Номер 39.16, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.16. Выполните действия:

1) $\frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)};$

2) $\frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a};$

3) $\frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx};$

4) $\frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm};$

5) $\frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6};$

6) $\frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)}.$

1) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{4a}{5(a+y)} - \frac{2y}{3(a+y)} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей $5(a+y)$ и $3(a+y)$. Наименьшим общим знаменателем будет $15(a+y)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй — 5. Выполним преобразования:
$ \frac{4a \cdot 3}{15(a+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(a+y)} = \frac{12a - 10y}{15(a+y)} $.
Ответ: $ \frac{12a - 10y}{15(a+y)} $.

2) Рассмотрим выражение $ \frac{p}{7a-14} + \frac{1}{2-a} $. Сначала разложим знаменатели на множители: $7a-14 = 7(a-2)$ и $2-a = -(a-2)$.
Выражение можно переписать так: $ \frac{p}{7(a-2)} + \frac{1}{-(a-2)} = \frac{p}{7(a-2)} - \frac{1}{a-2} $.
Общий знаменатель для дробей — $7(a-2)$. Дополнительный множитель для второй дроби равен 7.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{p}{7(a-2)} - \frac{1 \cdot 7}{7(a-2)} = \frac{p-7}{7(a-2)} $.
Ответ: $ \frac{p-7}{7(a-2)} $.

3) В выражении $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $ разложим знаменатели на множители.
$ax-ay = a(x-y)$
$by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$
Подставим разложенные знаменатели в исходное выражение:
$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $.
Общий знаменатель — $ab(x-y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.
$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.
Ответ: $ \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.

4) В выражении $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $ разложим знаменатели на множители.
$bm-bn = b(m-n)$
$cn-cm = c(n-m) = -c(m-n)$
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $.
Общий знаменатель — $bc(m-n)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$.
$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.

5) Чтобы выполнить вычитание $ \frac{a}{2x+4} - \frac{a}{3x+6} $, разложим знаменатели на множители:
$2x+4 = 2(x+2)$
$3x+6 = 3(x+2)$
Выражение примет вид: $ \frac{a}{2(x+2)} - \frac{a}{3(x+2)} $.
Общий знаменатель — $6(x+2)$. Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 2.
$ \frac{a \cdot 3}{6(x+2)} - \frac{a \cdot 2}{6(x+2)} = \frac{3a - 2a}{6(x+2)} = \frac{a}{6(x+2)} $.
Ответ: $ \frac{a}{6(x+2)} $.

6) В выражении $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $ знаменатели уже содержат общий множитель $(a-b)$.
Общий знаменатель для дробей с коэффициентами 5 и 4 будет $20(a-b)$, так как наименьшее общее кратное для 5 и 4 равно 20.
Дополнительный множитель для первой дроби — 4, для второй — 5.
$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.