Вопросы, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях общий знаменатель двух рациональных дробей равен: произведению знаменателей этих дробей; одному из знаменателей?

2. При каких значениях букв выполняются действия сложения и вычитания рациональных дробей?

1. Общий знаменатель двух рациональных дробей, который является наименьшим общим кратным (НОК) их знаменателей, равен:

произведению знаменателей этих дробей: Это происходит в том случае, когда знаменатели дробей являются взаимно простыми выражениями, то есть не имеют общих множителей, кроме констант. Пусть даны дроби $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Если их знаменатели $B$ и $D$ взаимно просты, то их наибольший общий делитель $НОД(B, D) = 1$. Так как $НОК(B, D) = \frac{B \cdot D}{НОД(B, D)}$, то в этом случае общий знаменатель будет равен $B \cdot D$.
Пример: для дробей $\frac{5}{x-2}$ и $\frac{y}{x+3}$ знаменатели $x-2$ и $x+3$ взаимно просты. Их общий знаменатель равен произведению $(x-2)(x+3)$.

одному из знаменателей: Это происходит в том случае, когда один из знаменателей делится нацело на другой. Если знаменатель $D$ дроби $\frac{C}{D}$ делится на знаменатель $B$ дроби $\frac{A}{B}$, то $D$ является их наименьшим общим кратным, то есть $НОК(B, D) = D$. Таким образом, общий знаменатель будет равен $D$.
Пример: для дробей $\frac{a}{y+1}$ и $\frac{b}{y^2-1}$ знаменатель второй дроби $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ делится на знаменатель первой дроби $y+1$. Следовательно, их общий знаменатель равен $y^2-1$.

Ответ: Общий знаменатель равен произведению знаменателей, если они взаимно просты. Общий знаменатель равен одному из знаменателей, если этот знаменатель делится на другой без остатка.

2. Действия сложения и вычитания рациональных дробей можно выполнять только при тех значениях входящих в них букв (переменных), которые принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) данного выражения. Область допустимых значений состоит из всех значений переменных, при которых знаменатель каждой из исходных дробей не обращается в нуль.

Это правило следует из того, что деление на ноль в математике не определено. Поэтому, чтобы выполнить операцию $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D}$, необходимо, чтобы обе дроби были определены, то есть чтобы их знаменатели были отличны от нуля: $B \neq 0$ и $D \neq 0$ одновременно.
Пример: чтобы выполнить действие $\frac{x}{x-5} - \frac{3}{x+4}$, необходимо, чтобы выполнялись условия $x-5 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$. Следовательно, действие выполнимо при всех значениях $x$, кроме $x=5$ и $x=-4$.

Ответ: Действия сложения и вычитания рациональных дробей выполняются при всех значениях букв, при которых знаменатель каждой из этих дробей не равен нулю.