Страница 250 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.22.

1) $\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab}$;

2) $\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$;

3) $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$;

4) $\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$;

5) $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4}$;

6) $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^2}$;

7) $\frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3 - 8x^3}$;

8) $\frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2}$;

9) $\frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c - c^3}$;

1)

Имеем выражение $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab} $.

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби: $ b^2 - ab = b(b-a) = -b(a-b) $.

Теперь выражение можно переписать так: $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a-b)} = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)} $.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей - $ b(a-b)^2 $. Приведем дроби к этому знаменателю.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ b $, а второй - на $ (a-b) $:

$ \frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a^2-b^2)}{b(a-b)^2} $.

Упростим числитель: $ \frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^2}{b(a-b)^2} $

2)

Имеем выражение $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ 36 - a^2 = (6-a)(6+a) = -(a-6)(a+6) $.

Перепишем выражение: $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $.

НОЗ - $ (a-6)(a+6) $. Приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $.

Объединим дроби: $ \frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{a^2+6a - 3a+18 - a^2}{a^2-36} = \frac{3a+18}{a^2-36} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} $.

Сократим дробь на $ (a+6) $: $ \frac{3}{a-6} $.

Ответ: $ \frac{3}{a-6} $

3)

Имеем выражение $ \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2-a^2} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ 16b^2 - a^2 = (4b-a)(4b+a) = -(a-4b)(a+4b) $.

Перепишем выражение: $ \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{-(a-4b)(a+4b)} = \frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

НОЗ - $ (a-4b)(a+4b) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{1(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} - \frac{1(a-4b)}{(a-4b)(a+4b)} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

Объединим дроби: $ \frac{(a+4b) - (a-4b) + 2a}{(a-4b)(a+4b)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{a+4b-a+4b+2a}{a^2-16b^2} = \frac{2a+8b}{a^2-16b^2} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} $.

Сократим дробь на $ (a+4b) $: $ \frac{2}{a-4b} $.

Ответ: $ \frac{2}{a-4b} $

4)

Имеем выражение $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 2x-2y = 2(x-y) $.

Выражение принимает вид: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2(x-y)} $.

НОЗ - $ 2(x-y)^2 $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $.

Объединим дроби: $ \frac{2x^2 - (x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов: $ \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} $.

Упростим числитель: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $.

Ответ: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $

5)

Имеем выражение $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $.

Разложим на множители знаменатель третьей дроби: $ y^2-4 = (y-2)(y+2) $.

НОЗ - $ (y-2)(y+2) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{4(y-2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} $.

Объединим дроби: $ \frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{4y-8 - 3y-6 + 12}{y^2-4} = \frac{y-2}{y^2-4} $.

Разложим знаменатель на множители: $ \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} $.

Сократим дробь на $ (y-2) $: $ \frac{1}{y+2} $.

Ответ: $ \frac{1}{y+2} $

6)

Имеем выражение $ \frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b-b^3} $.

Разложим на множители знаменатели:

$ 2b-2a = 2(b-a) = -2(a-b) $

$ 2b+2a = 2(b+a) = 2(a+b) $

$ a^2b-b^3 = b(a^2-b^2) = b(a-b)(a+b) $

Перепишем выражение: $ \frac{1}{-2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)} = -\frac{1}{2(a-b)} + \frac{1}{2(a+b)} + \frac{a^2}{b(a-b)(a+b)} $.

НОЗ - $ 2b(a-b)(a+b) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ -\frac{b(a+b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{b(a-b)}{2b(a-b)(a+b)} + \frac{2a^2}{2b(a-b)(a+b)} $.

Объединим дроби: $ \frac{-b(a+b) + b(a-b) + 2a^2}{2b(a-b)(a+b)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{-ab-b^2 + ab-b^2 + 2a^2}{2b(a^2-b^2)} = \frac{2a^2-2b^2}{2b(a^2-b^2)} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2(a^2-b^2)}{2b(a^2-b^2)} $.

Сократим дробь на $ 2(a^2-b^2) $: $ \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{b} $

7)

Имеем выражение $ \frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{b^3-8x^3} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $ u^3-v^3 = (u-v)(u^2+uv+v^2) $:

$ b^3-8x^3 = (b)^3-(2x)^3 = (b-2x)(b^2+2bx+4x^2) = -(2x-b)(b^2+2bx+4x^2) $.

Перепишем выражение: $ \frac{1}{2x-b} + \frac{6bx}{-(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{1}{2x-b} - \frac{6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

НОЗ - $ (2x-b)(b^2+2bx+4x^2) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{b^2+2bx+4x^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} - \frac{6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Объединим дроби: $ \frac{b^2+2bx+4x^2 - 6bx}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} = \frac{b^2-4bx+4x^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Числитель является полным квадратом: $ b^2-4bx+4x^2 = (b-2x)^2 = (-(2x-b))^2 = (2x-b)^2 $.

Подставим в дробь: $ \frac{(2x-b)^2}{(2x-b)(b^2+2bx+4x^2)} $.

Сократим дробь на $ (2x-b) $: $ \frac{2x-b}{b^2+2bx+4x^2} $.

Ответ: $ \frac{2x-b}{4x^2+2bx+b^2} $

8)

Имеем выражение $ \frac{2y^2+16}{y^3+8} - \frac{2}{y+2} $.

Разложим на множители знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $ u^3+v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2) $:

$ y^3+8 = y^3+2^3 = (y+2)(y^2-2y+4) $.

НОЗ - $ (y+2)(y^2-2y+4) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2y^2+16}{(y+2)(y^2-2y+4)} - \frac{2(y^2-2y+4)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Объединим дроби: $ \frac{(2y^2+16) - (2y^2-4y+8)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{2y^2+16 - 2y^2+4y-8}{y^3+8} = \frac{4y+8}{y^3+8} $.

Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{4(y+2)}{(y+2)(y^2-2y+4)} $.

Сократим дробь на $ (y+2) $: $ \frac{4}{y^2-2y+4} $.

Ответ: $ \frac{4}{y^2-2y+4} $

9)

Имеем выражение $ \frac{1}{2a-2c} + \frac{1}{2a+2c} + \frac{2a^2}{a^2c-c^3} $.

Разложим на множители знаменатели:

$ 2a-2c = 2(a-c) $

$ 2a+2c = 2(a+c) $

$ a^2c-c^3 = c(a^2-c^2) = c(a-c)(a+c) $

НОЗ - $ 2c(a-c)(a+c) $. Приведем дроби к общему знаменателю.

$ \frac{c(a+c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{c(a-c)}{2c(a-c)(a+c)} + \frac{2 \cdot 2a^2}{2c(a-c)(a+c)} $.

Объединим дроби: $ \frac{c(a+c) + c(a-c) + 4a^2}{2c(a-c)(a+c)} $.

Раскроем скобки и упростим числитель: $ \frac{ac+c^2 + ac-c^2 + 4a^2}{2c(a^2-c^2)} = \frac{2ac+4a^2}{2c(a^2-c^2)} $.

Вынесем общий множитель $ 2a $ в числителе: $ \frac{2a(c+2a)}{2c(a^2-c^2)} $.

Сократим дробь на 2: $ \frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)} $.

Ответ: $ \frac{a(2a+c)}{c(a^2-c^2)} $

39.23. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $ \frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n - 2} - \frac{2}{n + 2} $ и $ n - 1; $

2) $ \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3} $ и $ a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}; $

3) $ \frac{2a + b}{2a^2 - ab} - \frac{16a}{4a^2 - b^2} - \frac{2a - b}{2a^2 + ab} $ и $ \frac{-8}{2a + b}; $

4) $ \frac{1}{(a - 3)^2} - \frac{2}{a^2 - 9} + \frac{1}{(a + 3)^2} $ и $ \frac{36}{(a^2 - 9)^2}; $

5) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4}; $

6) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} $ и $ \frac{1}{a - 1}. $

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{n^3}{n^2 - 4} - \frac{n}{n-2} - \frac{2}{n+2}$ и $n-1$ тождественно равны, упростим первое выражение.Приведем дроби к общему знаменателю $n^2 - 4 = (n-2)(n+2)$.

$\frac{n^3}{(n-2)(n+2)} - \frac{n(n+2)}{(n-2)(n+2)} - \frac{2(n-2)}{(n-2)(n+2)} = \frac{n^3 - n(n+2) - 2(n-2)}{(n-2)(n+2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$n^3 - (n^2+2n) - (2n-4) = n^3 - n^2 - 2n - 2n + 4 = n^3 - n^2 - 4n + 4$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$n^2(n-1) - 4(n-1) = (n^2-4)(n-1) = (n-2)(n+2)(n-1)$

Подставим результат в дробь и сократим:

$\frac{(n-2)(n+2)(n-1)}{(n-2)(n+2)} = n-1$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a-3}$ и $a+3 + \frac{9a+3}{a^2-3a}$ тождественно равны, преобразуем каждое из них.

Преобразуем первое выражение. Общий знаменатель $a(a-3)$:

$\frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2 \cdot a}{a(a-3)} = \frac{3+a^3}{a(a-3)}$

Преобразуем второе выражение. Общий знаменатель $a^2-3a = a(a-3)$:

$\frac{(a+3)(a^2-3a)}{a^2-3a} + \frac{9a+3}{a^2-3a} = \frac{a(a+3)(a-3) + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a(a^2-9) + 9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3-9a+9a+3}{a(a-3)} = \frac{a^3+3}{a(a-3)}$

Так как оба выражения равны $\frac{a^3+3}{a(a-3)}$, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

3) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a+b}{2a^2-ab} - \frac{16a}{4a^2-b^2} - \frac{2a-b}{2a^2+ab}$ и $\frac{-8}{2a+b}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатели на множители: $2a^2-ab = a(2a-b)$, $4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)$, $2a^2+ab = a(2a+b)$.Общий знаменатель: $a(2a-b)(2a+b)$.

$\frac{(2a+b)(2a+b)}{a(2a-b)(2a+b)} - \frac{16a \cdot a}{a(2a-b)(2a+b)} - \frac{(2a-b)(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{(2a+b)^2 - 16a^2 - (2a-b)^2}{a(2a-b)(2a+b)}$

Упростим числитель:

$(4a^2+4ab+b^2) - 16a^2 - (4a^2-4ab+b^2) = 4a^2+4ab+b^2 - 16a^2 - 4a^2+4ab-b^2 = -16a^2 + 8ab$

Разложим числитель на множители: $-8a(2a-b)$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{-8a(2a-b)}{a(2a-b)(2a+b)} = \frac{-8}{2a+b}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

4) Чтобы доказать, что выражения $\frac{1}{(a-3)^2} - \frac{2}{a^2-9} + \frac{1}{(a+3)^2}$ и $\frac{36}{(a^2-9)^2}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Общий знаменатель: $(a-3)^2(a+3)^2 = ((a-3)(a+3))^2 = (a^2-9)^2$.

$\frac{(a+3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2} - \frac{2(a-3)(a+3)}{(a-3)^2(a+3)^2} + \frac{(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2} = \frac{(a+3)^2 - 2(a-3)(a+3) + (a-3)^2}{(a^2-9)^2}$

Числитель представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$, где $x=a+3$ и $y=a-3$.

$(a+3 - (a-3))^2 = (a+3-a+3)^2 = 6^2 = 36$

Подставим результат в дробь:

$\frac{36}{(a^2-9)^2}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

5) Чтобы доказать, что выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатель $x^3-8$ по формуле разности кубов: $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.Это и будет общий знаменатель.

$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2+2x+4)}{x^3-8}$

Упростим числитель:

$(x^2-4x+4) - 6x + x^2+2x+4 = 2x^2 - 8x + 8$

Разложим числитель на множители: $2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2$.

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

6) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны, упростим первое выражение.

Разложим знаменатель $a^3-1$ по формуле разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.Это и будет общий знаменатель.

$\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{(1-2a)(a-1)}{a^3-1} - \frac{3(a^2+a+1)}{a^3-1} = \frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1) - 3(a^2+a+1)}{a^3-1}$

Упростим числитель:

$(2a^2+7a+3) - (a-1-2a^2+2a) - (3a^2+3a+3) = 2a^2+7a+3 - (-2a^2+3a-1) - 3a^2-3a-3$

$= 2a^2+7a+3 + 2a^2-3a+1 - 3a^2-3a-3 = a^2+a+1$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}$

Полученное выражение равно второму выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Выражения тождественно равны.

39.24. Вычислите значение числового выражения:

1) $\frac{55}{34} \cdot \frac{17}{22};$

2) $\frac{12}{35} : \frac{18}{25};$

3) $\frac{13}{32} : \frac{91}{128};$

4) $\left(\frac{2}{3}\right)^3;$

5) $\frac{8}{9} : \left(\frac{2}{3}\right)^2;$

6) $\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3.$

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем следует сократить полученную дробь.
$ \frac{55}{34} \cdot \frac{17}{22} = \frac{55 \cdot 17}{34 \cdot 22} $
Разложим числа на множители для сокращения: $ 55 = 5 \cdot 11 $, $ 34 = 2 \cdot 17 $, $ 22 = 2 \cdot 11 $.
$ \frac{(5 \cdot 11) \cdot 17}{(2 \cdot 17) \cdot (2 \cdot 11)} $
Сокращаем общие множители $11$ и $17$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} $
Можно представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{4} $ или десятичной дроби $1,25$.
Ответ: $ \frac{5}{4} $.

2) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$ \frac{12}{35} : \frac{18}{25} = \frac{12}{35} \cdot \frac{25}{18} = \frac{12 \cdot 25}{35 \cdot 18} $
Разложим числа на множители для сокращения: $ 12 = 2 \cdot 6 $, $ 25 = 5 \cdot 5 $, $ 35 = 7 \cdot 5 $, $ 18 = 3 \cdot 6 $.
$ \frac{(2 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 5)}{(7 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 6)} $
Сокращаем общие множители $6$ и $5$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21} $
Ответ: $ \frac{10}{21} $.

3) Выполняем деление дробей, заменяя его умножением на обратную дробь.
$ \frac{13}{32} : \frac{91}{128} = \frac{13}{32} \cdot \frac{128}{91} = \frac{13 \cdot 128}{32 \cdot 91} $
Сократим дробь. Заметим, что $ 128 = 4 \cdot 32 $ и $ 91 = 7 \cdot 13 $.
$ \frac{13 \cdot (4 \cdot 32)}{32 \cdot (7 \cdot 13)} $
Сокращаем общие множители $13$ и $32$:
$ \frac{4}{7} $
Ответ: $ \frac{4}{7} $.

4) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27} $
Ответ: $ \frac{8}{27} $.

5) Сначала выполним возведение в степень, а затем деление.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{8}{9} : \frac{4}{9} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{8 \cdot 9}{9 \cdot 4} $
Сокращаем $9$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{8}{4} = 2 $
Ответ: $ 2 $.

6) Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень.
$ \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} $
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $
Теперь перемножим полученные дроби:
$ \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{27} = \frac{9 \cdot 8}{16 \cdot 27} $
Сократим дробь. Заметим, что $ 16 = 2 \cdot 8 $ и $ 27 = 3 \cdot 9 $.
$ \frac{9 \cdot 8}{(2 \cdot 8) \cdot (3 \cdot 9)} $
Сокращаем общие множители $8$ и $9$:
$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $
Ответ: $ \frac{1}{6} $.

39.25. 2 кг яблок и 3 кг конфет стоят 3400 тг. Цена 1 кг яблок и 1 кг конфет вместе равна 1250 тг. Какова цена 1 кг яблок и 1 кг конфет?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — цена 1 кг яблок в тенге (тг), а $y$ — цена 1 кг конфет в тенге (тг).

На основе условий задачи составим систему из двух линейных уравнений:

1. Стоимость 2 кг яблок и 3 кг конфет составляет 3400 тг. Это соответствует уравнению: $2x + 3y = 3400$.

2. Стоимость 1 кг яблок и 1 кг конфет вместе составляет 1250 тг. Это соответствует уравнению: $x + y = 1250$.

Получаем следующую систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 3400 \\x + y = 1250\end{cases}$$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1250 - y$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$2(1250 - y) + 3y = 3400$

Раскроем скобки и найдем значение $y$:

$2500 - 2y + 3y = 3400$

$2500 + y = 3400$

$y = 3400 - 2500$

$y = 900$

Таким образом, цена 1 кг конфет составляет 900 тг.

Теперь найдем цену 1 кг яблок, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 1250 - 900$

$x = 350$

Следовательно, цена 1 кг яблок составляет 350 тг.

Проверка: $2 \cdot 350 + 3 \cdot 900 = 700 + 2700 = 3400$ (верно), $350 + 900 = 1250$ (верно).

Ответ: цена 1 кг яблок — 350 тг, цена 1 кг конфет — 900 тг.