Номер 39.17, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.17. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay}$;

2) $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy}$;

3) $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay}$, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $xy$, $ax$ и $ay$ — это $axy$.

Для первой дроби $\frac{1}{xy}$ дополнительный множитель равен $a$.

Для второй дроби $\frac{1}{ax}$ дополнительный множитель равен $y$.

Для третьей дроби $\frac{1}{ay}$ дополнительный множитель равен $x$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{1 \cdot a}{xy \cdot a} + \frac{1 \cdot y}{ax \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{ay \cdot x} = \frac{a}{axy} + \frac{y}{axy} + \frac{x}{axy} = \frac{a+y+x}{axy}$.

Ответ: $\frac{a+x+y}{axy}$

2) Упростим выражение $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy}$.

Общий знаменатель для дробей с знаменателями $x$, $y$ и $xy$ равен $xy$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(xy-y) \cdot y}{x \cdot y} - \frac{(xy-x) \cdot x}{y \cdot x} - \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{y(xy-y)}{xy} - \frac{x(xy-x)}{xy} - \frac{x^2-y^2}{xy}$.

Теперь раскроем скобки и объединим дроби:

$\frac{xy^2-y^2}{xy} - \frac{x^2y-x^2}{xy} - \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{(xy^2-y^2) - (x^2y-x^2) - (x^2-y^2)}{xy}$.

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки:

$\frac{xy^2-y^2 - x^2y+x^2 - x^2+y^2}{xy}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $(-y^2+y^2=0)$ и $(x^2-x^2=0)$.

$\frac{xy^2-x^2y}{xy}$.

Вынесем общий множитель $xy$ за скобки в числителе:

$\frac{xy(y-x)}{xy}$.

Сократим дробь на $xy$ (при условии, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$):

$y-x$.

Ответ: $y-x$

3) Упростим выражение $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}$.

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $ac$, $a$ и $c$ равен $ac$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Первую дробь оставляем без изменений, вторую домножаем на $c$, третью на $a$:

$\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{(a+2c) \cdot c}{a \cdot c} + \frac{(a-2c) \cdot a}{c \cdot a} = \frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{ac+2c^2}{ac} + \frac{a^2-2ac}{ac}$.

Выполним действия с дробями, записав всё под одним знаменателем:

$\frac{(3ac+2c^2) - (ac+2c^2) + (a^2-2ac)}{ac}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3ac+2c^2 - ac-2c^2 + a^2-2ac}{ac}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $(3ac-ac-2ac=0)$ и $(2c^2-2c^2=0)$.

$\frac{a^2}{ac}$.

Сократим полученную дробь на $a$ (при условии, что $a \ne 0$ и $c \ne 0$):

$\frac{a}{c}$.

Ответ: $\frac{a}{c}$