Страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.5. Упростите дробно-рациональное выражение:

1) $\frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2}$;

3) $\frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2}$;

4) $\frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2}$;

5) $\frac{a - 2b}{2b - a}$;

6) $\frac{4(a - b)^2}{2b - 2a}$;

7) $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$;

8) $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}.$

1) Исходное выражение: $\frac{x^7 + x^5}{x^4 + x^2}$. Чтобы упростить дробь, разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^5$: $x^7 + x^5 = x^5(x^2 + 1)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $x^2$: $x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{x^5(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + 1)$, при условии, что он не равен нулю (что выполняется для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$). Также, изначальный знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$. После сокращения получаем: $\frac{x^5}{x^2}$. Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем: $x^{5-2} = x^3$.
Ответ: $x^3$

2) Исходное выражение: $\frac{y^7 + y^9}{y^4 + y^2}$. В числителе вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $y^7$: $y^7 + y^9 = y^7(1 + y^2)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $y^2$: $y^4 + y^2 = y^2(y^2 + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{y^7(1 + y^2)}{y^2(y^2 + 1)}$. Сократим общий множитель $(1 + y^2)$, при условии $y \neq 0$. Получаем: $\frac{y^7}{y^2} = y^{7-2} = y^5$.
Ответ: $y^5$

3) Исходное выражение: $\frac{a^7 - a^{10}}{a^5 - a^2}$. В числителе вынесем за скобки $a^7$: $a^7 - a^{10} = a^7(1 - a^3)$. В знаменателе вынесем за скобки $a^2$: $a^5 - a^2 = a^2(a^3 - 1)$. Дробь примет вид: $\frac{a^7(1 - a^3)}{a^2(a^3 - 1)}$. Заметим, что $1 - a^3 = -(a^3 - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{a^7(-(a^3 - 1))}{a^2(a^3 - 1)}$. Сократим общий множитель $(a^3 - 1)$, при условии $a \neq 1$ и $a \neq 0$. Получаем: $\frac{-a^7}{a^2} = -a^{7-2} = -a^5$.
Ответ: $-a^5$

4) Исходное выражение: $\frac{x^6 - x^4}{x^3 + x^2}$. В числителе вынесем за скобки $x^4$: $x^6 - x^4 = x^4(x^2 - 1)$. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^4(x - 1)(x + 1)$. В знаменателе вынесем за скобки $x^2$: $x^3 + x^2 = x^2(x + 1)$. Дробь примет вид: $\frac{x^4(x - 1)(x + 1)}{x^2(x + 1)}$. Сократим общий множитель $(x + 1)$ и $x^2$, при условии $x \neq -1$ и $x \neq 0$. Получаем: $\frac{x^4(x - 1)}{x^2} = x^{4-2}(x-1) = x^2(x - 1)$.
Ответ: $x^2(x-1)$

5) Исходное выражение: $\frac{a - 2b}{2b - a}$. В знаменателе вынесем $-1$ за скобки: $2b - a = -(-2b + a) = -(a - 2b)$. Дробь примет вид: $\frac{a - 2b}{-(a - 2b)}$. Сократим общий множитель $(a - 2b)$, при условии $a - 2b \neq 0$. Получаем: $\frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$

6) Исходное выражение: $\frac{4(a - b)^2}{2b - 2a}$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2$: $2b - 2a = 2(b - a)$. Затем вынесем $-1$: $2(b - a) = -2(a - b)$. Дробь примет вид: $\frac{4(a - b)^2}{-2(a - b)}$. Сократим численный коэффициент $\frac{4}{-2} = -2$ и выражение $(a - b)$, при условии $a \neq b$. Получаем: $-2(a - b)^{2-1} = -2(a - b)$.
Ответ: $-2(a - b)$

7) Исходное выражение: $\frac{(-a - b)^2}{a + b}$. В числителе вынесем $-1$ за скобки внутри квадрата: $(-a - b)^2 = (-(a + b))^2$. Используя свойство $(-x)^2 = x^2$, получаем: $(-(a + b))^2 = (a + b)^2$. Дробь примет вид: $\frac{(a + b)^2}{a + b}$. Сократим дробь на $(a + b)$, при условии $a + b \neq 0$. Получаем: $(a + b)^{2-1} = a + b$.
Ответ: $a + b$

8) Исходное выражение: $\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}$. Преобразуем знаменатель: $(b - a)^2 = (-(a - b))^2$. Так как $(-x)^2 = x^2$, то $(-(a - b))^2 = (a - b)^2$. Дробь примет вид: $\frac{(a - b)^2}{(a - b)^2}$. Любое выражение, деленное само на себя (при условии, что оно не равно нулю, т.е. $a \neq b$), равно 1. Следовательно, результат равен 1.
Ответ: $1$

38.6. Найдите значение дробного выражения:

1) $\frac{x^5 + 4x^4}{x^4 + 4x^3}$ при $x = -0,6;$

2) $\frac{3x^5 - 4x^4}{3x^3 - 4x^2}$ при $x = -3\frac{2}{3}.$

1) Сначала упростим данное дробное выражение. Для этого вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $x^5 + 4x^4 = x^4(x + 4)$

Знаменатель: $x^4 + 4x^3 = x^3(x + 4)$

Получаем дробь: $\frac{x^4(x + 4)}{x^3(x + 4)}$

Сократим дробь на общие множители. Область допустимых значений исходного выражения: $x^4 + 4x^3 \neq 0$, то есть $x^3(x + 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq -4$.

Поскольку $x = -0,6$ входит в область допустимых значений, мы можем сократить дробь:

$\frac{x^4(x + 4)}{x^3(x + 4)} = \frac{x^4}{x^3} = x^{4-3} = x$

Теперь подставим значение $x = -0,6$ в упрощенное выражение:

$x = -0,6$

Ответ: -0,6.

2) Упростим данное дробное выражение, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $3x^5 - 4x^4 = x^4(3x - 4)$

Знаменатель: $3x^3 - 4x^2 = x^2(3x - 4)$

Получаем дробь: $\frac{x^4(3x - 4)}{x^2(3x - 4)}$

Область допустимых значений исходного выражения: $3x^3 - 4x^2 \neq 0$, то есть $x^2(3x - 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$ и $x \neq \frac{4}{3}$.

Поскольку $x = -3\frac{2}{3}$ входит в область допустимых значений, мы можем сократить дробь:

$\frac{x^4(3x - 4)}{x^2(3x - 4)} = \frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$

Теперь подставим значение $x = -3\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$x = -3\frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{11}{3}$

Теперь возведем полученное значение в квадрат:

$x^2 = \left(-\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{(-11)^2}{3^2} = \frac{121}{9}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{121}{9} = 13\frac{4}{9}$

Ответ: $13\frac{4}{9}$.

38.7. Сократите алгебраическую дробь:

1) $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$;2) $\frac{3a - 36}{12b - ab}$;3) $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$;4) $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$;

5) $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$;6) $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$;7) $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$;8) $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе отличаются только знаком. Вынесем минус за скобку в знаменателе: $2y - x = -(x - 2y)$.
Теперь дробь можно переписать в виде: $\frac{a(x - 2y)}{b \cdot (-(x - 2y))} = \frac{a(x - 2y)}{-b(x - 2y)}$.
Сократим общий множитель $(x - 2y)$, при условии, что $x \neq 2y$.
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Ответ: $-\frac{a}{b}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 36}{12b - ab}$. Разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общие множители за скобки.
Числитель: $3a - 36 = 3(a - 12)$.
Знаменатель: $12b - ab = b(12 - a)$.
Получаем дробь: $\frac{3(a - 12)}{b(12 - a)}$.
Заметим, что $12 - a = -(a - 12)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{3(a - 12)}{b \cdot (-(a - 12))} = \frac{3(a - 12)}{-b(a - 12)}$.
Сократим общий множитель $(a - 12)$, при условии, что $a \neq 12$.
$\frac{3}{-b} = -\frac{3}{b}$.
Ответ: $-\frac{3}{b}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является разностью квадратов: $25 - a^2 = 5^2 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобку: $3a - 15 = 3(a - 5)$.
Получаем дробь: $\frac{(5 - a)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Выражение $5 - a$ можно представить как $-(a - 5)$. Перепишем дробь: $\frac{-(a - 5)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Сократим общий множитель $(a - 5)$, при условии, что $a \neq 5$.
$\frac{-(5 + a)}{3} = -\frac{a + 5}{3}$.
Ответ: $-\frac{a + 5}{3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем 8 за скобку и применим формулу разности квадратов: $8(b^2 - a^2) = 8(b - a)(b + a)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Получаем дробь: $\frac{8(b - a)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в числитель: $\frac{8 \cdot (-(a - b))(b + a)}{(a - b)^2} = \frac{-8(a - b)(a + b)}{(a - b)^2}$.
Сократим общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a \neq b$.
$\frac{-8(a + b)}{a - b} = \frac{8(a + b)}{-(a - b)} = \frac{8(a + b)}{b - a}$.
Ответ: $\frac{8(a + b)}{b - a}$.

5) В дроби $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$ вынесем минус за скобку в знаменателе: $y - x = -(x - y)$.
Дробь примет вид: $\frac{5x(x - y)}{x^3 \cdot (-(x - y))} = \frac{5x(x - y)}{-x^3(x - y)}$.
Сократим общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x \neq y$.
Получим $\frac{5x}{-x^3}$.
Теперь сократим $x$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x \neq 0$: $\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $7b - 14b^2 = 7b(1 - 2b)$.
Знаменатель: $42b^2 - 21b = 21b(2b - 1)$.
Получаем дробь: $\frac{7b(1 - 2b)}{21b(2b - 1)}$.
Заметим, что $1 - 2b = -(2b - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{7b \cdot (-(2b - 1))}{21b(2b - 1)} = \frac{-7b(2b - 1)}{21b(2b - 1)}$.
Сократим общие множители $b$ и $(2b - 1)$, при условии, что $b \neq 0$ и $b \neq \frac{1}{2}$.
Получим $\frac{-7}{21} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

7) Рассмотрим дробь $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем 3 за скобку: $3 - 3x = 3(1 - x)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Получаем дробь: $\frac{3(1 - x)}{(x - 1)^2}$.
Заметим, что $1 - x = -(x - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{3 \cdot (-(x - 1))}{(x - 1)^2} = \frac{-3(x - 1)}{(x - 1)^2}$.
Сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x \neq 1$.
$\frac{-3}{x - 1} = \frac{3}{-(x-1)} = \frac{3}{1 - x}$.
Ответ: $\frac{3}{1 - x}$.

8) В дроби $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$ заметим, что основания степеней отличаются знаком. Воспользуемся свойством $(a - b)^n = (b - a)^n$ для четной степени $n$.
В знаменателе $(2 - b)^2 = (-(b - 2))^2 = (-1)^2 (b - 2)^2 = (b - 2)^2$.
Теперь дробь можно переписать так: $\frac{(b - 2)^3}{(b - 2)^2}$.
Сократим дробь на $(b - 2)^2$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, при условии, что $b \neq 2$.
$(b - 2)^{3-2} = (b - 2)^1 = b - 2$.
Ответ: $b - 2$.

38.8. Упростите дробно-рациональное выражение:

1) $ \frac{18a - 3a^2}{8a^2 - 48a} $;

2) $ \frac{8p - 40}{15 - 3p} $;

3) $ \frac{4 - x^2}{10 - 5x} $;

4) $ \frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y} $;

5) $ \frac{ax + bx - ay - by}{bx - by} $;

6) $ \frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3} $;

7) $ \frac{(2a - 2b)^2}{a - b} $;

8) $ \frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d} $;

9) $ \frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2} $;

10) $ \frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a} $.

1) Упростим выражение $\frac{18a - 3a^2}{8a^2 - 48a}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $3a$: $18a - 3a^2 = 3a(6 - a)$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $8a$: $8a^2 - 48a = 8a(a - 6)$.
Получим дробь: $\frac{3a(6 - a)}{8a(a - 6)}$.
Так как $6 - a = -(a - 6)$, можем переписать дробь: $\frac{-3a(a - 6)}{8a(a - 6)}$.
Сократим дробь на общий множитель $a(a - 6)$, при условии что $a \neq 0$ и $a \neq 6$.
$\frac{-3\cancel{a}(\cancel{a - 6})}{8\cancel{a}(\cancel{a - 6})} = -\frac{3}{8}$.
Ответ: $-\frac{3}{8}$

2) Упростим выражение $\frac{8p - 40}{15 - 3p}$.
В числителе вынесем за скобки $8$: $8p - 40 = 8(p - 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $3$: $15 - 3p = 3(5 - p)$.
Получим дробь: $\frac{8(p - 5)}{3(5 - p)}$.
Так как $5 - p = -(p - 5)$, можем переписать дробь: $\frac{8(p - 5)}{-3(p - 5)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(p - 5)$, при условии что $p \neq 5$.
$\frac{8(\cancel{p - 5})}{-3(\cancel{p - 5})} = -\frac{8}{3}$.
Ответ: $-\frac{8}{3}$

3) Упростим выражение $\frac{4 - x^2}{10 - 5x}$.
Числитель разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.
В знаменателе вынесем за скобки $5$: $10 - 5x = 5(2 - x)$.
Получим дробь: $\frac{(2 - x)(2 + x)}{5(2 - x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(2 - x)$, при условии что $x \neq 2$.
$\frac{(\cancel{2 - x})(2 + x)}{5(\cancel{2 - x})} = \frac{2 + x}{5}$.
Ответ: $\frac{2 + x}{5}$

4) Упростим выражение $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$.
В числителе вынесем общий множитель $3$ из скобок: $(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 9(x + 2y)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5$: $5x + 10y = 5(x + 2y)$.
Получим дробь: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x + 2y)$, при условии что $x + 2y \neq 0$.
$\frac{9(x + 2y)^{\cancel{2}}}{5(\cancel{x + 2y})} = \frac{9(x + 2y)}{5}$.
Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$

5) Упростим выражение $\frac{ax + bx - ay - by}{ax + bx}$.
В числителе сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $ax + bx - ay - by = x(a + b) - y(a + b) = (a + b)(x - y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $x$: $ax + bx = x(a + b)$.
Получим дробь: $\frac{(a + b)(x - y)}{x(a + b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + b)$, при условии что $a + b \neq 0$ и $x \neq 0$.
$\frac{(\cancel{a + b})(x - y)}{x(\cancel{a + b})} = \frac{x - y}{x}$.
Ответ: $\frac{x - y}{x}$

6) Упростим выражение $\frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3}$.
Числитель является полным квадратом: $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.
Знаменатель разложим по формуле разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $27 - a^3 = 3^3 - a^3 = (3 - a)(9 + 3a + a^2)$.
Получим дробь: $\frac{(a - 3)^2}{(3 - a)(9 + 3a + a^2)}$.
Так как $(a - 3)^2 = (-(3 - a))^2 = (3 - a)^2$, можем переписать дробь: $\frac{(3 - a)^2}{(3 - a)(9 + 3a + a^2)}$.
Сократим дробь на $(3 - a)$, при условии что $a \neq 3$.
$\frac{(3 - a)^{\cancel{2}}}{(\cancel{3 - a})(9 + 3a + a^2)} = \frac{3 - a}{9 + 3a + a^2}$.
Ответ: $\frac{3 - a}{a^2 + 3a + 9}$

7) Упростим выражение $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$.
В числителе вынесем общий множитель $2$ из скобок: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 4(a - b)^2$.
Получим дробь: $\frac{4(a - b)^2}{a - b}$.
Сократим дробь на $(a - b)$, при условии что $a - b \neq 0$.
$\frac{4(a - b)^{\cancel{2}}}{\cancel{a - b}} = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$

8) Упростим выражение $\frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d}$.
В числителе вынесем общий множитель $4$ из скобок: $(4c + 12d)^2 = (4(c + 3d))^2 = 16(c + 3d)^2$.
Получим дробь: $\frac{16(c + 3d)^2}{c + 3d}$.
Сократим дробь на $(c + 3d)$, при условии что $c + 3d \neq 0$.
$\frac{16(c + 3d)^{\cancel{2}}}{\cancel{c + 3d}} = 16(c + 3d)$.
Ответ: $16(c + 3d)$

9) Упростим выражение $\frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2}$.
Числитель разложим по формуле разности квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $3$ из скобок: $(6x - 3y)^2 = (3(2x - y))^2 = 9(2x - y)^2$.
Получим дробь: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{9(2x - y)^2}$.
Сократим дробь на $(2x - y)$, при условии что $2x - y \neq 0$.
$\frac{(\cancel{2x - y})(2x + y)}{9(2x - y)^{\cancel{2}}} = \frac{2x + y}{9(2x - y)}$.
Ответ: $\frac{2x + y}{9(2x - y)}$

10) Упростим выражение $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$.
В числителе сгруппируем слагаемые: $ab - 3b - 2a + 6 = b(a - 3) - 2(a - 3) = (a - 3)(b - 2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5$: $15 - 5a = 5(3 - a)$.
Получим дробь: $\frac{(a - 3)(b - 2)}{5(3 - a)}$.
Так как $a - 3 = -(3 - a)$, можем переписать дробь: $\frac{-(3 - a)(b - 2)}{5(3 - a)}$.
Сократим дробь на $(3 - a)$, при условии что $a \neq 3$.
$\frac{-(\cancel{3 - a})(b - 2)}{5(\cancel{3 - a})} = -\frac{b - 2}{5} = \frac{2 - b}{5}$.
Ответ: $\frac{2 - b}{5}$