Номер 39.10, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.10. Убедитесь, что при любом значении переменных значение вы-ражения:

1) $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$ равно 4;

2) $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ равно 2.

1)Чтобы убедиться, что значение выражения равно 4, необходимо упростить данное выражение.
Исходное выражение: $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$.
Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель $ab$, мы можем выполнить вычитание числителей, записав результат над общим знаменателем:
$\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}$
Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим раскрытые выражения в числитель нашей дроби:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab}$
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab}$
Сократим полученную дробь на $ab$. Это преобразование является тождественным для области допустимых значений исходного выражения, где $a \ne 0$ и $b \ne 0$.
$\frac{4ab}{ab} = 4$
Таким образом, мы доказали, что при любых допустимых значениях переменных $a$ и $b$ значение выражения равно 4.
Ответ: 4.

2)Чтобы убедиться, что значение выражения равно 2, необходимо упростить данное выражение.
Исходное выражение: $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2}$.
Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a^2 + b^2$, поэтому мы можем сложить их числители:
$\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим раскрытые выражения в числитель:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + b^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2}$
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$
Сократим дробь на выражение $(a^2 + b^2)$. Это возможно, так как знаменатель $a^2 + b^2$ не может быть равен нулю, если только $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, что исключается областью допустимых значений.
$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2$
Таким образом, мы доказали, что при любых допустимых значениях переменных $a$ и $b$ значение выражения равно 2.
Ответ: 2.