Номер 39.9, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.9.

1) $\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(6-x)^2}$;

2) $\frac{x^2 + 25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2}$;

3) $\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{c-p}$;

4) $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$;

5) $\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{2-x}$;

6) $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$;

7) $\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{9-a^2}$;

8) $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

1) Выполним вычитание дробей $\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(6-x)^2}$.

Заметим, что знаменатели связаны соотношением $(6-x)^2 = (-(x-6))^2 = (-1)^2 \cdot (x-6)^2 = (x-6)^2$. Знаменатели дробей равны.

Тогда выражение можно переписать так:

$\frac{x^2}{(x-6)^2} - \frac{36}{(x-6)^2} = \frac{x^2 - 36}{(x-6)^2}$

Числитель полученной дроби можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6)$

Подставим разложение в дробь и сократим:

$\frac{(x-6)(x+6)}{(x-6)^2} = \frac{x+6}{x-6}$

Ответ: $\frac{x+6}{x-6}$.

2) Выполним вычитание дробей $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2}$.

Так же, как и в предыдущем примере, знаменатели равны, так как $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^2}$

Числитель является полным квадратом разности $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$:

$x^2 - 10x + 25 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$

Подставим в дробь и сократим:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^2} = 1$

Ответ: $1$.

3) Выполним сложение дробей $\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{c-p}$.

Знаменатели являются противоположными выражениями: $c-p = -(p-c)$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю $p-c$, изменим знак перед второй дробью и знак ее знаменателя:

$\frac{10p}{p-c} + \frac{6p+7c}{-(p-c)} = \frac{10p}{p-c} - \frac{6p+7c}{p-c}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{10p - (6p+7c)}{p-c} = \frac{10p - 6p - 7c}{p-c} = \frac{4p - 7c}{p-c}$

Ответ: $\frac{4p - 7c}{p-c}$.

4) Выполним сложение дробей $\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $a-b$, используя то, что $b-a = -(a-b)$:

$\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{-(a-b)} = \frac{5a}{a-b} - \frac{5b}{a-b}$

Выполним вычитание:

$\frac{5a - 5b}{a-b}$

В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки:

$\frac{5(a-b)}{a-b} = 5$

Ответ: $5$.

5) Выполним вычитание дробей $\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{2-x}$.

Знаменатель второй дроби $2-x = -(x-2)$. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:

$\frac{2x-5}{x-2} - \frac{1}{-(x-2)} = \frac{2x-5}{x-2} + \frac{1}{x-2}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{2x-5+1}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{2(x-2)}{x-2} = 2$

Ответ: $2$.

6) Выполним сложение дробей $\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{b-2a}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $2a-b$. Так как $b-2a = -(2a-b)$, то:

$\frac{a}{2a-b} + \frac{3a-b}{-(2a-b)} = \frac{a}{2a-b} - \frac{3a-b}{2a-b}$

Выполним вычитание:

$\frac{a - (3a-b)}{2a-b} = \frac{a - 3a + b}{2a-b} = \frac{-2a+b}{2a-b}$

В числителе вынесем $-1$ за скобки:

$\frac{-(2a-b)}{2a-b} = -1$

Ответ: $-1$.

7) Выполним вычитание дробей $\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{9-a^2}$.

Знаменатель второй дроби $9-a^2 = -(a^2-9)$. Изменим знак перед дробью и в знаменателе:

$\frac{a}{a^2-9} - \frac{3}{-(a^2-9)} = \frac{a}{a^2-9} + \frac{3}{a^2-9}$

Сложим дроби:

$\frac{a+3}{a^2-9}$

Знаменатель является разностью квадратов: $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.

$\frac{a+3}{(a-3)(a+3)} = \frac{1}{a-3}$

Ответ: $\frac{1}{a-3}$.

8) Выполним сложение дробей $\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю $y-1$. Так как $1-y = -(y-1)$, то:

$\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{-(y-1)} = \frac{y^2}{y-1} - \frac{1}{y-1}$

Выполним вычитание:

$\frac{y^2-1}{y-1}$

Числитель является разностью квадратов $y^2-1 = (y-1)(y+1)$.

$\frac{(y-1)(y+1)}{y-1} = y+1$

Ответ: $y+1$.