Номер 39.22, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.22.

1) $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab}$;

2) $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$;

3) $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$;

4) $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$;

5) $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4}$;

6) $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^2}$;

7) $\frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3 - 8x^3}$;

8) $\frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2}$;

9) $\frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c - c^3}$;

1)

Имеем выражение $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab} $.

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби: $ b^2 - ab = b(b-a) = -b(a-b) $.

Теперь выражение можно переписать так: $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a-b)} = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)} $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей - $ b(a-b)^2 $. Приведем дроби к этому знаменателю.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ b $, а второй - на $ (a-b) $:

$ \frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a^2-b^2)}{b(a-b)^2} $.

Упростим числитель: $ \frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^2}{b(a-b)^2} $

2)

Имеем выражение $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ 36 - a^2 = (6-a)(6+a) = -(a-6)(a+6) $.

Перепишем выражение: $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $.

НОЗ - $ (a-6)(a+6) $. Приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $.

Объединим дроби: $ \frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{a^2+6a - 3a+18 - a^2}{a^2-36} = \frac{3a+18}{a^2-36} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} $.

Сократим дробь на $ (a+6) $: $ \frac{3}{a-6} $.

Ответ: $ \frac{3}{a-6} $

3)

Имеем выражение $ \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2-a^2} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ 16b^2 - a^2 = (4b-a)(4b+a) = -(a-4b)(a+4b) $.

Перепишем выражение: $ \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{-(a-4b)(a+4b)} = \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

НОЗ - $ (a-4b)(a+4b) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} - \frac{1(a-4b)}{(a-4b)(a+4b)} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

Объединим дроби: $ \frac{(a+4b) - (a-4b) + 2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{a+4b-a+4b+2a}{a^2-16b^2} = \frac{2a+8b}{a^2-16b^2} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} $.

Сократим дробь на $ (a+4b) $: $ \frac{2}{a-4b} $.

Ответ: $ \frac{2}{a-4b} $

4)

Имеем выражение $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 2x-2y = 2(x-y) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2(x-y)} $.

НОЗ - $ 2(x-y)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $.

Объединим дроби: $ \frac{2x^2 - (x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов: $ \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} $.

Упростим числитель: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $.

Ответ: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $

5)

Имеем выражение $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ y^2-4 = (y-2)(y+2) $.

НОЗ - $ (y-2)(y+2) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{4(y-2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} $.

Объединим дроби: $ \frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{4y-8 - 3y-6 + 12}{y^2-4} = \frac{y-2}{y^2-4} $.

Разложим знаменатель на множители: $ \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} $.

Сократим дробь на $ (y-2) $: $ \frac{1}{y+2} $.

Ответ: $ \frac{1}{y+2} $

6)

Имеем выражение $ \frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b-b^3} $.

Разложим на множители знаменатели:

$ 2b-2a = 2(b-a) = -2(a-b) $

$ 2b+2a = 2(b+a) = 2(a+b) $

$ a^2b-b^3 = b(a^2-b^2) = b(a-b)(a+b) $

Перепишем выражение: $ \frac{1}{-2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)} $.

НОЗ - $ 2b(a-b)(a+b) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ -\frac{b(a+b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{b(a-b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{2a^2}{2b(a-b)(a+b)} $.

Объединим дроби: $ \frac{-b(a+b) + b(a-b) + 2a^2}{2b(a-b)(a+b)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{-ab-b^2 + ab-b^2 + 2a^2}{2b(a^2-b^2)} = \frac{2a^2-2b^2}{2b(a^2-b^2)} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a^2-b^2)}{2b(a^2-b^2)} $.

Сократим дробь на $ 2(a^2-b^2) $: $ \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{b} $

7)

Имеем выражение $ \frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3-8x^3} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $ u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2) $:

$ b^3-8x^3 = (b)^3-(2x)^3 = (b-2x)(b^2+2bx+4x^2) = -(2x-b)(b^2+2bx+4x^2) $.

Перепишем выражение: $ \frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{-(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{1}{2x-b} - \frac{6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

НОЗ - $ (2x-b)(b^2+2bx+4x^2) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{b^2+2bx+4x^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} - \frac{6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Объединим дроби: $ \frac{b^2+2bx+4x^2 - 6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{b^2-4bx+4x^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Числитель является полным квадратом: $ b^2-4bx+4x^2 = (b-2x)^2 = (-(2x-b))^2 = (2x-b)^2 $.

Подставим в дробь: $ \frac{(2x-b)^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Сократим дробь на $ (2x-b) $: $ \frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2} $.

Ответ: $ \frac{2x-b}{4x^2+2bx+b^2} $

8)

Имеем выражение $ \frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2} $.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $ u^3+v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2) $:

$ y^3+8 = y^3+2^3 = (y+2)(y^2-2y+4) $.

НОЗ - $ (y+2)(y^2-2y+4) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2y^2+16}{(y+2)(y^2-2y+4)} - \frac{2(y^2-2y+4)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Объединим дроби: $ \frac{(2y^2+16) - (2y^2-4y+8)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{2y^2+16 - 2y^2+4y-8}{y^3+8} = \frac{4y+8}{y^3+8} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{4(y+2)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Сократим дробь на $ (y+2) $: $ \frac{4}{y^2-2y+4} $.

Ответ: $ \frac{4}{y^2-2y+4} $

9)

Имеем выражение $ \frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c-c^3} $.

Разложим на множители знаменатели:

$ 2a-2c = 2(a-c) $

$ 2a+2c = 2(a+c) $

$ a^2c-c^3 = c(a^2-c^2) = c(a-c)(a+c) $

НОЗ - $ 2c(a-c)(a+c) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{c(a+c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{c(a-c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{2 \cdot 2a^2}{2c(a-c)(a+c)} $.

Объединим дроби: $ \frac{c(a+c) + c(a-c) + 4a^2}{2c(a-c)(a+c)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{ac+c^2 + ac-c^2 + 4a^2}{2c(a^2-c^2)} = \frac{2ac+4a^2}{2c(a^2-c^2)} $.

Вынесем общий множитель $ 2a $ в числителе: $ \frac{2a(c+2a)}{2c(a^2-c^2)} $.

Сократим дробь на 2: $ \frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)} $.

Ответ: $ \frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)} $