Номер 39.11, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.11. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{x}{4} + \frac{y}{3}; $

2) $ \frac{c}{6} - \frac{d}{12}; $

3) $ \frac{p}{q} + \frac{q}{p}; $

4) $ \frac{a}{b} - \frac{b^2}{a}; $

5) $ \frac{3}{2x} - \frac{2}{3x}; $

6) $ \frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c}; $

7) $ \frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y}; $

8) $ \frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c}; $

9) $ \frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b}; $

10) $ \frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a}; $

11) $ \frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b}; $

12) $ \frac{2a-3b}{2a-b} + \frac{7a-b}{b-2a}; $

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{x}{4}$ и $\frac{y}{3}$ общим знаменателем является 12. Умножим первую дробь на 3, а вторую на 4:$\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{x \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{y \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{3x+4y}{12}$.Ответ: $\frac{3x+4y}{12}$

2) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Для дробей $\frac{c}{6}$ и $\frac{d}{12}$ общий знаменатель равен 12. Умножим первую дробь на 2:$\frac{c}{6} - \frac{d}{12} = \frac{c \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{d}{12} = \frac{2c}{12} - \frac{d}{12} = \frac{2c-d}{12}$.Ответ: $\frac{2c-d}{12}$

3) Для сложения дробей $\frac{p}{q}$ и $\frac{q}{p}$ общим знаменателем будет произведение их знаменателей, то есть $pq$. Умножим первую дробь на $p$, а вторую на $q$:$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p \cdot p}{q \cdot p} + \frac{q \cdot q}{p \cdot q} = \frac{p^2}{pq} + \frac{q^2}{pq} = \frac{p^2+q^2}{pq}$.Ответ: $\frac{p^2+q^2}{pq}$

4) Для вычитания дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{b^2}{a}$ общим знаменателем является $ab$. Умножим первую дробь на $a$, а вторую на $b$:$\frac{a}{b} - \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b^2 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^3}{ab} = \frac{a^2-b^3}{ab}$.Ответ: $\frac{a^2-b^3}{ab}$

5) Общий знаменатель для дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{2}{3x}$ равен $6x$. Дополнительный множитель для первой дроби - 3, для второй - 2:$\frac{3}{2x} - \frac{2}{3x} = \frac{3 \cdot 3}{2x \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{9}{6x} - \frac{4}{6x} = \frac{9-4}{6x} = \frac{5}{6x}$.Ответ: $\frac{5}{6x}$

6) Общий знаменатель для дробей $\frac{a}{5c}$ и $\frac{3a}{4c}$ равен $20c$. Дополнительный множитель для первой дроби - 4, для второй - 5:$\frac{a}{5c} + \frac{3a}{4c} = \frac{a \cdot 4}{5c \cdot 4} + \frac{3a \cdot 5}{4c \cdot 5} = \frac{4a}{20c} + \frac{15a}{20c} = \frac{4a+15a}{20c} = \frac{19a}{20c}$.Ответ: $\frac{19a}{20c}$

7) Общий знаменатель для дробей $\frac{5x}{8y}$ и $\frac{x}{4y}$ равен $8y$. Умножим вторую дробь на 2, чтобы привести ее к общему знаменателю:$\frac{5x}{8y} + \frac{x}{4y} = \frac{5x}{8y} + \frac{x \cdot 2}{4y \cdot 2} = \frac{5x}{8y} + \frac{2x}{8y} = \frac{5x+2x}{8y} = \frac{7x}{8y}$.Ответ: $\frac{7x}{8y}$

8) Найдем общий знаменатель для $24c$ и $36c$. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 36 равно 72. Значит, общий знаменатель - $72c$. Дополнительные множители: $72/24=3$ и $72/36=2$:$\frac{17y}{24c} - \frac{25y}{36c} = \frac{17y \cdot 3}{24c \cdot 3} - \frac{25y \cdot 2}{36c \cdot 2} = \frac{51y}{72c} - \frac{50y}{72c} = \frac{51y-50y}{72c} = \frac{y}{72c}$.Ответ: $\frac{y}{72c}$

9) Найдем общий знаменатель для $18b$ и $45b$. Наименьшее общее кратное чисел 18 и 45 равно 90. Общий знаменатель - $90b$. Дополнительные множители: $90/18=5$ и $90/45=2$:$\frac{5a}{18b} - \frac{7a}{45b} = \frac{5a \cdot 5}{18b \cdot 5} - \frac{7a \cdot 2}{45b \cdot 2} = \frac{25a}{90b} - \frac{14a}{90b} = \frac{25a-14a}{90b} = \frac{11a}{90b}$.Ответ: $\frac{11a}{90b}$

10) Дроби в выражении $\frac{3}{2a} + \frac{3a-b}{2a}$ имеют одинаковый знаменатель $2a$. Поэтому для их сложения достаточно сложить числители:$\frac{3 + (3a-b)}{2a} = \frac{3+3a-b}{2a}$.Ответ: $\frac{3a-b+3}{2a}$

11) Дроби в выражении $\frac{a}{7b} + \frac{4a-b}{7b}$ имеют одинаковый знаменатель $7b$. Складываем их числители:$\frac{a + (4a-b)}{7b} = \frac{a+4a-b}{7b} = \frac{5a-b}{7b}$.Ответ: $\frac{5a-b}{7b}$

12) Знаменатели дробей $\frac{2a-3b}{2a-b}$ и $\frac{7a-b}{b-2a}$ являются противоположными выражениями, так как $b-2a = -(2a-b)$. Преобразуем вторую дробь:$\frac{7a-b}{b-2a} = \frac{7a-b}{-(2a-b)} = -\frac{7a-b}{2a-b}$.Теперь выполним вычитание:$\frac{2a-3b}{2a-b} - \frac{7a-b}{2a-b} = \frac{(2a-3b)-(7a-b)}{2a-b} = \frac{2a-3b-7a+b}{2a-b} = \frac{-5a-2b}{2a-b}$.Ответ: $\frac{-5a-2b}{2a-b}$