Номер 39.1, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.1. Пользуясь тождеством $ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $, представьте в виде суммы дробей дробь:

1) $ \frac{2a+b}{x} $;

2) $ \frac{2a^2+5a}{4y} $;

3) $ \frac{x^2+6y^2}{2xy} $;

4) $ \frac{12a^2+y^3}{6ay} $;

5) $ \frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} $;

6) $ \frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} $.

1) Применим тождество $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ к дроби $\frac{2a+b}{x}$. Для этого разделим каждый член числителя ($2a$ и $b$) на знаменатель $x$.

$\frac{2a+b}{x} = \frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$

Полученные дроби являются несократимыми.

Ответ: $\frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$

2) Представим дробь $\frac{2a^2+5a}{4y}$ в виде суммы, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{2a^2+5a}{4y} = \frac{2a^2}{4y} + \frac{5a}{4y}$

Теперь упростим полученные дроби. В первой дроби можно сократить числовые коэффициенты (2 и 4) на 2:

$\frac{2a^2}{4y} = \frac{a^2}{2y}$

Вторая дробь $\frac{5a}{4y}$ несократима.

Ответ: $\frac{a^2}{2y} + \frac{5a}{4y}$

3) Представим дробь $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ в виде суммы:

$\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$

Сократим каждую дробь:

В первой дроби $\frac{x^2}{2xy}$ сокращаем на $x$, получая $\frac{x}{2y}$.

Во второй дроби $\frac{6y^2}{2xy}$ сокращаем на $2y$, получая $\frac{3y}{x}$.

Складываем упрощенные дроби.

Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$

4) Представим дробь $\frac{12a^2+y^3}{6ay}$ в виде суммы:

$\frac{12a^2+y^3}{6ay} = \frac{12a^2}{6ay} + \frac{y^3}{6ay}$

Упростим каждую дробь путем сокращения общих множителей:

Первая дробь: $\frac{12a^2}{6ay} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a \cdot a}{6 \cdot a \cdot y} = \frac{2a}{y}$ (сократили на $6a$).

Вторая дробь: $\frac{y^3}{6ay} = \frac{y \cdot y^2}{6a \cdot y} = \frac{y^2}{6a}$ (сократили на $y$).

Ответ: $\frac{2a}{y} + \frac{y^2}{6a}$

5) Тождество $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ справедливо и для разности. Представим дробь $\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3}$ в виде разности:

$\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} = \frac{2a^2}{3ay^3} - \frac{3y^3}{3ay^3}$

Сократим каждую полученную дробь:

Первая дробь: $\frac{2a^2}{3ay^3} = \frac{2a}{3y^3}$ (сократили на $a$).

Вторая дробь: $\frac{3y^3}{3ay^3} = \frac{1}{a}$ (сократили на $3y^3$).

Ответ: $\frac{2a}{3y^3} - \frac{1}{a}$

6) Данное тождество можно применить и для числителя с тремя слагаемыми. Представим дробь $\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3}$ в виде суммы трех дробей:

$\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} = \frac{12a^2}{8ay^3} + \frac{y^4}{8ay^3} + \frac{5y}{8ay^3}$

Теперь упростим каждое слагаемое:

$\frac{12a^2}{8ay^3} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^2}{2 \cdot 4 \cdot a \cdot y^3} = \frac{3a}{2y^3}$ (сократили на $4a$).

$\frac{y^4}{8ay^3} = \frac{y^3 \cdot y}{8a \cdot y^3} = \frac{y}{8a}$ (сократили на $y^3$).

$\frac{5y}{8ay^3} = \frac{5y}{8a \cdot y \cdot y^2} = \frac{5}{8ay^2}$ (сократили на $y$).

Ответ: $\frac{3a}{2y^3} + \frac{y}{8a} + \frac{5}{8ay^2}$