Номер 39.19, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.19. Найдите значение выражения:

1) $\frac{y - 25}{5y - 25} + \frac{3y + 5}{y^2 - 5y}$ при $y = 2,5;$

2) $\frac{2}{y^2 - yx} - \frac{2}{yx - x^2}$ при $x = 2; y = -3.$

1) Сначала упростим выражение $\frac{y-25}{5y-25} + \frac{3y+5}{y^2-5y}$.

Для этого разложим знаменатели на множители:

$5y-25 = 5(y-5)$

$y^2-5y = y(y-5)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{y-25}{5(y-5)} + \frac{3y+5}{y(y-5)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $5y(y-5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$, а второй — на $5$:

$\frac{y(y-25)}{5y(y-5)} + \frac{5(3y+5)}{5y(y-5)} = \frac{y(y-25) + 5(3y+5)}{5y(y-5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{y^2-25y+15y+25}{5y(y-5)} = \frac{y^2-10y+25}{5y(y-5)}$

В числителе мы получили формулу квадрата разности: $y^2-10y+25 = (y-5)^2$.

$\frac{(y-5)^2}{5y(y-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-5)$:

$\frac{y-5}{5y}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $y = 2,5$:

$\frac{2,5-5}{5 \cdot 2,5} = \frac{-2,5}{12,5} = -\frac{25}{125} = -\frac{1}{5} = -0,2$

Ответ: $-0,2$

2) Сначала упростим выражение $\frac{2}{y^2 - yx} - \frac{2}{yx - x^2}$.

Разложим знаменатели на множители:

$y^2 - yx = y(y - x)$

$yx - x^2 = x(y - x)$

Выражение принимает вид:

$\frac{2}{y(y - x)} - \frac{2}{x(y - x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(y-x)$. Для этого домножим первую дробь на $x$, а вторую на $y$:

$\frac{2x}{xy(y - x)} - \frac{2y}{xy(y - x)} = \frac{2x-2y}{xy(y-x)}$

В числителе вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$\frac{2(x-y)}{xy(y-x)}$

Заметим, что $(x-y) = -(y-x)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-2(y-x)}{xy(y-x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-x)$:

$-\frac{2}{xy}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x = 2$ и $y = -3$:

$-\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$