Номер 39.24, страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.24. Вычислите значение числового выражения:

1) $\frac{55}{34} \cdot \frac{17}{22};$

2) $\frac{12}{35} : \frac{18}{25};$

3) $\frac{13}{32} : \frac{91}{128};$

4) $\left(\frac{2}{3}\right)^3;$

5) $\frac{8}{9} : \left(\frac{2}{3}\right)^2;$

6) $\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3.$

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем следует сократить полученную дробь.
$ \frac{55}{34} \cdot \frac{17}{22} = \frac{55 \cdot 17}{34 \cdot 22} $
Разложим числа на множители для сокращения: $ 55 = 5 \cdot 11 $, $ 34 = 2 \cdot 17 $, $ 22 = 2 \cdot 11 $.
$ \frac{(5 \cdot 11) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 11)} $
Сокращаем общие множители $11$ и $17$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} $
Можно представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{4} $ или десятичной дроби $1,25$.
Ответ: $ \frac{5}{4} $.

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$ \frac{12}{35} : \frac{18}{25} = \frac{12}{35} \cdot \frac{25}{18} = \frac{12 \cdot 25}{35 \cdot 18} $
Разложим числа на множители для сокращения: $ 12 = 2 \cdot 6 $, $ 25 = 5 \cdot 5 $, $ 35 = 7 \cdot 5 $, $ 18 = 3 \cdot 6 $.
$ \frac{(2 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 5)}{(7 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 6)} $
Сокращаем общие множители $6$ и $5$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21} $
Ответ: $ \frac{10}{21} $.

3) Выполняем деление дробей, заменяя его умножением на обратную дробь.
$ \frac{13}{32} : \frac{91}{128} = \frac{13}{32} \cdot \frac{128}{91} = \frac{13 \cdot 128}{32 \cdot 91} $
Сократим дробь. Заметим, что $ 128 = 4 \cdot 32 $ и $ 91 = 7 \cdot 13 $.
$ \frac{13 \cdot (4 \cdot 32)}{32 \cdot (7 \cdot 13)} $
Сокращаем общие множители $13$ и $32$:
$ \frac{4}{7} $
Ответ: $ \frac{4}{7} $.

4) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27} $
Ответ: $ \frac{8}{27} $.

5) Сначала выполним возведение в степень, а затем деление.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{8}{9} : \frac{4}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 4} $
Сокращаем $9$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $ 2 $.

6) Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень.
$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $
Теперь перемножим полученные дроби:
$ \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{27} = \frac{9 \cdot 8}{16 \cdot 27} $
Сократим дробь. Заметим, что $ 16 = 2 \cdot 8 $ и $ 27 = 3 \cdot 9 $.
$ \frac{9 \cdot 8}{(2 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 9)} $
Сокращаем общие множители $8$ и $9$:
$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $
Ответ: $ \frac{1}{6} $.