Вопросы, страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие в правилах умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей?

2. При каких значениях букв выполняются действия умножения и деления рациональных дробей?

1. В чем сходство и различие в правилах умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей?

Сходство правил умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей заключается в том, что сам алгоритм (последовательность действий) для них абсолютно одинаков.

Умножение дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первый результат становится числителем, а второй — знаменателем новой дроби.
В виде формулы это выглядит так: $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $.

Деление дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делитель).
В виде формулы это выглядит так: $ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $.

Эти формулы справедливы для обоих типов дробей.

Различие между правилами заключается в том, какие объекты представляют собой числители и знаменатели, и в методах последующего упрощения.

Обыкновенные дроби: их числители и знаменатели — это целые числа. Все вычисления и последующее сокращение дроби — это арифметические операции с числами. Например, $ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.

Рациональные дроби: их числители и знаменатели — это многочлены (алгебраические выражения с переменными). Поэтому умножение и деление — это операции над многочленами. Упрощение (сокращение) итоговой дроби требует умения раскладывать многочлены на множители. Например, $ \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{x \cdot (x^2-1)}{(x-1) \cdot x^2} = \frac{x \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1) \cdot x \cdot x} = \frac{x+1}{x} $. Кроме того, для рациональных дробей всегда необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) переменных, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

Ответ: Сходство правил умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей заключается в одинаковом алгоритме действий: для умножения перемножаются числители и знаменатели, для деления первая дробь умножается на обратную второй. Различие заключается в том, что у обыкновенных дробей числители и знаменатели — числа, а у рациональных — многочлены, что требует применения методов разложения на множители для упрощения и учета области допустимых значений переменных.

2. При каких значениях букв выполняются действия умножения и деления рациональных дробей?

Действия с рациональными дробями (умножение и деление) выполняются при всех значениях входящих в них букв (переменных), которые принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) всего выражения. ОДЗ определяется условием, что знаменатель любой дроби в выражении не может быть равен нулю.

Умножение: Для выполнения умножения рациональных дробей $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} $ необходимо, чтобы обе исходные дроби имели смысл. Это означает, что их знаменатели не должны обращаться в нуль. Таким образом, значения переменных должны удовлетворять условиям: $ B \neq 0 $ и $ D \neq 0 $.

Деление: Операция деления $ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} $ равносильна умножению $ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $. Для корректности этой операции необходимо выполнение трех условий:
1. Знаменатель первой дроби (делимого) не должен быть равен нулю: $ B \neq 0 $.
2. Знаменатель второй дроби (делителя) не должен быть равен нулю: $ D \neq 0 $.
3. Сама дробь-делитель не должна быть равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель не равен). Следовательно, числитель делителя не должен быть равен нулю: $ C \neq 0 $.
Таким образом, для выполнения деления необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли одновременно трем условиям: $ B \neq 0 $, $ D \neq 0 $ и $ C \neq 0 $.

Ответ: Умножение рациональных дробей выполняется при тех значениях букв, при которых знаменатели исходных дробей не равны нулю. Деление выполняется при тех значениях букв, при которых не равны нулю знаменатели обеих дробей, а также числитель дроби-делителя.