Номер 39.20, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Преобразуйте в дроби выражения (39.20–39.22):

39.20. 1) $ \frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n} $;

2) $ \frac{a^2+b^2}{a-b} - a $;

3) $ m-n+\frac{n^2}{m+n} $;

4) $ a+b-\frac{a^2+b^2}{a+b} $;

5) $ x-\frac{9}{x-3}-3 $;

6) $ a^2-\frac{a^4+1}{a^2-1}+1 $;

7) $ 2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n} $;

8) $ 2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n} $.

1) Чтобы преобразовать выражение, выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Для этого вычтем их числители, а знаменатель оставим прежним. Затем упростим полученное выражение.

$\frac{2a+n}{a-n} - \frac{3n}{a-n} = \frac{(2a+n) - 3n}{a-n} = \frac{2a-2n}{a-n} = \frac{2(a-n)}{a-n} = 2$.

Ответ: $2$.

2) Чтобы преобразовать выражение, приведем его к общему знаменателю $(a-b)$ и выполним вычитание дробей. Для этого представим $a$ в виде дроби со знаменателем $(a-b)$.

$\frac{a^2+b^2}{a-b} - a = \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2 - a(a-b)}{a-b} = \frac{a^2+b^2-a^2+ab}{a-b} = \frac{b^2+ab}{a-b} = \frac{b(a+b)}{a-b}$.

Ответ: $\frac{b(a+b)}{a-b}$.

3) Сначала сгруппируем слагаемые $(m-n)$ и приведем все выражение к общему знаменателю $(m+n)$.

$m-n+\frac{n^2}{m+n} = (m-n) + \frac{n^2}{m+n} = \frac{(m-n)(m+n)}{m+n} + \frac{n^2}{m+n} = \frac{m^2-n^2+n^2}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}$.

Ответ: $\frac{m^2}{m+n}$.

4) Приведем выражение к общему знаменателю $(a+b)$, представив $(a+b)$ в виде дроби.

$a+b - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a+b} = \frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$.

5) Сгруппируем слагаемые $x$ и $-3$, затем приведем выражение к общему знаменателю $(x-3)$.

$x - \frac{9}{x-3} - 3 = (x-3) - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - 9}{x-3} = \frac{x^2-6x+9-9}{x-3} = \frac{x^2-6x}{x-3} = \frac{x(x-6)}{x-3}$.

Ответ: $\frac{x(x-6)}{x-3}$.

6) Сгруппируем слагаемые $a^2$ и $1$, затем приведем выражение к общему знаменателю $(a^2-1)$.

$a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 = (a^2+1) - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^2+1)(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{a^4+1}{a^2-1} = \frac{(a^4-1) - (a^4+1)}{a^2-1} = \frac{a^4-1-a^4-1}{a^2-1} = \frac{-2}{a^2-1}$.

Ответ: $\frac{-2}{a^2-1}$.

7) Сначала упростим выражение, вынеся общие множители. Затем приведем к общему знаменателю.

$2m+2n+\frac{4n^2}{2m-2n} = 2(m+n) + \frac{4n^2}{2(m-n)} = 2(m+n) + \frac{2n^2}{m-n} = \frac{2(m+n)(m-n)}{m-n} + \frac{2n^2}{m-n} = \frac{2(m^2-n^2)+2n^2}{m-n} = \frac{2m^2-2n^2+2n^2}{m-n} = \frac{2m^2}{m-n}$.

Ответ: $\frac{2m^2}{m-n}$.

8) Приведем выражение к общему знаменателю $(2a+n)$, используя формулу разности квадратов.

$2a-n+\frac{n^2+2an}{2a+n} = \frac{(2a-n)(2a+n)}{2a+n} + \frac{n^2+2an}{2a+n} = \frac{4a^2-n^2+n^2+2an}{2a+n} = \frac{4a^2+2an}{2a+n} = \frac{2a(2a+n)}{2a+n} = 2a$.

Ответ: $2a$.