac{7a}{3xy^2} $ к знаменателю $ 15x^2y^3 $, найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $ \frac{15x^2y^3}{3xy^2} = 5xy $. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на $ 5xy $: $ \frac{7a \cdot 5xy}{3xy^2 \cdot 5xy} = \frac{35axy}{15x^2y^3} $.
Ответ: $ \frac{35axy}{15x^2y^3} $.

10) Приводим дробь $ \frac{11}{x+1} $ к знаменателю $ x^3+1 $. Разложим новый знаменатель по формуле суммы кубов: $ x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) $. Дополнительный множитель: $ \frac{x^3+1}{x+1} = x^2-x+1 $. Умножаем числитель и знаменатель на $ (x^2-x+1) $: $ \frac{11 \cdot (x^2-x+1)}{(x+1) \cdot (x^2-x+1)} = \frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1} $.
Ответ: $ \frac{11(x^2-x+1)}{x^3+1} $.