Страница 256 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В чем сходство и различие в правилах умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей?

2. При каких значениях букв выполняются действия умножения и деления рациональных дробей?

1. В чем сходство и различие в правилах умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей?

Сходство правил умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей заключается в том, что сам алгоритм (последовательность действий) для них абсолютно одинаков.

Умножение дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первый результат становится числителем, а второй — знаменателем новой дроби.
В виде формулы это выглядит так: $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $.

Деление дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делитель).
В виде формулы это выглядит так: $ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $.

Эти формулы справедливы для обоих типов дробей.

Различие между правилами заключается в том, какие объекты представляют собой числители и знаменатели, и в методах последующего упрощения.

Обыкновенные дроби: их числители и знаменатели — это целые числа. Все вычисления и последующее сокращение дроби — это арифметические операции с числами. Например, $ \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $.

Рациональные дроби: их числители и знаменатели — это многочлены (алгебраические выражения с переменными). Поэтому умножение и деление — это операции над многочленами. Упрощение (сокращение) итоговой дроби требует умения раскладывать многочлены на множители. Например, $ \frac{x}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{x \cdot (x^2-1)}{(x-1) \cdot x^2} = \frac{x \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1) \cdot x \cdot x} = \frac{x+1}{x} $. Кроме того, для рациональных дробей всегда необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) переменных, чтобы знаменатели не обращались в ноль.

Ответ: Сходство правил умножения и деления обыкновенных и рациональных дробей заключается в одинаковом алгоритме действий: для умножения перемножаются числители и знаменатели, для деления первая дробь умножается на обратную второй. Различие заключается в том, что у обыкновенных дробей числители и знаменатели — числа, а у рациональных — многочлены, что требует применения методов разложения на множители для упрощения и учета области допустимых значений переменных.

2. При каких значениях букв выполняются действия умножения и деления рациональных дробей?

Действия с рациональными дробями (умножение и деление) выполняются при всех значениях входящих в них букв (переменных), которые принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) всего выражения. ОДЗ определяется условием, что знаменатель любой дроби в выражении не может быть равен нулю.

Умножение: Для выполнения умножения рациональных дробей $ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} $ необходимо, чтобы обе исходные дроби имели смысл. Это означает, что их знаменатели не должны обращаться в нуль. Таким образом, значения переменных должны удовлетворять условиям: $ B \neq 0 $ и $ D \neq 0 $.

Деление: Операция деления $ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} $ равносильна умножению $ \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} $. Для корректности этой операции необходимо выполнение трех условий:
1. Знаменатель первой дроби (делимого) не должен быть равен нулю: $ B \neq 0 $.
2. Знаменатель второй дроби (делителя) не должен быть равен нулю: $ D \neq 0 $.
3. Сама дробь-делитель не должна быть равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель не равен). Следовательно, числитель делителя не должен быть равен нулю: $ C \neq 0 $.
Таким образом, для выполнения деления необходимо, чтобы значения переменных удовлетворяли одновременно трем условиям: $ B \neq 0 $, $ D \neq 0 $ и $ C \neq 0 $.

Ответ: Умножение рациональных дробей выполняется при тех значениях букв, при которых знаменатели исходных дробей не равны нулю. Деление выполняется при тех значениях букв, при которых не равны нулю знаменатели обеих дробей, а также числитель дроби-делителя.

40.1. Представьте дробь в виде произведения или частного двух дробно-рациональных выражений:

1) $\frac{3xy-2y}{5x^2}$;

2) $\frac{4x^3y-2y^2}{3xy^2}$;

3) $\frac{3xy^3+12y}{5x^2a}$;

4) $\frac{7xy-25y^3}{5a^2-x}$.

1) Исходная дробь: $\frac{3xy - 2y}{5x^2}$.

Чтобы представить эту дробь в виде произведения или частного, необходимо сначала разложить на множители ее числитель или знаменатель. В данном случае разложим на множители числитель, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$3xy - 2y = y(3x - 2)$.

Таким образом, исходная дробь принимает вид:

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2}$.

Теперь мы можем представить эту дробь как произведение двух дробей, сгруппировав множители. Например, можно множитель $y$ отделить от $(3x - 2)$, а множители знаменателя $5$ и $x^2$ распределить между дробями.

Вариант представления в виде произведения:

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2} = \frac{y}{5} \cdot \frac{3x - 2}{x^2}$.

Вариант представления в виде частного (используя правило $\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a}{b} : \frac{1}{c}$):

$\frac{y(3x - 2)}{5x^2} = \frac{y}{5x^2} : \frac{1}{3x-2}$.

Ответ: $\frac{y}{5} \cdot \frac{3x - 2}{x^2}$.

2) Исходная дробь: $\frac{4x^3y - 2y^2}{3xy^2}$.

Сначала разложим числитель на множители. Общий множитель для $4x^3y$ и $-2y^2$ это $2y$:

$4x^3y - 2y^2 = 2y(2x^3 - y)$.

Теперь дробь можно записать как:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2}$.

Представим эту дробь в виде произведения. Можно сгруппировать множители разными способами. Например:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2}$.

Также можно было бы сократить дробь на $y$, но задача состоит в представлении исходной дроби.

Представление в виде частного:

$\frac{2y(2x^3 - y)}{3xy^2} = \frac{2y(2x^3-y)}{3y^2} : x$.

Ответ: $\frac{2y}{3x} \cdot \frac{2x^3 - y}{y^2}$.

3) Исходная дробь: $\frac{3xy^3 + 12y}{5x^2a}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $3y$ за скобки:

$3xy^3 + 12y = 3y(xy^2 + 4)$.

Дробь принимает вид:

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a}$.

Представим ее в виде произведения двух дробей. Знаменатель $5x^2a$ можно рассматривать как $5a \cdot x^2$.

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} = \frac{3y}{5a} \cdot \frac{xy^2 + 4}{x^2}$.

Другой вариант в виде произведения:

$\frac{3y(xy^2 + 4)}{5x^2a} = 3y \cdot \frac{xy^2 + 4}{5x^2a}$.

Представление в виде частного:

$\frac{3y(xy^2+4)}{5x^2a} = \frac{3y}{5x^2a} : \frac{1}{xy^2+4}$.

Ответ: $\frac{3y}{5a} \cdot \frac{xy^2 + 4}{x^2}$.

4) Исходная дробь: $\frac{7xy - 25y^3}{5a^2 - x}$.

Разложим на множители числитель, вынеся за скобки общий множитель $y$:

$7xy - 25y^3 = y(7x - 25y^2)$.

Знаменатель $5a^2 - x$ на множители не раскладывается.

Дробь принимает вид:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x}$.

Представим эту дробь в виде произведения, отделив множитель $y$:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} = y \cdot \frac{7x - 25y^2}{5a^2 - x}$.

Представление в виде частного:

$\frac{y(7x - 25y^2)}{5a^2 - x} = \frac{y}{5a^2-x} : \frac{1}{7x-25y^2}$.

Ответ: $y \cdot \frac{7x - 25y^2}{5a^2 - x}$.

40.2. Выполните умножение:

1) $\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3}$;

2) $\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10}$;

3) $\frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b}$;

4) $\frac{12x^5}{25} \cdot \frac{15}{8x^2}$;

5) $\frac{5}{3a} \cdot \frac{2b}{3}$;

6) $\frac{3x}{4} \cdot \frac{1}{x}$;

7) $\frac{3b^2}{10} \cdot \frac{15}{b^3}$;

8) $\frac{16x^5}{35} \cdot \frac{5}{8x^3}$;

9) $\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10}$;

10) $\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3}$;

11) $\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24}$;

12) $\frac{3}{4a^3} \cdot \frac{16a^2}{9}$;

13) $\frac{15x^3}{4} \cdot \frac{12}{5x}$;

14) $\frac{15}{3ab} \cdot \frac{12b^3}{3}$;

15) $\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24}$;

1) Чтобы умножить дроби $\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3}$, перемножим их числители и знаменатели: $\frac{9 \cdot 5a}{2a \cdot 3}$. Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить $a$ в числителе и знаменателе. Также сократим числовые коэффициенты: 9 и 3 на 3. Получаем: $\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{15}{2}$.
$\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3} = \frac{9 \cdot 5a}{2a \cdot 3} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot 5 \cdot a}{2 \cdot a \cdot 3} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$.
Ответ: $\frac{15}{2}$

2) Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: $\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10}$. Сократим 5 в числителе и 10 в знаменателе на 5. Получаем: $\frac{a \cdot 7}{8y \cdot 2} = \frac{7a}{16y}$.
$\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10} = \frac{5 \cdot a \cdot 7}{8 \cdot y \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{7a}{8y \cdot 2} = \frac{7a}{16y}$.
Ответ: $\frac{7a}{16y}$

3) Выполним умножение дробей $\frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b}$, перемножив числители и знаменатели: $\frac{b^2 \cdot 5}{10 \cdot b}$. Сократим дробь. $b^2$ и $b$ сокращаются на $b$, а 5 и 10 сокращаются на 5. Получаем: $\frac{b \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{b}{2}$.
$\frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b} = \frac{b^2 \cdot 5}{10 \cdot b} = \frac{b \cdot b \cdot 5}{(2 \cdot 5) \cdot b} = \frac{b}{2}$.
Ответ: $\frac{b}{2}$

4) Перемножим дроби $\frac{12x^5}{25} \cdot \frac{15}{8x^2}$: $\frac{12x^5 \cdot 15}{25 \cdot 8x^2}$. Сократим переменные: $\frac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3$. Сократим числовые коэффициенты: 12 и 8 на 4, 15 и 25 на 5. Получаем $\frac{3 \cdot 3 \cdot x^3}{5 \cdot 2} = \frac{9x^3}{10}$.
$\frac{12x^5}{25} \cdot \frac{15}{8x^2} = \frac{12 \cdot 15 \cdot x^5}{25 \cdot 8 \cdot x^2} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 5) \cdot x^3 \cdot x^2}{(5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 4) \cdot x^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot x^3}{5 \cdot 2} = \frac{9x^3}{10}$.
Ответ: $\frac{9x^3}{10}$

5) Умножим дроби $\frac{5}{3a} \cdot \frac{2b}{3}$: $\frac{5 \cdot 2b}{3a \cdot 3} = \frac{10b}{9a}$. В данном выражении нет общих множителей для сокращения.
Ответ: $\frac{10b}{9a}$

6) Выполним умножение $\frac{3x}{4} \cdot \frac{1}{x}$: $\frac{3x \cdot 1}{4 \cdot x} = \frac{3x}{4x}$. Сократим $x$ в числителе и знаменателе. Получаем $\frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

7) Умножим дроби $\frac{3b^2}{10} \cdot \frac{15}{b^3}$: $\frac{3b^2 \cdot 15}{10 \cdot b^3}$. Сократим переменные: $\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}$. Сократим числа: 15 и 10 на 5. Получаем $\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot b} = \frac{9}{2b}$.
$\frac{3b^2}{10} \cdot \frac{15}{b^3} = \frac{3 \cdot b^2 \cdot (3 \cdot 5)}{(2 \cdot 5) \cdot b^2 \cdot b} = \frac{3 \cdot 3}{2b} = \frac{9}{2b}$.
Ответ: $\frac{9}{2b}$

8) Умножим $\frac{16x^5}{35} \cdot \frac{5}{8x^3}$: $\frac{16x^5 \cdot 5}{35 \cdot 8x^3}$. Сократим переменные: $\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$. Сократим числа: 16 и 8 на 8, 5 и 35 на 5. Получаем $\frac{2 \cdot 1 \cdot x^2}{7 \cdot 1} = \frac{2x^2}{7}$.
$\frac{16x^5}{35} \cdot \frac{5}{8x^3} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot 5}{(7 \cdot 5) \cdot 8 \cdot x^3} = \frac{2x^2}{7}$.
Ответ: $\frac{2x^2}{7}$

9) Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: $\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10}$. Сократим 5 в числителе и 10 в знаменателе на 5. Получаем: $\frac{a \cdot 7}{8y \cdot 2} = \frac{7a}{16y}$.
$\frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10} = \frac{5 \cdot a \cdot 7}{8 \cdot y \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{7a}{8y \cdot 2} = \frac{7a}{16y}$.
Ответ: $\frac{7a}{16y}$

10) Чтобы умножить дроби $\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3}$, перемножим их числители и знаменатели: $\frac{9 \cdot 5a}{2a \cdot 3}$. Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить $a$ в числителе и знаменателе. Также сократим числовые коэффициенты: 9 и 3 на 3. Получаем: $\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 1} = \frac{15}{2}$.
$\frac{9}{2a} \cdot \frac{5a}{3} = \frac{9 \cdot 5a}{2a \cdot 3} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot 5 \cdot a}{2 \cdot a \cdot 3} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$.
Ответ: $\frac{15}{2}$

11) Выполним умножение $\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24}$: $\frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24}$. Сократим переменные: $\frac{c^3}{c^4} = \frac{1}{c}$. Сократим числа: 18 и 24 на их наибольший общий делитель 6. Получаем $\frac{3}{c \cdot 4} = \frac{3}{4c}$.
$\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24} = \frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24} = \frac{(3 \cdot 6) \cdot c^3}{c \cdot c^3 \cdot (4 \cdot 6)} = \frac{3}{4c}$.
Ответ: $\frac{3}{4c}$

12) Умножим дроби $\frac{3}{4a^3} \cdot \frac{16a^2}{9}$: $\frac{3 \cdot 16a^2}{4a^3 \cdot 9}$. Сократим переменные: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$. Сократим числа: 3 и 9 на 3, 16 и 4 на 4. Получаем $\frac{1 \cdot 4}{a \cdot 3} = \frac{4}{3a}$.
$\frac{3}{4a^3} \cdot \frac{16a^2}{9} = \frac{3 \cdot 16 \cdot a^2}{4 \cdot a^3 \cdot 9} = \frac{3 \cdot (4 \cdot 4) \cdot a^2}{4 \cdot a \cdot a^2 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{4}{3a}$.
Ответ: $\frac{4}{3a}$

13) Перемножим дроби $\frac{15x^3}{4} \cdot \frac{12}{5x}$: $\frac{15x^3 \cdot 12}{4 \cdot 5x}$. Сократим переменные: $\frac{x^3}{x} = x^2$. Сократим числа: 15 и 5 на 5, 12 и 4 на 4. Получаем $\frac{3x^2 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 9x^2$.
$\frac{15x^3}{4} \cdot \frac{12}{5x} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot x \cdot (3 \cdot 4)}{4 \cdot 5 \cdot x} = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$.
Ответ: $9x^2$

14) Выполним умножение $\frac{15}{3ab} \cdot \frac{12b^3}{3}$: $\frac{15 \cdot 12b^3}{3ab \cdot 3} = \frac{180b^3}{9ab}$. Сократим переменные: $\frac{b^3}{b} = b^2$. Сократим числа: $\frac{180}{9}=20$. Получаем $\frac{20b^2}{a}$.
Или сокращая поэтапно: $\frac{15}{3ab} \cdot \frac{12b^3}{3} = \frac{(5 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 3) \cdot b^2 \cdot b}{3 \cdot a \cdot b \cdot 3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot b^2}{a} = \frac{20b^2}{a}$.
Ответ: $\frac{20b^2}{a}$

15) Выполним умножение $\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24}$: $\frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24}$. Сократим переменные: $\frac{c^3}{c^4} = \frac{1}{c}$. Сократим числа: 18 и 24 на их наибольший общий делитель 6. Получаем $\frac{3}{c \cdot 4} = \frac{3}{4c}$.
$\frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24} = \frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24} = \frac{(3 \cdot 6) \cdot c^3}{c \cdot c^3 \cdot (4 \cdot 6)} = \frac{3}{4c}$.
Ответ: $\frac{3}{4c}$

40.3. Выполните деление:

1) $35x^5y : \frac{7x^3}{34}$;

2) $\frac{12p^2}{7d^4} : \frac{6p^3}{35d^2}$;

3) $\frac{3ab}{4xy} : \left(-\frac{12a^2b}{10x^2y}\right)$;

4) $-\frac{a^2}{12b} : \frac{ab}{36}$;

5) $-\frac{9y^2}{20x^3} : \frac{y^5}{16x}$;

6) $\frac{18a^2b^2}{5cd} : \left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right)$;

7) $-\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d}$;

8) $-\frac{11x}{4y^2} : (-22x^2)$;

9) $-\frac{18c^4}{7d} : (-9c^2d)$;

10) $\frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2}$;

11) $\frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2}$;

12) $27a^3 : \frac{18a^4}{7b^2}$.

1) Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь. Представим $35x^5y$ в виде дроби $\frac{35x^5y}{1}$.
$35x^5y : \frac{7x^3}{34} = \frac{35x^5y}{1} \cdot \frac{34}{7x^3} = \frac{35 \cdot 34 \cdot x^5y}{7x^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{35}{7} = 5$.
Сокращаем переменные: $\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$.
Получаем: $5 \cdot 34 \cdot x^2y = 170x^2y$.
Ответ: $170x^2y$

2) Для деления дробей умножаем первую дробь на перевернутую вторую.
$\frac{12p^2}{7d^4} : \frac{6p^3}{35d^2} = \frac{12p^2}{7d^4} \cdot \frac{35d^2}{6p^3} = \frac{12 \cdot 35 \cdot p^2d^2}{7 \cdot 6 \cdot d^4p^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{12 \cdot 35}{7 \cdot 6} = \frac{2 \cdot 5}{1} = 10$.
Сокращаем переменные: $\frac{p^2}{p^3} = \frac{1}{p}$ и $\frac{d^2}{d^4} = \frac{1}{d^2}$.
Результат: $\frac{10}{d^2p}$.
Ответ: $\frac{10}{d^2p}$

3) Деление на отрицательную дробь эквивалентно умножению на обратную ей отрицательную дробь.
$\frac{3ab}{4xy} : \left(-\frac{12a^2b}{10x^2y}\right) = \frac{3ab}{4xy} \cdot \left(-\frac{10x^2y}{12a^2b}\right) = -\frac{3 \cdot 10 \cdot abx^2y}{4 \cdot 12 \cdot xya^2b}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{3 \cdot 10}{4 \cdot 12} = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$, $\frac{b}{b} = 1$, $\frac{x^2}{x} = x$, $\frac{y}{y} = 1$.
Результат: $-\frac{5x}{8a}$.
Ответ: $-\frac{5x}{8a}$

4) Выполняем деление, умножая на обратную дробь.
$-\frac{a^2}{12b} : \frac{ab}{36} = -\frac{a^2}{12b} \cdot \frac{36}{ab} = -\frac{36a^2}{12ab^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{36}{12} = 3$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^2}{a} = a$.
Объединяем: $-\frac{3a}{b^2}$.
Ответ: $-\frac{3a}{b^2}$

5) Выполняем деление дробей.
$-\frac{9y^2}{20x^3} : \frac{y^5}{16x} = -\frac{9y^2}{20x^3} \cdot \frac{16x}{y^5} = -\frac{9 \cdot 16 \cdot y^2x}{20 \cdot 5 \cdot x^3y^5}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{9 \cdot 16}{20} = \frac{9 \cdot 4}{5} = \frac{36}{5}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$ и $\frac{y^2}{y^5} = \frac{1}{y^3}$.
Результат: $-\frac{36}{5x^2y^3}$.
Ответ: $-\frac{36}{5x^2y^3}$

6) Выполняем деление дробей, не забывая про знак.
$\frac{18a^2b^2}{5cd} : \left(-\frac{9ab^3}{5c^2d^4}\right) = \frac{18a^2b^2}{5cd} \cdot \left(-\frac{5c^2d^4}{9ab^3}\right) = -\frac{18 \cdot 5 \cdot a^2b^2c^2d^4}{5 \cdot 9 \cdot cda b^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{18 \cdot 5}{5 \cdot 9} = 2$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^2}{a} = a$, $\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}$, $\frac{c^2}{c} = c$, $\frac{d^4}{d} = d^3$.
Результат: $-\frac{2acd^3}{b}$.
Ответ: $-\frac{2acd^3}{b}$

7) Выполняем деление дробей.
$-\frac{8c}{21d^2} : \frac{6c^2}{7d} = -\frac{8c}{21d^2} \cdot \frac{7d}{6c^2} = -\frac{8 \cdot 7 \cdot cd}{21 \cdot 6 \cdot d^2c^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8 \cdot 7}{21 \cdot 6} = \frac{4 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{4}{9}$.
Сокращаем переменные: $\frac{c}{c^2} = \frac{1}{c}$ и $\frac{d}{d^2} = \frac{1}{d}$.
Результат: $-\frac{4}{9cd}$.
Ответ: $-\frac{4}{9cd}$

8) Деление на одночлен эквивалентно умножению на обратную ему дробь. Деление отрицательного на отрицательное дает положительный результат.
$-\frac{11x}{4y^2} : (-22x^2) = -\frac{11x}{4y^2} : \left(-\frac{22x^2}{1}\right) = \frac{11x}{4y^2} \cdot \frac{1}{22x^2} = \frac{11x}{4 \cdot 22 \cdot y^2x^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{11}{4 \cdot 22} = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.
Результат: $\frac{1}{8xy^2}$.
Ответ: $\frac{1}{8xy^2}$

9) Деление отрицательного на отрицательное дает положительный результат.
$-\frac{18c^4}{7d} : (-9c^2d) = \frac{18c^4}{7d} \cdot \frac{1}{9c^2d} = \frac{18c^4}{7 \cdot 9 \cdot d \cdot c^2d} = \frac{18c^4}{63c^2d^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{18}{63} = \frac{2}{7}$.
Сокращаем переменные: $\frac{c^4}{c^2} = c^2$ и $\frac{1}{d^2}$.
Результат: $\frac{2c^2}{7d^2}$.
Ответ: $\frac{2c^2}{7d^2}$

10) Выполняем деление дробей.
$\frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2} = \frac{14}{9x^3} \cdot \frac{2y^2}{7x} = \frac{14 \cdot 2 \cdot y^2}{9 \cdot 7 \cdot x^3x}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{14 \cdot 2}{9 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{9} = \frac{4}{9}$.
Сокращаем переменные: $\frac{1}{x^3 \cdot x} = \frac{1}{x^4}$.
Результат: $\frac{4y^2}{9x^4}$.
Ответ: $\frac{4y^2}{9x^4}$

11) Выполняем деление дробей.
$\frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2} = \frac{3x}{10a^3} \cdot \frac{5a^2}{1} = \frac{3 \cdot 5 \cdot xa^2}{10a^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$.
Результат: $\frac{3x}{2a}$.
Ответ: $\frac{3x}{2a}$

12) Представим одночлен $27a^3$ в виде дроби $\frac{27a^3}{1}$ и выполним деление.
$27a^3 : \frac{18a^4}{7b^2} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{7b^2}{18a^4} = \frac{27 \cdot 7 \cdot a^3b^2}{18a^4}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{27 \cdot 7}{18} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 7}{2 \cdot 9} = \frac{21}{2}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^3}{a^4} = \frac{1}{a}$.
Результат: $\frac{21b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{21b^2}{2a}$