Страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.9.

1) $\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(6-x)^2}$;

2) $\frac{x^2 + 25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2}$;

3) $\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{c-p}$;

4) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$;

5) $\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{2-x}$;

6) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$;

7) $\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{9-a^2}$;

8) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

1) Выполним вычитание дробей $\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(6-x)^2}$.

Заметим, что знаменатели связаны соотношением $(6-x)^2 = (-(x-6))^2 = (-1)^2 \cdot (x-6)^2 = (x-6)^2$. Знаменатели дробей равны.

Тогда выражение можно переписать так:

$\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(x-6)^2} = \frac{x^2 - 36}{(x-6)^2}$

Числитель полученной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$

Подставим разложение в дробь и сократим:

$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-6)^2} = \frac{x+6}{x-6}$

Ответ: $\frac{x+6}{x-6}$.

2) Выполним вычитание дробей $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2}$.

Так же, как и в предыдущем примере, знаменатели равны, так как $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^2}$

Числитель является полным квадратом разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^2} = 1$

Ответ: $1$.

3) Выполним сложение дробей $\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{c-p}$.

Знаменатели являются противоположными выражениями: $c-p = -(p-c)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю $p-c$, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{-(p-c)} = \frac{10p}{p-c} - \frac{6p+7c}{p-c}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{10p - (6p+7c)}{p-c} = \frac{10p - 6p - 7c}{p-c} = \frac{4p - 7c}{p-c}$

Ответ: $\frac{4p - 7c}{p-c}$.

4) Выполним сложение дробей $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $a-b$, используя то, что $b-a = -(a-b)$:

$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$

Выполним вычитание:

$\frac{5a - 5b}{a-b}$

В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(a-b)}{a-b} = 5$

Ответ: $5$.

5) Выполним вычитание дробей $\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{2-x}$.

Знаменатель второй дроби $2-x = -(x-2)$. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:

$\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{-(x-2)} = \frac{2x-5}{x-2} + \frac{1}{x-2}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2x-5+1}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(x-2)}{x-2} = 2$

Ответ: $2$.

6) Выполним сложение дробей $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $2a-b$. Так как $b-2a = -(2a-b)$, то:

$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$

Выполним вычитание:

$\frac{a - (3a-b)}{2a-b} = \frac{a - 3a + b}{2a-b} = \frac{-2a+b}{2a-b}$

В числителе вынесем $-1$ за скобки:

$\frac{-(2a-b)}{2a-b} = -1$

Ответ: $-1$.

7) Выполним вычитание дробей $\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{9-a^2}$.

Знаменатель второй дроби $9-a^2 = -(a^2-9)$. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:

$\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{a^2-9}$

Сложим дроби:

$\frac{a+3}{a^2-9}$

Знаменатель является разностью квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{a+3}{(a-3)(a+3)} = \frac{1}{a-3}$

Ответ: $\frac{1}{a-3}$.

8) Выполним сложение дробей $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $y-1$. Так как $1-y = -(y-1)$, то:

$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$

Выполним вычитание:

$\frac{y^2-1}{y-1}$

Числитель является разностью квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1} = y+1$

Ответ: $y+1$.

39.10. Убедитесь, что при любом значении переменных значение вы-ражения:

1) $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$ равно 4;

2) $\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$ равно 2.

1)Чтобы убедиться, что значение выражения равно 4, необходимо упростить данное выражение.
Исходное выражение: $\frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}$.
Так как обе дроби имеют одинаковый знаменатель $ab$, мы можем выполнить вычитание числителей, записав результат над общим знаменателем:
$\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}$
Теперь раскроем скобки в числителе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим раскрытые выражения в числитель нашей дроби:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)}{ab}$
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2}{ab}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a^2 - a^2) + (2ab + 2ab) + (b^2 - b^2)}{ab} = \frac{4ab}{ab}$
Сократим полученную дробь на $ab$. Это преобразование является тождественным для области допустимых значений исходного выражения, где $a \ne 0$ и $b \ne 0$.
$\frac{4ab}{ab} = 4$
Таким образом, мы доказали, что при любых допустимых значениях переменных $a$ и $b$ значение выражения равно 4.
Ответ: 4.

2)Чтобы убедиться, что значение выражения равно 2, необходимо упростить данное выражение.
Исходное выражение: $\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2}$.
Обе дроби имеют одинаковый знаменатель $a^2 + b^2$, поэтому мы можем сложить их числители:
$\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2}$
Раскроем скобки в числителе, используя те же формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Подставим раскрытые выражения в числитель:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)}{a^2 + b^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{(a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2}$
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$
Сократим дробь на выражение $(a^2 + b^2)$. Это возможно, так как знаменатель $a^2 + b^2$ не может быть равен нулю, если только $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, что исключается областью допустимых значений.
$\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2$
Таким образом, мы доказали, что при любых допустимых значениях переменных $a$ и $b$ значение выражения равно 2.
Ответ: 2.

39.11. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{x}{4} + \frac{y}{3}; $

2) $ \frac{c}{6} - \frac{d}{12}; $

3) $ \frac{p}{q} + \frac{q}{p}; $

4) $ \frac{a}{b} - \frac{b^2}{a}; $

5) $ \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x}; $

6) $ \frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c}; $

7) $ \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y}; $

8) $ \frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c}; $

9) $ \frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b}; $

10) $ \frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a}; $

11) $ \frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b}; $

12) $ \frac{2a-3b}{2a-b} + \frac{7a-b}{b-2a}; $

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{x}{4}$ и $\frac{y}{3}$ общим знаменателем является 12. Умножим первую дробь на 3, а вторую на 4:$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{3x+4y}{12}$.Ответ: $\frac{3x+4y}{12}$

2) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{c}{6}$ и $\frac{d}{12}$ общий знаменатель равен 12. Умножим первую дробь на 2:$\frac{c}{6} - \frac{d}{12} = \frac{c \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{d}{12} = \frac{2c}{12} - \frac{d}{12} = \frac{2c-d}{12}$.Ответ: $\frac{2c-d}{12}$

3) Для сложения дробей $\frac{p}{q}$ и $\frac{q}{p}$ общим знаменателем будет произведение их знаменателей, то есть $pq$. Умножим первую дробь на $p$, а вторую на $q$:$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p \cdot p}{q \cdot p} + \frac{q \cdot q}{p \cdot q} = \frac{p^2}{pq} + \frac{q^2}{pq} = \frac{p^2+q^2}{pq}$.Ответ: $\frac{p^2+q^2}{pq}$

4) Для вычитания дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b^2}{a}$ общим знаменателем является $ab$. Умножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:$\frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab} = \frac{a^2-b^3}{ab}$.Ответ: $\frac{a^2-b^3}{ab}$

5) Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{2}{3x}$ равен $6x$. Дополнительный множитель для первой дроби - 3, для второй - 2:$\frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x} = \frac{9-4}{6x} = \frac{5}{6x}$.Ответ: $\frac{5}{6x}$

6) Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{5c}$ и $\frac{3a}{4c}$ равен $20c$. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 5:$\frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c} = \frac{a \cdot 4}{5c \cdot 4} + \frac{3a \cdot 5}{4c \cdot 5} = \frac{4a}{20c} + \frac{15a}{20c} = \frac{4a+15a}{20c} = \frac{19a}{20c}$.Ответ: $\frac{19a}{20c}$

7) Общий знаменатель для дробей $\frac{5x}{8y}$ и $\frac{x}{4y}$ равен $8y$. Умножим вторую дробь на 2, чтобы привести ее к общему знаменателю:$\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y} = \frac{5x+2x}{8y} = \frac{7x}{8y}$.Ответ: $\frac{7x}{8y}$

8) Найдем общий знаменатель для $24c$ и $36c$. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 равно 72. Значит, общий знаменатель - $72c$. Дополнительные множители: $72/24=3$ и $72/36=2$:$\frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c} = \frac{51y-50y}{72c} = \frac{y}{72c}$.Ответ: $\frac{y}{72c}$

9) Найдем общий знаменатель для $18b$ и $45b$. Наименьшее общее кратное чисел 18 и 45 равно 90. Общий знаменатель - $90b$. Дополнительные множители: $90/18=5$ и $90/45=2$:$\frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b} = \frac{5a \cdot 5}{18b \cdot 5} - \frac{7a \cdot 2}{45b \cdot 2} = \frac{25a}{90b} - \frac{14a}{90b} = \frac{25a-14a}{90b} = \frac{11a}{90b}$.Ответ: $\frac{11a}{90b}$

10) Дроби в выражении $\frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a}$ имеют одинаковый знаменатель $2a$. Поэтому для их сложения достаточно сложить числители:$\frac{3 + (3a-b)}{2a} = \frac{3+3a-b}{2a}$.Ответ: $\frac{3a-b+3}{2a}$

11) Дроби в выражении $\frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b}$ имеют одинаковый знаменатель $7b$. Складываем их числители:$\frac{a + (4a-b)}{7b} = \frac{a+4a-b}{7b} = \frac{5a-b}{7b}$.Ответ: $\frac{5a-b}{7b}$

12) Знаменатели дробей $\frac{2a-3b}{2a-b}$ и $\frac{7a-b}{b-2a}$ являются противоположными выражениями, так как $b-2a = -(2a-b)$. Преобразуем вторую дробь:$\frac{7a-b}{b-2a} = \frac{7a-b}{-(2a-b)} = -\frac{7a-b}{2a-b}$.Теперь выполним вычитание:$\frac{2a-3b}{2a-b} - \frac{7a-b}{2a-b} = \frac{(2a-3b)-(7a-b)}{2a-b} = \frac{2a-3b-7a+b}{2a-b} = \frac{-5a-2b}{2a-b}$.Ответ: $\frac{-5a-2b}{2a-b}$

39.12. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + 16}{a - 4} + \frac{8a}{4 - a}$;$

2) $\frac{x^2 + 4y^2}{x - 2y} + \frac{4xy}{2y - x}$;$

3) $\frac{x^2 + 25y^2}{x - 5y} + \frac{10xy}{5y - x}$;$

4) $\frac{9a^2 + 4y^2}{3a - 2y} + \frac{12ay}{2y - 3a}$;$

5) $\frac{a}{2a - yb} + \frac{3a - by}{by - 2a}$;$

6) $\frac{a^2 x^2 + 25y^2}{ax - 5y} + \frac{10axy}{5y - ax}$.$

1) Упростим выражение $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$.
Заметим, что знаменатели $a-4$ и $4-a$ являются противоположными выражениями, то есть $4-a = -(a-4)$.
Поэтому мы можем изменить знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} = \frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем объединить числители:
$\frac{a^2+16-8a}{a-4} = \frac{a^2-8a+16}{a-4}$.
Числитель $a^2-8a+16$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=4$, поэтому $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(a-4)^2}{a-4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$:
$a-4$.
Ответ: $a-4$.

2) Упростим выражение $\frac{x^2+4y^2}{x-2y} + \frac{4xy}{2y-x}$.
Знаменатель второй дроби $2y-x$ можно представить как $-(x-2y)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-2y$:
$\frac{x^2+4y^2}{x-2y} + \frac{4xy}{-(x-2y)} = \frac{x^2+4y^2}{x-2y} - \frac{4xy}{x-2y}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{x^2+4y^2-4xy}{x-2y} = \frac{x^2-4xy+4y^2}{x-2y}$.
Числитель $x^2-4xy+4y^2$ является полным квадратом разности $(x-2y)^2$, так как $x^2-2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Получаем дробь:
$\frac{(x-2y)^2}{x-2y}$.
Сокращаем дробь на $(x-2y)$:
$x-2y$.
Ответ: $x-2y$.

3) Упростим выражение $\frac{x^2+25y^2}{x-5y} + \frac{10xy}{5y-x}$.
Знаменатель второй дроби $5y-x$ является противоположным знаменателю первой дроби: $5y-x = -(x-5y)$.
Приведем к общему знаменателю $x-5y$:
$\frac{x^2+25y^2}{x-5y} - \frac{10xy}{x-5y}$.
Объединим числители:
$\frac{x^2+25y^2-10xy}{x-5y} = \frac{x^2-10xy+25y^2}{x-5y}$.
Числитель $x^2-10xy+25y^2$ это полный квадрат разности $(x-5y)^2$, поскольку $x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x-5y)^2$.
Подставим в выражение:
$\frac{(x-5y)^2}{x-5y}$.
Сократим дробь на $(x-5y)$:
$x-5y$.
Ответ: $x-5y$.

4) Упростим выражение $\frac{9a^2+4y^2}{3a-2y} + \frac{12ay}{2y-3a}$.
Знаменатели $3a-2y$ и $2y-3a$ противоположны: $2y-3a = -(3a-2y)$.
Приведем дроби к общему знаменателю $3a-2y$:
$\frac{9a^2+4y^2}{3a-2y} - \frac{12ay}{3a-2y}$.
Вычтем дроби:
$\frac{9a^2+4y^2-12ay}{3a-2y} = \frac{9a^2-12ay+4y^2}{3a-2y}$.
Числитель $9a^2-12ay+4y^2$ является полным квадратом разности $(3a-2y)^2$, так как $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2y) + (2y)^2 = (3a-2y)^2$.
Получим:
$\frac{(3a-2y)^2}{3a-2y}$.
Сократим на $(3a-2y)$:
$3a-2y$.
Ответ: $3a-2y$.

5) Упростим выражение $\frac{a}{2a-yb} + \frac{3a-by}{by-2a}$.
Знаменатели $2a-yb$ и $by-2a$ противоположны, так как $by-2a = -(2a-by)$.
Приведем ко общему знаменателю $2a-yb$:
$\frac{a}{2a-yb} - \frac{3a-by}{2a-yb}$.
Выполним вычитание:
$\frac{a-(3a-by)}{2a-yb} = \frac{a-3a+by}{2a-yb} = \frac{-2a+by}{2a-yb}$.
Заметим, что числитель $by-2a$ и знаменатель $2a-by$ также являются противоположными выражениями.
$by-2a = -(2a-by)$.
Тогда дробь равна:
$\frac{-(2a-by)}{2a-by} = -1$.
Ответ: $-1$.

6) Упростим выражение $\frac{a^2x^2+25y^2}{ax-5y} + \frac{10axy}{5y-ax}$.
Знаменатель второй дроби $5y-ax$ противоположен знаменателю первой: $5y-ax = -(ax-5y)$.
Приведем к общему знаменателю $ax-5y$:
$\frac{a^2x^2+25y^2}{ax-5y} - \frac{10axy}{ax-5y}$.
Объединим числители:
$\frac{a^2x^2+25y^2-10axy}{ax-5y} = \frac{a^2x^2-10axy+25y^2}{ax-5y}$.
Числитель $a^2x^2-10axy+25y^2$ является полным квадратом разности $(ax-5y)^2$, так как $(ax)^2 - 2 \cdot (ax) \cdot (5y) + (5y)^2 = (ax-5y)^2$.
Подставим в дробь:
$\frac{(ax-5y)^2}{ax-5y}$.
Сократим дробь на $(ax-5y)$:
$ax-5y$.
Ответ: $ax-5y$.