Номер 39.23, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.23. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $ \frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n - 2} - \frac{2}{n + 2} $ и $ n - 1; $

2) $ \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3} $ и $ a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}; $

3) $ \frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab} $ и $ \frac{-8}{2a + b}; $

4) $ \frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2} $ и $ \frac{36}{(a^2 - 9)^2}; $

5) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}; $

6) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} $ и $ \frac{1}{a - 1}. $

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n-2} - \frac{2}{n+2}$ и $n-1$ тождественно равны, упростим первое выражение.Приведем дроби к общему знаменателю $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$.

$\frac{n^3}{(n-2)(n+2)} - \frac{n(n+2)}{(n-2)(n+2)} - \frac{2(n-2)}{(n-2)(n+2)} = \frac{n^3 - n(n+2) - 2(n-2)}{(n-2)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$n^3 - (n^2+2n) - (2n-4) = n^3 - n^2 - 2n - 2n + 4 = n^3 - n^2 - 4n + 4$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$n^2(n-1) - 4(n-1) = (n^2-4)(n-1) = (n-2)(n+2)(n-1)$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{(n-2)(n+2)(n-1)}{(n-2)(n+2)} = n-1$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a-3}$ и $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$ тождественно равны, преобразуем каждое из них.

Преобразуем первое выражение. Общий знаменатель $a(a-3)$:

$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{a(a-3)} = \frac{3+a^3}{a(a-3)}$

Преобразуем второе выражение. Общий знаменатель $a^2-3a = a(a-3)$:

$\frac{(a+3)(a^2-3a)}{a^2-3a} + \frac{9a+3}{a^2-3a} = \frac{a(a+3)(a-3) + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a(a^2-9) + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$

Так как оба выражения равны $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

3) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a+b}{2a^2-ab} - \frac{16a}{4a^2-b^2} - \frac{2a-b}{2a^2+ab}$ и $\frac{-8}{2a+b}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатели на множители: $2a^2-ab = a(2a-b)$, $4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)$, $2a^2+ab = a(2a+b)$.Общий знаменатель: $a(2a-b)(2a+b)$.

$\frac{(2a+b)(2a+b)}{a(2a-b)(2a+b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a-b)(2a+b)} - \frac{(2a-b)(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{(2a+b)^2 - 16a^2 - (2a-b)^2}{a(2a-b)(2a+b)}$

Упростим числитель:

$(4a^2+4ab+b^2) - 16a^2 - (4a^2-4ab+b^2) = 4a^2+4ab+b^2 - 16a^2 - 4a^2+4ab-b^2 = -16a^2 + 8ab$

Разложим числитель на множители: $-8a(2a-b)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{-8}{2a+b}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

4) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{(a-3)^2} - \frac{2}{a^2-9} + \frac{1}{(a+3)^2}$ и $\frac{36}{(a^2-9)^2}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Общий знаменатель: $(a-3)^2(a+3)^2 = ((a-3)(a+3))^2 = (a^2-9)^2$.

$\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2} - \frac{2(a-3)(a+3)}{(a-3)^2(a+3)^2} + \frac{(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2} = \frac{(a+3)^2 - 2(a-3)(a+3) + (a-3)^2}{(a^2-9)^2}$

Числитель представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=a+3$ и $y=a-3$.

$(a+3 - (a-3))^2 = (a+3-a+3)^2 = 6^2 = 36$

Подставим результат в дробь:

$\frac{36}{(a^2-9)^2}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

5) Чтобы доказать, что выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатель $x^3-8$ по формуле разности кубов: $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.Это и будет общий знаменатель.

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2+2x+4)}{x^3-8}$

Упростим числитель:

$(x^2-4x+4) - 6x + x^2+2x+4 = 2x^2 - 8x + 8$

Разложим числитель на множители: $2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

6) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатель $a^3-1$ по формуле разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.Это и будет общий знаменатель.

$\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{(1-2a)(a-1)}{a^3-1} - \frac{3(a^2+a+1)}{a^3-1} = \frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1) - 3(a^2+a+1)}{a^3-1}$

Упростим числитель:

$(2a^2+7a+3) - (a-1-2a^2+2a) - (3a^2+3a+3) = 2a^2+7a+3 - (-2a^2+3a-1) - 3a^2-3a-3$

$= 2a^2+7a+3 + 2a^2-3a+1 - 3a^2-3a-3 = a^2+a+1$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.