Страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.17. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay}$;

2) $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy}$;

3) $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{xy} + \frac{1}{ax} + \frac{1}{ay}$, нужно привести все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $xy$, $ax$ и $ay$ — это $axy$.

Для первой дроби $\frac{1}{xy}$ дополнительный множитель равен $a$.

Для второй дроби $\frac{1}{ax}$ дополнительный множитель равен $y$.

Для третьей дроби $\frac{1}{ay}$ дополнительный множитель равен $x$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:

$\frac{1 \cdot a}{xy \cdot a} + \frac{1 \cdot y}{ax \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{ay \cdot x} = \frac{a}{axy} + \frac{y}{axy} + \frac{x}{axy} = \frac{a+y+x}{axy}$.

Ответ: $\frac{a+x+y}{axy}$

2) Упростим выражение $\frac{xy-y}{x} - \frac{xy-x}{y} - \frac{x^2-y^2}{xy}$.

Общий знаменатель для дробей с знаменателями $x$, $y$ и $xy$ равен $xy$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $xy$:

$\frac{(xy-y) \cdot y}{x \cdot y} - \frac{(xy-x) \cdot x}{y \cdot x} - \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{y(xy-y)}{xy} - \frac{x(xy-x)}{xy} - \frac{x^2-y^2}{xy}$.

Теперь раскроем скобки и объединим дроби:

$\frac{xy^2-y^2}{xy} - \frac{x^2y-x^2}{xy} - \frac{x^2-y^2}{xy} = \frac{(xy^2-y^2) - (x^2y-x^2) - (x^2-y^2)}{xy}$.

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки:

$\frac{xy^2-y^2 - x^2y+x^2 - x^2+y^2}{xy}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $(-y^2+y^2=0)$ и $(x^2-x^2=0)$.

$\frac{xy^2-x^2y}{xy}$.

Вынесем общий множитель $xy$ за скобки в числителе:

$\frac{xy(y-x)}{xy}$.

Сократим дробь на $xy$ (при условии, что $x \ne 0$ и $y \ne 0$):

$y-x$.

Ответ: $y-x$

3) Упростим выражение $\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{a+2c}{a} + \frac{a-2c}{c}$.

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $ac$, $a$ и $c$ равен $ac$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Первую дробь оставляем без изменений, вторую домножаем на $c$, третью на $a$:

$\frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{(a+2c) \cdot c}{a \cdot c} + \frac{(a-2c) \cdot a}{c \cdot a} = \frac{3ac+2c^2}{ac} - \frac{ac+2c^2}{ac} + \frac{a^2-2ac}{ac}$.

Выполним действия с дробями, записав всё под одним знаменателем:

$\frac{(3ac+2c^2) - (ac+2c^2) + (a^2-2ac)}{ac}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3ac+2c^2 - ac-2c^2 + a^2-2ac}{ac}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе: $(3ac-ac-2ac=0)$ и $(2c^2-2c^2=0)$.

$\frac{a^2}{ac}$.

Сократим полученную дробь на $a$ (при условии, что $a \ne 0$ и $c \ne 0$):

$\frac{a}{c}$.

Ответ: $\frac{a}{c}$

39.18. Выполните действия:

1) $\frac{2x}{3(x - y)} - \frac{4y}{5(x - y)};$

2) $\frac{a^2}{5(a - b)} - \frac{b^2}{4(a - b)};$

3) $\frac{3}{ax - ay} + \frac{2}{by - bx};$

4) $\frac{13c}{bm - bn} - \frac{12b}{cn - cm};$

5) $\frac{c}{2x + 4} - \frac{c}{3x + 6};$

6) $\frac{a}{7a - 14} + \frac{1}{2 - a}.$

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2x}{3(x-y)} - \frac{4y}{5(x-y)}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $3(x-y)$ и $5(x-y)$ это $15(x-y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $\frac{15(x-y)}{3(x-y)} = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $\frac{15(x-y)}{5(x-y)} = 3$.
$\frac{2x}{3(x-y)} - \frac{4y}{5(x-y)} = \frac{5 \cdot 2x}{15(x-y)} - \frac{3 \cdot 4y}{15(x-y)} = \frac{10x - 12y}{15(x-y)}$.
Вынесем в числителе общий множитель $2$ за скобки: $\frac{2(5x - 6y)}{15(x-y)}$.
Ответ: $\frac{2(5x-6y)}{15(x-y)}$.

2) В выражении $\frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)}$ общий знаменатель равен $20(a-b)$.
Дополнительный множитель для первой дроби - $4$, для второй - $5$.
$\frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)}$.
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $\frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)}$.

3) В выражении $\frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx}$ сначала преобразуем знаменатели, вынеся общие множители.
$ax-ay = a(x-y)$
$by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$
Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение: $\frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)}$.
Общий знаменатель равен $ab(x-y)$. Домножим числитель первой дроби на $b$, а второй на $a$: $\frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)}$.
Ответ: $\frac{3b-2a}{ab(x-y)}$.

4) В выражении $\frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm}$ преобразуем знаменатели.
$bm-bn = b(m-n)$
$cn-cm = c(n-m) = -c(m-n)$
Выражение принимает вид: $\frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)}$.
Общий знаменатель равен $bc(m-n)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $c$, для второй - $b$.
$\frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)}$.
Ответ: $\frac{13c^2+12b^2}{bc(m-n)}$.

5) В выражении $\frac{c}{2x+4} - \frac{c}{3x+6}$ вынесем общие множители в знаменателях.
$2x+4 = 2(x+2)$
$3x+6 = 3(x+2)$
Получаем: $\frac{c}{2(x+2)} - \frac{c}{3(x+2)}$.
Общий знаменатель равен $6(x+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби - $3$, для второй - $2$.
$\frac{3 \cdot c}{6(x+2)} - \frac{2 \cdot c}{6(x+2)} = \frac{3c - 2c}{6(x+2)} = \frac{c}{6(x+2)}$.
Ответ: $\frac{c}{6(x+2)}$.

6) Рассмотрим выражение $\frac{a}{7a-14} + \frac{1}{2-a}$. Преобразуем знаменатели.
$7a-14 = 7(a-2)$
$2-a = -(a-2)$
Выражение принимает вид: $\frac{a}{7(a-2)} + \frac{1}{-(a-2)} = \frac{a}{7(a-2)} - \frac{1}{a-2}$.
Общий знаменатель равен $7(a-2)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен $7$.
$\frac{a}{7(a-2)} - \frac{1 \cdot 7}{7(a-2)} = \frac{a-7}{7(a-2)}$.
Ответ: $\frac{a-7}{7(a-2)}$.

39.19. Найдите значение выражения:

1) $\frac{y - 25}{5y - 25} + \frac{3y + 5}{y^2 - 5y}$ при $y = 2,5;$

2) $\frac{2}{y^2 - yx} - \frac{2}{yx - x^2}$ при $x = 2; y = -3.$

1) Сначала упростим выражение $\frac{y-25}{5y-25} + \frac{3y+5}{y^2-5y}$.

Для этого разложим знаменатели на множители:

$5y-25 = 5(y-5)$

$y^2-5y = y(y-5)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{y-25}{5(y-5)} + \frac{3y+5}{y(y-5)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $5y(y-5)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $y$, а второй — на $5$:

$\frac{y(y-25)}{5y(y-5)} + \frac{5(3y+5)}{5y(y-5)} = \frac{y(y-25) + 5(3y+5)}{5y(y-5)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{y^2-25y+15y+25}{5y(y-5)} = \frac{y^2-10y+25}{5y(y-5)}$

В числителе мы получили формулу квадрата разности: $y^2-10y+25 = (y-5)^2$.

$\frac{(y-5)^2}{5y(y-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-5)$:

$\frac{y-5}{5y}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $y = 2,5$:

$\frac{2,5-5}{5 \cdot 2,5} = \frac{-2,5}{12,5} = -\frac{25}{125} = -\frac{1}{5} = -0,2$

Ответ: $-0,2$

2) Сначала упростим выражение $\frac{2}{y^2 - yx} - \frac{2}{yx - x^2}$.

Разложим знаменатели на множители:

$y^2 - yx = y(y - x)$

$yx - x^2 = x(y - x)$

Выражение принимает вид:

$\frac{2}{y(y - x)} - \frac{2}{x(y - x)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(y-x)$. Для этого домножим первую дробь на $x$, а вторую на $y$:

$\frac{2x}{xy(y - x)} - \frac{2y}{xy(y - x)} = \frac{2x-2y}{xy(y-x)}$

В числителе вынесем общий множитель $2$ за скобки:

$\frac{2(x-y)}{xy(y-x)}$

Заметим, что $(x-y) = -(y-x)$. Подставим это в числитель:

$\frac{-2(y-x)}{xy(y-x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y-x)$:

$-\frac{2}{xy}$

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x = 2$ и $y = -3$:

$-\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Преобразуйте в дроби выражения (39.20–39.22):

39.20. 1) $ \frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n} $;

2) $ \frac{a^2+b^2}{a-b} - a $;

3) $ m-n+\frac{n^2}{m+n} $;

4) $ a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b} $;

5) $ x-\frac{9}{x-3}-3 $;

6) $ a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1 $;

7) $ 2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n} $;

8) $ 2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n} $.

1) Чтобы преобразовать выражение, выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Для этого вычтем их числители, а знаменатель оставим прежним. Затем упростим полученное выражение.

$\frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n} = \frac{(2a+n) - 3n}{a-n} = \frac{2a-2n}{a-n} = \frac{2(a-n)}{a-n} = 2$.

Ответ: $2$.

2) Чтобы преобразовать выражение, приведем его к общему знаменателю $(a-b)$ и выполним вычитание дробей. Для этого представим $a$ в виде дроби со знаменателем $(a-b)$.

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - a = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2 - a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b} = \frac{b(a+b)}{a-b}$.

Ответ: $\frac{b(a+b)}{a-b}$.

3) Сначала сгруппируем слагаемые $(m-n)$ и приведем все выражение к общему знаменателю $(m+n)$.

$m-n+\frac{n^2}{m+n} = (m-n) + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$.

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$.

4) Приведем выражение к общему знаменателю $(a+b)$, представив $(a+b)$ в виде дроби.

$a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$.

5) Сгруппируем слагаемые $x$ и $-3$, затем приведем выражение к общему знаменателю $(x-3)$.

$x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - 9}{x-3} = \frac{x^2-6x+9-9}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3} = \frac{x(x-6)}{x-3}$.

Ответ: $\frac{x(x-6)}{x-3}$.

6) Сгруппируем слагаемые $a^2$ и $1$, затем приведем выражение к общему знаменателю $(a^2-1)$.

$a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1} = \frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$.

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$.

7) Сначала упростим выражение, вынеся общие множители. Затем приведем к общему знаменателю.

$2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n} = 2(m+n) + \frac{4n^2}{2(m-n)} = 2(m+n) + \frac{2n^2}{m-n} = \frac{2(m+n)(m-n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n} = \frac{2(m^2-n^2)+2n^2}{m-n} = \frac{2m^2-2n^2+2n^2}{m-n} = \frac{2m^2}{m-n}$.

Ответ: $\frac{2m^2}{m-n}$.

8) Приведем выражение к общему знаменателю $(2a+n)$, используя формулу разности квадратов.

$2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n} = \frac{(2a-n)(2a+n)}{2a+n} + \frac{n^2+2an}{2a+n} = \frac{4a^2-n^2+n^2+2an}{2a+n} = \frac{4a^2+2an}{2a+n} = \frac{2a(2a+n)}{2a+n} = 2a$.

Ответ: $2a$.

39.21. 1) $\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$;

2) $\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$;

3) $\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$;

4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$.

1) $\frac{1}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$

Для упрощения данного выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Теперь видно, что общий знаменатель — это $a^3+b^3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(a^2-ab+b^2)$:

$\frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3} = \frac{a^2-ab+b^2}{a^3+b^3} - \frac{a^2+b^2}{a^3+b^3}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(a^2-ab+b^2) - (a^2+b^2)}{a^3+b^3} = \frac{a^2-ab+b^2-a^2-b^2}{a^3+b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-ab}{a^3+b^3}$

Ответ: $\frac{-ab}{a^3+b^3}$

2) $\frac{1}{p-q} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

$p^3-q^3 = (p-q)(p^2+pq+q^2)$

Общим знаменателем является $p^3-q^3$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(p^2+pq+q^2)$:

$\frac{1 \cdot (p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p^2+pq+q^2)} - \frac{3pq}{p^3-q^3} = \frac{p^2+pq+q^2}{p^3-q^3} - \frac{3pq}{p^3-q^3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{p^2+pq+q^2-3pq}{p^3-q^3} = \frac{p^2-2pq+q^2}{p^3-q^3}$

Числитель является формулой квадрата разности: $p^2-2pq+q^2 = (p-q)^2$. Подставим это в наше выражение:

$\frac{(p-q)^2}{p^3-q^3} = \frac{(p-q)^2}{(p-q)(p^2+pq+q^2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p-q)$:

$\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

Ответ: $\frac{p-q}{p^2+pq+q^2}$

3) $\frac{1-a}{a^2-a+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$

Разложим знаменатель второй дроби, используя формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$a^3+1 = a^3+1^3 = (a+1)(a^2-a+1)$

Общим знаменателем является $a^3+1$. Домножим первую дробь на недостающий множитель $(a+1)$:

$\frac{(1-a)(a+1)}{(a^2-a+1)(a+1)} + \frac{a^2}{a^3+1}$

В числителе первой дроби получилась формула разности квадратов $(1-a)(1+a)=1-a^2$:

$\frac{1-a^2}{a^3+1} + \frac{a^2}{a^3+1}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{1-a^2+a^2}{a^3+1} = \frac{1}{a^3+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^3+1}$

4) $\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2}{a^2-4a+16}$

Для приведения к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов, $a^3+64=a^3+4^3$:

$a^3+64 = (a+4)(a^2-4a+16)$

Общий знаменатель — $a^3+64$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $(a+4)$:

$\frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^2(a+4)}{(a^2-4a+16)(a+4)} = \frac{6a^3+48a}{a^3+64} - \frac{3a^3+12a^2}{a^3+64}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(6a^3+48a) - (3a^3+12a^2)}{a^3+64} = \frac{6a^3+48a-3a^3-12a^2}{a^3+64}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a^3-12a^2+48a}{a^3+64}$

Вынесем в числителе общий множитель $3a$ за скобки:

$\frac{3a(a^2-4a+16)}{a^3+64}$

Теперь подставим разложенный на множители знаменатель:

$\frac{3a(a^2-4a+16)}{(a+4)(a^2-4a+16)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a^2-4a+16)$:

$\frac{3a}{a+4}$

Ответ: $\frac{3a}{a+4}$