Номер 39.21, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.21. 1) $\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$;

2) $\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$;

3) $\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$;

4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$.

1) $\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Теперь видно, что общий знаменатель — это $a^3+b^3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3} = \frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(a^2-ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a^3+b^3} = \frac{a^2-ab+b^2-a^2-b^2}{a^3+b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-ab}{a^3+b^3}$

Ответ: $\frac{-ab}{a^3+b^3}$

2) $\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2)$

Общим знаменателем является $p^3-q^3$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(p^2+pq+q^2)$:

$\frac{1 \cdot (p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} - \frac{3pq}{p^3-q^3} = \frac{p^2+pq+q^2}{p^3-q^3} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{p^2+pq+q^2-3pq}{p^3-q^3} = \frac{p^2-2pq+q^2}{p^3-q^3}$

Числитель является формулой квадрата разности: $p^2-2pq+q^2 = (p-q)^2$. Подставим это в наше выражение:

$\frac{(p-q)^2}{p^3-q^3} = \frac{(p-q)^2}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p-q)$:

$\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

Ответ: $\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

3) $\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$

Разложим знаменатель второй дроби, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^3+1 = a^3+1^3 = (a+1)(a^2-a+1)$

Общим знаменателем является $a^3+1$. Домножим первую дробь на недостающий множитель $(a+1)$:

$\frac{(1-a)(a+1)}{(a^2-a+1)(a+1)} + \frac{a^2}{a^3+1}$

В числителе первой дроби получилась формула разности квадратов $(1-a)(1+a)=1-a^2$:

$\frac{1-a^2}{a^3+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{1-a^2+a^2}{a^3+1} = \frac{1}{a^3+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^3+1}$

4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$

Для приведения к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов, $a^3+64=a^3+4^3$:

$a^3+64 = (a+4)(a^2-4a+16)$

Общий знаменатель — $a^3+64$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(a+4)$:

$\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2(a+4)}{(a^2-4a+16)(a+4)} = \frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^3+12a^2}{a^3+64}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(6a^3+48a) - (3a^3+12a^2)}{a^3+64} = \frac{6a^3+48a-3a^3-12a^2}{a^3+64}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a^3-12a^2+48a}{a^3+64}$

Вынесем в числителе общий множитель $3a$ за скобки:

$\frac{3a(a^2-4a+16)}{a^3+64}$

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель:

$\frac{3a(a^2-4a+16)}{(a+4)(a^2-4a+16)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2-4a+16)$:

$\frac{3a}{a+4}$

Ответ: $\frac{3a}{a+4}$