Номер 39.8, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (39.8–39.9):

39.8. 1)

$\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$;

2)

$\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2}$;

3)

$\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$;

4)

$\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$;

5)

$\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$;

6)

$\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$;

7)

$\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$;

8)

$\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$;

1) Чтобы упростить выражение $\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить как $2-x = -(x-2)$. Это позволяет изменить знак перед дробью и в знаменателе.
$\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x} = \frac{12-2x}{x-2} - \frac{10-x}{x-2} = \frac{(12-2x) - (10-x)}{x-2} = \frac{12-2x-10+x}{x-2} = \frac{2-x}{x-2} = \frac{-(x-2)}{x-2} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) В выражении $\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2}$ дроби уже имеют общий знаменатель $3p^2$. Выполним вычитание числителей.
$\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2} = \frac{(12p^3-1) - (1-3p^3)}{3p^2} = \frac{12p^3-1-1+3p^3}{3p^2} = \frac{15p^3-2}{3p^2}$.
Ответ: $\frac{15p^3-2}{3p^2}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$ приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-2x = -(2x-1)$.
$\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5-7x-3}{2x-1} = \frac{-4x+2}{2x-1} = \frac{-2(2x-1)}{2x-1} = -2$.
Ответ: $-2$.

4) В выражении $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$ сначала разложим знаменатели на множители. $5x-20 = 5(x-4)$ и $20-5x = 5(4-x) = -5(x-4)$.
$\frac{5x+1}{5(x-4)} + \frac{x+17}{-5(x-4)} = \frac{5x+1}{5(x-4)} - \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{(5x+1)-(x+17)}{5(x-4)} = \frac{5x+1-x-17}{5(x-4)} = \frac{4x-16}{5(x-4)} = \frac{4(x-4)}{5(x-4)} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

5) В выражении $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$ дроби имеют общий знаменатель. Выполним вычитание числителей, а затем разложим числитель и знаменатель на множители.
$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2-8x+16}{x^2-16} = \frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{x+4}$.
Ответ: $\frac{x-4}{x+4}$.

6) Чтобы упростить выражение $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$, заметим, что $(8-a)^2 = (a-8)^2$, так как квадрат числа и противоположного ему числа равны. Знаменатели дробей одинаковы.
$\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-2ab+2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $64-a^2 = (8-a)(8+a)$.
$\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2} = \frac{-(a-8)(a+8)}{(a-8)^2} = -\frac{a+8}{a-8}$.
Ответ: $-\frac{a+8}{a-8}$.

7) В выражении $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$ знаменатели одинаковы. Выполним действия в числителе.
$\frac{x^2-4(x-1)}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$.
Разложим числитель как квадрат разности, а знаменатель как разность квадратов.
$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$.
Ответ: $\frac{x-2}{x+2}$.

8) Для упрощения выражения $\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$ приведем дроби к общему знаменателю $x^2-9$, используя то, что $9-x^2 = -(x^2-9)$.
$\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{-(x^2-9)} = \frac{x^2+6}{x^2-9} + \frac{3(2x-1)}{x^2-9} = \frac{x^2+6+3(2x-1)}{x^2-9} = \frac{x^2+6+6x-3}{x^2-9} = \frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.
Числитель $x^2+6x+3$ нельзя сократить со знаменателем $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Ответ: $\frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.