Номер 38.7, страница 238 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.7. Сократите алгебраическую дробь:

1) $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$;2) $\frac{3a - 36}{12b - ab}$;3) $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$;4) $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$;

5) $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$;6) $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$;7) $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$;8) $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a(x - 2y)}{b(2y - x)}$, заметим, что выражения в скобках в числителе и знаменателе отличаются только знаком. Вынесем минус за скобку в знаменателе: $2y - x = -(x - 2y)$.
Теперь дробь можно переписать в виде: $\frac{a(x - 2y)}{b \cdot (-(x - 2y))} = \frac{a(x - 2y)}{-b(x - 2y)}$.
Сократим общий множитель $(x - 2y)$, при условии, что $x \neq 2y$.
$\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.
Ответ: $-\frac{a}{b}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 36}{12b - ab}$. Разложим на множители числитель и знаменатель, вынеся общие множители за скобки.
Числитель: $3a - 36 = 3(a - 12)$.
Знаменатель: $12b - ab = b(12 - a)$.
Получаем дробь: $\frac{3(a - 12)}{b(12 - a)}$.
Заметим, что $12 - a = -(a - 12)$. Подставим это в знаменатель: $\frac{3(a - 12)}{b \cdot (-(a - 12))} = \frac{3(a - 12)}{-b(a - 12)}$.
Сократим общий множитель $(a - 12)$, при условии, что $a \neq 12$.
$\frac{3}{-b} = -\frac{3}{b}$.
Ответ: $-\frac{3}{b}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{25 - a^2}{3a - 15}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является разностью квадратов: $25 - a^2 = 5^2 - a^2 = (5 - a)(5 + a)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобку: $3a - 15 = 3(a - 5)$.
Получаем дробь: $\frac{(5 - a)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Выражение $5 - a$ можно представить как $-(a - 5)$. Перепишем дробь: $\frac{-(a - 5)(5 + a)}{3(a - 5)}$.
Сократим общий множитель $(a - 5)$, при условии, что $a \neq 5$.
$\frac{-(5 + a)}{3} = -\frac{a + 5}{3}$.
Ответ: $-\frac{a + 5}{3}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{8b^2 - 8a^2}{a^2 - 2ab + b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем 8 за скобку и применим формулу разности квадратов: $8(b^2 - a^2) = 8(b - a)(b + a)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Получаем дробь: $\frac{8(b - a)(b + a)}{(a - b)^2}$.
Заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим это в числитель: $\frac{8 \cdot (-(a - b))(b + a)}{(a - b)^2} = \frac{-8(a - b)(a + b)}{(a - b)^2}$.
Сократим общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a \neq b$.
$\frac{-8(a + b)}{a - b} = \frac{8(a + b)}{-(a - b)} = \frac{8(a + b)}{b - a}$.
Ответ: $\frac{8(a + b)}{b - a}$.

5) В дроби $\frac{5x(x - y)}{x^3(y - x)}$ вынесем минус за скобку в знаменателе: $y - x = -(x - y)$.
Дробь примет вид: $\frac{5x(x - y)}{x^3 \cdot (-(x - y))} = \frac{5x(x - y)}{-x^3(x - y)}$.
Сократим общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x \neq y$.
Получим $\frac{5x}{-x^3}$.
Теперь сократим $x$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x \neq 0$: $\frac{5}{-x^2} = -\frac{5}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{5}{x^2}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{7b - 14b^2}{42b^2 - 21b}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $7b - 14b^2 = 7b(1 - 2b)$.
Знаменатель: $42b^2 - 21b = 21b(2b - 1)$.
Получаем дробь: $\frac{7b(1 - 2b)}{21b(2b - 1)}$.
Заметим, что $1 - 2b = -(2b - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{7b \cdot (-(2b - 1))}{21b(2b - 1)} = \frac{-7b(2b - 1)}{21b(2b - 1)}$.
Сократим общие множители $b$ и $(2b - 1)$, при условии, что $b \neq 0$ и $b \neq \frac{1}{2}$.
Получим $\frac{-7}{21} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

7) Рассмотрим дробь $\frac{3 - 3x}{x^2 - 2x + 1}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем 3 за скобку: $3 - 3x = 3(1 - x)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Получаем дробь: $\frac{3(1 - x)}{(x - 1)^2}$.
Заметим, что $1 - x = -(x - 1)$. Подставим это в числитель: $\frac{3 \cdot (-(x - 1))}{(x - 1)^2} = \frac{-3(x - 1)}{(x - 1)^2}$.
Сократим общий множитель $(x - 1)$, при условии, что $x \neq 1$.
$\frac{-3}{x - 1} = \frac{3}{-(x-1)} = \frac{3}{1 - x}$.
Ответ: $\frac{3}{1 - x}$.

8) В дроби $\frac{(b - 2)^3}{(2 - b)^2}$ заметим, что основания степеней отличаются знаком. Воспользуемся свойством $(a - b)^n = (b - a)^n$ для четной степени $n$.
В знаменателе $(2 - b)^2 = (-(b - 2))^2 = (-1)^2 (b - 2)^2 = (b - 2)^2$.
Теперь дробь можно переписать так: $\frac{(b - 2)^3}{(b - 2)^2}$.
Сократим дробь на $(b - 2)^2$, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, при условии, что $b \neq 2$.
$(b - 2)^{3-2} = (b - 2)^1 = b - 2$.
Ответ: $b - 2$.