Страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.5.

1) $ \frac{5a + b^5}{8b} - \frac{5a - 7b^5}{8b}; $

2) $ \frac{2x - 3y}{4xy} + \frac{11y - 2x}{4xy}; $

3) $ \frac{3x - y^4}{4y^5} - \frac{y^4 + 3x}{4y^5}; $

4) $ \frac{a - 2}{7a} + \frac{2a + 5}{7a} - \frac{3 - a}{7a}; $

5) $ \frac{7y - 5}{11y} - \frac{10y - 9}{11y} + \frac{10 - 5y}{11y}; $

6) $ \frac{21a + 2b}{6a} + \frac{21a - 3b}{6a} - \frac{36a - b}{6a}. $

1) Для того чтобы вычесть алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{5a+b^5}{8b} - \frac{5a-7b^5}{8b} = \frac{(5a+b^5) - (5a-7b^5)}{8b}$
Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед второй дробью меняет знаки всех слагаемых в ее числителе на противоположные.
$\frac{5a+b^5 - 5a + 7b^5}{8b}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(5a-5a) + (b^5+7b^5) = 0 + 8b^5 = 8b^5$
Теперь выражение выглядит так:
$\frac{8b^5}{8b}$
Сократим дробь на общий множитель $8b$:
$\frac{8b^5}{8b} = b^{5-1} = b^4$
Ответ: $b^4$.

2) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$\frac{2x-3y}{4xy} + \frac{11y-2x}{4xy} = \frac{(2x-3y) + (11y-2x)}{4xy}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(2x-2x) + (-3y+11y) = 0 + 8y = 8y$
Подставим упрощенный числитель в дробь:
$\frac{8y}{4xy}$
Сократим дробь на общий множитель $4y$:
$\frac{8y}{4xy} = \frac{2 \cdot 4y}{x \cdot 4y} = \frac{2}{x}$
Ответ: $\frac{2}{x}$.

3) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{3x-y^4}{4y^5} - \frac{y^4+3x}{4y^5} = \frac{(3x-y^4) - (y^4+3x)}{4y^5}$
Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки во втором числителе:
$\frac{3x-y^4 - y^4 - 3x}{4y^5}$
Приводим подобные слагаемые:
$(3x-3x) + (-y^4-y^4) = 0 - 2y^4 = -2y^4$
Получаем дробь:
$\frac{-2y^4}{4y^5}$
Сокращаем дробь. Числовые коэффициенты $\frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Степени переменной $y$: $\frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
$-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{2y}$
Ответ: $-\frac{1}{2y}$.

4) Выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
$\frac{a-2}{7a} + \frac{2a+5}{7a} - \frac{3-a}{7a} = \frac{(a-2) + (2a+5) - (3-a)}{7a}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{a-2+2a+5-3+a}{7a}$
Приводим подобные слагаемые в числителе. Сначала с переменной $a$: $a+2a+a = 4a$. Затем константы: $-2+5-3 = 0$.
Числитель упрощается до $4a$.
$\frac{4a}{7a}$
Сокращаем дробь на $a$ (при $a \neq 0$):
$\frac{4}{7}$
Ответ: $\frac{4}{7}$.

5) Выполняем действия с дробями с одинаковым знаменателем $11y$.
$\frac{7y-5}{11y} - \frac{10y-9}{11y} + \frac{10-5y}{11y} = \frac{(7y-5) - (10y-9) + (10-5y)}{11y}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{7y-5 - 10y + 9 + 10 - 5y}{11y}$
Приводим подобные слагаемые. Слагаемые с $y$: $7y-10y-5y = -8y$. Константы: $-5+9+10 = 14$.
Числитель равен $14-8y$.
$\frac{14-8y}{11y}$
Эту дробь нельзя сократить, так как у числителя $2(7-4y)$ и знаменателя $11y$ нет общих множителей.
Ответ: $\frac{14-8y}{11y}$.

6) Выполняем действия с дробями с одинаковым знаменателем $6a$.
$\frac{21a+2b}{6a} + \frac{21a-3b}{6a} - \frac{36a-b}{6a} = \frac{(21a+2b) + (21a-3b) - (36a-b)}{6a}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{21a+2b+21a-3b-36a+b}{6a}$
Приводим подобные слагаемые. Слагаемые с $a$: $21a+21a-36a = 42a-36a = 6a$. Слагаемые с $b$: $2b-3b+b = -b+b=0$.
Числитель равен $6a$.
$\frac{6a}{6a}$
При $a \neq 0$ дробь равна 1.
Ответ: $1$.

Найдите значения выражений (39.6–39.7):

39.6. 1) $\frac{x^2+1}{x-3} - \frac{10}{x-3}$ при $x=57;$

2) $\frac{y+7}{y^2-25} - \frac{2y+2}{y^2-25}$ при $y=5,7;$

3) $\frac{a^2-16}{a-3} + \frac{7}{a-3}$ при $a=33,25;$

4) $\frac{9b-1}{b^2-9} - \frac{6b-10}{b^2-9}$ при $b=4,5.$

1) Сначала упростим выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{x^2+1}{x-3} - \frac{10}{x-3} = \frac{x^2+1-10}{x-3} = \frac{x^2-9}{x-3}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{x^2-3^2}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$
Сократим дробь на $(x-3)$, при условии что $x-3 \neq 0$ (при $x=57$ это условие выполняется):
$x+3$
Теперь подставим значение $x=57$ в упрощенное выражение:
$57 + 3 = 60$
Ответ: $60$.

2) Упростим выражение. Знаменатели одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$\frac{y+7}{y^2-25} - \frac{2y+2}{y^2-25} = \frac{(y+7)-(2y+2)}{y^2-25} = \frac{y+7-2y-2}{y^2-25} = \frac{-y+5}{y^2-25}$
Вынесем в числителе $-1$ за скобки, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов:
$\frac{-(y-5)}{(y-5)(y+5)}$
Сократим дробь на $(y-5)$, при условии что $y-5 \neq 0$ (при $y=5,7$ это условие выполняется):
$\frac{-1}{y+5}$
Подставим значение $y=5,7$:
$\frac{-1}{5,7+5} = \frac{-1}{10,7} = -\frac{1 \cdot 10}{10,7 \cdot 10} = -\frac{10}{107}$
Ответ: $-\frac{10}{107}$.

3) Упростим выражение. Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:
$\frac{a^2-16}{a-3} + \frac{7}{a-3} = \frac{a^2-16+7}{a-3} = \frac{a^2-9}{a-3}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$\frac{(a-3)(a+3)}{a-3}$
Сократим дробь на $(a-3)$, так как при $a=33,25$ знаменатель не равен нулю:
$a+3$
Подставим значение $a=33,25$:
$33,25 + 3 = 36,25$
Ответ: $36,25$.

4) Упростим выражение, вычитая числители, так как знаменатели одинаковы:
$\frac{9b-1}{b^2-9} - \frac{6b-10}{b^2-9} = \frac{(9b-1)-(6b-10)}{b^2-9} = \frac{9b-1-6b+10}{b^2-9} = \frac{3b+9}{b^2-9}$
Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов:
$\frac{3(b+3)}{(b-3)(b+3)}$
Сократим дробь на $(b+3)$, так как при $b=4,5$ множитель не равен нулю:
$\frac{3}{b-3}$
Подставим значение $b=4,5$:
$\frac{3}{4,5-3} = \frac{3}{1,5} = 2$
Ответ: $2$.

39.7. 1) $\frac{x^2 - 19}{x - 3} + \frac{10}{x - 3}$ при $x = 77;$

2) $\frac{y + 7}{y^2 - 25} - \frac{2y + 2}{y^2 - 25}$ при $y = -25,1;$

3) $\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{6 - a}$ при $a = -10,25;$

4) $\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9}$ при $b = -10.$

1) Сначала упростим данное выражение. Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители:

$\frac{x^2 - 19}{x - 3} + \frac{10}{x - 3} = \frac{x^2 - 19 + 10}{x - 3} = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\frac{x^2 - 3^2}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3}$

Сократим дробь на $(x - 3)$, при условии, что $x - 3 \neq 0$ (при $x=77$ это условие выполняется):

$x + 3$

Теперь подставим значение $x = 77$ в полученное выражение:

$77 + 3 = 80$

Ответ: 80

2) Упростим выражение. Знаменатели одинаковы, поэтому вычтем числители. Важно правильно раскрыть скобки при вычитании второго числителя.

$\frac{y + 7}{y^2 - 25} - \frac{2y + 2}{y^2 - 25} = \frac{(y + 7) - (2y + 2)}{y^2 - 25} = \frac{y + 7 - 2y - 2}{y^2 - 25} = \frac{-y + 5}{y^2 - 25}$

В числителе вынесем -1 за скобки, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов:

$\frac{-(y - 5)}{(y - 5)(y + 5)}$

Сократим дробь на $(y - 5)$, при $y \neq 5$ (при $y=-25,1$ это условие выполняется):

$\frac{-1}{y + 5}$

Подставим значение $y = -25,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{-1}{-25,1 + 5} = \frac{-1}{-20,1} = \frac{1}{20,1} = \frac{10}{201}$

Ответ: $\frac{10}{201}$

3) Заметим, что знаменатели дробей противоположны: $6 - a = -(a - 6)$. Изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$\frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{6 - a} = \frac{a^2 - 43}{a - 6} - \frac{7}{-(a - 6)} = \frac{a^2 - 43}{a - 6} + \frac{7}{a - 6}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a^2 - 43 + 7}{a - 6} = \frac{a^2 - 36}{a - 6}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{(a - 6)(a + 6)}{a - 6}$

Сократим дробь на $(a - 6)$, при $a \neq 6$ (при $a=-10,25$ это условие выполняется):

$a + 6$

Подставим значение $a = -10,25$:

$-10,25 + 6 = -4,25$

Ответ: -4,25

4) Упростим выражение, вычитая числители, так как знаменатели одинаковы:

$\frac{9b - 1}{b^2 - 9} - \frac{6b - 10}{b^2 - 9} = \frac{(9b - 1) - (6b - 10)}{b^2 - 9} = \frac{9b - 1 - 6b + 10}{b^2 - 9} = \frac{3b + 9}{b^2 - 9}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки, а знаменатель разложим по формуле разности квадратов:

$\frac{3(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)}$

Сократим дробь на $(b + 3)$, при $b \neq -3$ (при $b=-10$ это условие выполняется):

$\frac{3}{b - 3}$

Подставим значение $b = -10$ в полученное выражение:

$\frac{3}{-10 - 3} = \frac{3}{-13} = -\frac{3}{13}$

Ответ: $-\frac{3}{13}$

Упростите выражения (39.8–39.9):

39.8. 1)

$\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$;

2)

$\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2}$;

3)

$\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$;

4)

$\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$;

5)

$\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$;

6)

$\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$;

7)

$\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$;

8)

$\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$;

1) Чтобы упростить выражение $\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x}$, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить как $2-x = -(x-2)$. Это позволяет изменить знак перед дробью и в знаменателе.
$\frac{12-2x}{x-2} + \frac{10-x}{2-x} = \frac{12-2x}{x-2} - \frac{10-x}{x-2} = \frac{(12-2x) - (10-x)}{x-2} = \frac{12-2x-10+x}{x-2} = \frac{2-x}{x-2} = \frac{-(x-2)}{x-2} = -1$.
Ответ: $-1$.

2) В выражении $\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2}$ дроби уже имеют общий знаменатель $3p^2$. Выполним вычитание числителей.
$\frac{12p^3-1}{3p^2} - \frac{1-3p^3}{3p^2} = \frac{(12p^3-1) - (1-3p^3)}{3p^2} = \frac{12p^3-1-1+3p^3}{3p^2} = \frac{15p^3-2}{3p^2}$.
Ответ: $\frac{15p^3-2}{3p^2}$.

3) Для упрощения выражения $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}$ приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что $1-2x = -(2x-1)$.
$\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{(3x+5)-(7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5-7x-3}{2x-1} = \frac{-4x+2}{2x-1} = \frac{-2(2x-1)}{2x-1} = -2$.
Ответ: $-2$.

4) В выражении $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x}$ сначала разложим знаменатели на множители. $5x-20 = 5(x-4)$ и $20-5x = 5(4-x) = -5(x-4)$.
$\frac{5x+1}{5(x-4)} + \frac{x+17}{-5(x-4)} = \frac{5x+1}{5(x-4)} - \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{(5x+1)-(x+17)}{5(x-4)} = \frac{5x+1-x-17}{5(x-4)} = \frac{4x-16}{5(x-4)} = \frac{4(x-4)}{5(x-4)} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

5) В выражении $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16}$ дроби имеют общий знаменатель. Выполним вычитание числителей, а затем разложим числитель и знаменатель на множители.
$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2-8x+16}{x^2-16} = \frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)} = \frac{x-4}{x+4}$.
Ответ: $\frac{x-4}{x+4}$.

6) Чтобы упростить выражение $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2}$, заметим, что $(8-a)^2 = (a-8)^2$, так как квадрат числа и противоположного ему числа равны. Знаменатели дробей одинаковы.
$\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-2ab+2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $64-a^2 = (8-a)(8+a)$.
$\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2} = \frac{-(a-8)(a+8)}{(a-8)^2} = -\frac{a+8}{a-8}$.
Ответ: $-\frac{a+8}{a-8}$.

7) В выражении $\frac{x^2}{x^2-4} - \frac{4(x-1)}{x^2-4}$ знаменатели одинаковы. Выполним действия в числителе.
$\frac{x^2-4(x-1)}{x^2-4} = \frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$.
Разложим числитель как квадрат разности, а знаменатель как разность квадратов.
$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2}$.
Ответ: $\frac{x-2}{x+2}$.

8) Для упрощения выражения $\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{9-x^2}$ приведем дроби к общему знаменателю $x^2-9$, используя то, что $9-x^2 = -(x^2-9)$.
$\frac{x^2+6}{x^2-9} - \frac{3(2x-1)}{-(x^2-9)} = \frac{x^2+6}{x^2-9} + \frac{3(2x-1)}{x^2-9} = \frac{x^2+6+3(2x-1)}{x^2-9} = \frac{x^2+6+6x-3}{x^2-9} = \frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.
Числитель $x^2+6x+3$ нельзя сократить со знаменателем $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
Ответ: $\frac{x^2+6x+3}{x^2-9}$.