Страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.13. Докажите, что при любом значении переменной является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x}; $

2) $ \frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}; $

3) $ \frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}; $

4) $ \frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}. $

Для доказательства того, что значение выражения является целым числом при любом допустимом значении переменной, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения мы получим целое число, то утверждение будет доказано.

1) $\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить как $4-x = -(x-4)$.

$\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{-(x-4)} = \frac{-2x}{x-4} + \frac{8}{x-4}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{-2x+8}{x-4}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель -2:

$\frac{-2(x-4)}{x-4}$

Сократим дробь на $(x-4)$. Это возможно при всех значениях $x$, при которых выражение имеет смысл, то есть при $x-4 \neq 0$ или $x \neq 4$.

$-2$

Таким образом, при любом допустимом значении $x$ значение выражения равно -2, что является целым числом.

Ответ: Значение выражения равно -2, что является целым числом.

2) $\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-3$, используя тождество $3-y = -(y-3)$.

$\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{-(y-3)} = \frac{0,1y}{y-3} - \frac{0,3}{y-3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{0,1y - 0,3}{y-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,1:

$\frac{0,1(y-3)}{y-3}$

Сократим дробь на $(y-3)$ при условии, что $y-3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$.

$0,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 0,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно. Вероятнее всего, в условии имеется опечатка (например, если бы выражение было $\frac{y}{y-3}+\frac{3}{3-y}$, его значение было бы равно 1).

Ответ: Значение выражения равно 0,1, что не является целым числом.

3) $\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-0,1$, так как $0,1-y = -(y-0,1)$.

$\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{-(y-0,1)} = \frac{3,1y}{y-0,1} - \frac{0,31}{y-0,1}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3,1y - 0,31}{y-0,1}$

Заметим, что $0,31 = 3,1 \cdot 0,1$. Вынесем в числителе за скобки общий множитель 3,1:

$\frac{3,1(y - 0,1)}{y-0,1}$

Сократим дробь на $(y-0,1)$ при условии, что $y-0,1 \neq 0$, то есть $y \neq 0,1$.

$3,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 3,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно, вероятно, из-за опечатки в условии.

Ответ: Значение выражения равно 3,1, что не является целым числом.

4) $\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y^2-3$, используя тождество $3-y^2 = -(y^2-3)$.

$\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{-(y^2-3)} = \frac{0,1y^2}{y^2-3} - \frac{0,3}{y^2-3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{0,1y^2 - 0,3}{y^2-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,1:

$\frac{0,1(y^2-3)}{y^2-3}$

Сократим дробь на $(y^2-3)$ при условии, что $y^2-3 \neq 0$, то есть $y \neq \pm\sqrt{3}$.

$0,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 0,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно, вероятно, из-за опечатки в условии (аналогично пункту 2).

Ответ: Значение выражения равно 0,1, что не является целым числом.

39.14. Проверьте, верно ли равенство:

1) $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = -2;$

2) $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = 0,8;$

3) $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x+5}{x-5};$

4) $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2} = 1;$

5) $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x-4}{x+4};$

6) $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2} = -\frac{a+8}{x-8}.$

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = -2$, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $1-2x = -(2x-1)$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{7x+3}{1-2x} = \frac{7x+3}{-(2x-1)} = -\frac{7x+3}{2x-1}$.

Теперь левая часть равенства имеет вид:

$\frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{(3x+5) - (7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5-7x-3}{2x-1} = \frac{-4x+2}{2x-1}$.

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(2x-1)}{2x-1}$.

При условии, что $2x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$, мы можем сократить дробь на $(2x-1)$, получив -2.

Левая часть равна правой: $-2 = -2$. Равенство верно.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = 0,8$.

Преобразуем знаменатели: $5x-20 = 5(x-4)$ и $20-5x = 5(4-x) = -5(x-4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $5(x-4)$:

$\frac{5x+1}{5(x-4)} + \frac{x+17}{-5(x-4)} = \frac{5x+1}{5(x-4)} - \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{(5x+1)-(x+17)}{5(x-4)}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{5x+1-x-17}{5(x-4)} = \frac{4x-16}{5(x-4)}$.

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(x-4)}{5(x-4)}$.

При $x \neq 4$ сократим дробь на $(x-4)$, получим $\frac{4}{5}$.

Так как $\frac{4}{5} = 0,8$, то левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

3) Проверим равенство $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x+5}{x-5}$.

Заметим, что $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$. Значит, знаменатели дробей в левой части одинаковы.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2-25}{(x-5)^2}$.

Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

Подставим разложение в числитель:

$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}$.

При $x \neq 5$ сократим дробь на $(x-5)$, получим $\frac{x+5}{x-5}$.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

4) Проверим равенство $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2} = 1$.

Как и в предыдущем примере, $(5-x)^2 = (x-5)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^2}$.

Числитель $x^2-10x+25$ является полным квадратом разности: $(x-5)^2$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^2}$.

При $x \neq 5$ дробь равна 1.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

5) Проверим равенство $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x-4}{x+4}$.

Знаменатели в левой части одинаковы, поэтому выполним вычитание числителей:

$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2-16}$.

Числитель $x^2-8x+16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Знаменатель $x^2-16$ является разностью квадратов: $(x-4)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)}$.

При $x \neq 4$ и $x \neq -4$ сократим дробь на $(x-4)$, получим $\frac{x-4}{x+4}$.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

6) Проверим равенство $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2} = -\frac{a+8}{x-8}$.

Знаменатель второй дроби $(8-a)^2 = (-(a-8))^2 = (a-8)^2$. Знаменатели равны.

Сложим дроби в левой части:

$\frac{64-2ab + 2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $64-a^2 = (8-a)(8+a)$.

Подставим в дробь: $\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2}$.

Так как $8-a = -(a-8)$, то $\frac{-(a-8)(a+8)}{(a-8)^2}$.

При $a \neq 8$ сократим дробь на $(a-8)$, получим $\frac{-(a+8)}{a-8}$ или $-\frac{a+8}{a-8}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства, которая равна $-\frac{a+8}{x-8}$.

Левая часть: $-\frac{a+8}{a-8}$.

Правая часть: $-\frac{a+8}{x-8}$.

Поскольку знаменатели $a-8$ и $x-8$ в общем случае не равны, то и все выражение не является тождеством. Равенство неверно. (Вероятно, в условии задачи опечатка, и в знаменателе правой части должно было быть $a-8$.)

Ответ: неверно.

39.15. Представьте в виде дроби выражение:

1) $2 - \frac{a}{3} - \frac{b}{4}$;

2) $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$;

3) $\frac{x-2}{2} - 4 - \frac{x-3}{3}$;

4) $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3}$;

5) $\frac{a+b}{4} - a + b$;

6) $2a + 3b - \frac{a^2 + b^2}{a}$;

7) $3x + 3b - \frac{x^2 + 2y^2}{x}$;

8) $5a - 3b - \frac{3a^2 - b^2}{a}$.

1) Чтобы представить выражение $2 - \frac{a}{3} - \frac{b}{4}$ в виде дроби, приведем все его члены к общему знаменателю. Общий знаменатель для 1, 3 и 4 равен 12.

$2 - \frac{a}{3} - \frac{b}{4} = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{a \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{b \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{24}{12} - \frac{4a}{12} - \frac{3b}{12} = \frac{24 - 4a - 3b}{12}$

Ответ: $\frac{24 - 4a - 3b}{12}$

2) Приведем выражение $12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ к общему знаменателю. Общий знаменатель для 1, $a$ и $b$ равен $ab$.

$12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{12 \cdot ab}{ab} - \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} - \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{12ab}{ab} - \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{12ab - b - a}{ab}$

Ответ: $\frac{12ab - a - b}{ab}$

3) Для выражения $\frac{x-2}{2} - 4 - \frac{x-3}{3}$ общий знаменатель равен 6.

$\frac{x-2}{2} - 4 - \frac{x-3}{3} = \frac{3(x-2)}{6} - \frac{4 \cdot 6}{6} - \frac{2(x-3)}{6} = \frac{3x - 6 - 24 - (2x - 6)}{6} = \frac{3x - 30 - 2x + 6}{6} = \frac{x - 24}{6}$

Ответ: $\frac{x - 24}{6}$

4) Для выражения $4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3}$ общий знаменатель равен 12.

$4a - \frac{a-1}{4} - \frac{a+2}{3} = \frac{4a \cdot 12}{12} - \frac{3(a-1)}{12} - \frac{4(a+2)}{12} = \frac{48a - (3a - 3) - (4a + 8)}{12} = \frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12} = \frac{41a - 5}{12}$

Ответ: $\frac{41a - 5}{12}$

5) Для выражения $\frac{a+b}{4} - a + b$ общий знаменатель равен 4.

$\frac{a+b}{4} - a + b = \frac{a+b}{4} - \frac{a \cdot 4}{4} + \frac{b \cdot 4}{4} = \frac{a+b - 4a + 4b}{4} = \frac{-3a + 5b}{4}$

Ответ: $\frac{5b - 3a}{4}$

6) Для выражения $2a + 3b - \frac{a^2+b^2}{a}$ общий знаменатель равен $a$.

$2a + 3b - \frac{a^2+b^2}{a} = \frac{2a \cdot a}{a} + \frac{3b \cdot a}{a} - \frac{a^2+b^2}{a} = \frac{2a^2 + 3ab - (a^2+b^2)}{a} = \frac{2a^2 + 3ab - a^2 - b^2}{a} = \frac{a^2 + 3ab - b^2}{a}$

Ответ: $\frac{a^2 + 3ab - b^2}{a}$

7) Для выражения $3x + 3b - \frac{x^2+2y^2}{x}$ общий знаменатель равен $x$.

$3x + 3b - \frac{x^2+2y^2}{x} = \frac{3x \cdot x}{x} + \frac{3b \cdot x}{x} - \frac{x^2+2y^2}{x} = \frac{3x^2 + 3bx - (x^2+2y^2)}{x} = \frac{3x^2 + 3bx - x^2 - 2y^2}{x} = \frac{2x^2 + 3bx - 2y^2}{x}$

Ответ: $\frac{2x^2 + 3bx - 2y^2}{x}$

8) Для выражения $5a - 3b - \frac{3a^2-b^2}{a}$ общий знаменатель равен $a$.

$5a - 3b - \frac{3a^2-b^2}{a} = \frac{5a \cdot a}{a} - \frac{3b \cdot a}{a} - \frac{3a^2-b^2}{a} = \frac{5a^2 - 3ab - (3a^2-b^2)}{a} = \frac{5a^2 - 3ab - 3a^2 + b^2}{a} = \frac{2a^2 - 3ab + b^2}{a}$

Ответ: $\frac{2a^2 - 3ab + b^2}{a}$

39.16. Выполните действия:

1) $\frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)};$

2) $\frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a};$

3) $\frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx};$

4) $\frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm};$

5) $\frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6};$

6) $\frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)}.$

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $5(a+y)$ и $3(a+y)$. Наименьшим общим знаменателем будет $15(a+y)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй — 5. Выполним преобразования:
$ \frac{4a \cdot 3}{15(a+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(a+y)} = \frac{12a - 10y}{15(a+y)} $.
Ответ: $ \frac{12a - 10y}{15(a+y)} $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a} $. Сначала разложим знаменатели на множители: $7a-14 = 7(a-2)$ и $2-a = -(a-2)$.
Выражение можно переписать так: $ \frac{p}{7(a-2)} + \frac{1}{-(a-2)} = \frac{p}{7(a-2)} - \frac{1}{a-2} $.
Общий знаменатель для дробей — $7(a-2)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен 7.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{p}{7(a-2)} - \frac{1 \cdot 7}{7(a-2)} = \frac{p-7}{7(a-2)} $.
Ответ: $ \frac{p-7}{7(a-2)} $.

3) В выражении $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $ разложим знаменатели на множители.
$ax-ay = a(x-y)$
$by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $.
Общий знаменатель — $ab(x-y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.
$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.
Ответ: $ \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.

4) В выражении $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $ разложим знаменатели на множители.
$bm-bn = b(m-n)$
$cn-cm = c(n-m) = -c(m-n)$
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $.
Общий знаменатель — $bc(m-n)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$.
$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.

5) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6} $, разложим знаменатели на множители:
$2x+4 = 2(x+2)$
$3x+6 = 3(x+2)$
Выражение примет вид: $ \frac{a}{2(x+2)} - \frac{a}{3(x+2)} $.
Общий знаменатель — $6(x+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.
$ \frac{a \cdot 3}{6(x+2)} - \frac{a \cdot 2}{6(x+2)} = \frac{3a - 2a}{6(x+2)} = \frac{a}{6(x+2)} $.
Ответ: $ \frac{a}{6(x+2)} $.

6) В выражении $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $ знаменатели уже содержат общий множитель $(a-b)$.
Общий знаменатель для дробей с коэффициентами 5 и 4 будет $20(a-b)$, так как наименьшее общее кратное для 5 и 4 равно 20.
Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 5.
$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.