Номер 39.13, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.13. Докажите, что при любом значении переменной является целым числом значение выражения:

1) $ \frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x}; $

2) $ \frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}; $

3) $ \frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}; $

4) $ \frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}. $

Для доказательства того, что значение выражения является целым числом при любом допустимом значении переменной, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения мы получим целое число, то утверждение будет доказано.

1) $\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{4-x}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби можно представить как $4-x = -(x-4)$.

$\frac{-2x}{x-4} - \frac{8}{-(x-4)} = \frac{-2x}{x-4} + \frac{8}{x-4}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{-2x+8}{x-4}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель -2:

$\frac{-2(x-4)}{x-4}$

Сократим дробь на $(x-4)$. Это возможно при всех значениях $x$, при которых выражение имеет смысл, то есть при $x-4 \neq 0$ или $x \neq 4$.

$-2$

Таким образом, при любом допустимом значении $x$ значение выражения равно -2, что является целым числом.

Ответ: Значение выражения равно -2, что является целым числом.

2) $\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{3-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-3$, используя тождество $3-y = -(y-3)$.

$\frac{0,1y}{y-3} + \frac{0,3}{-(y-3)} = \frac{0,1y}{y-3} - \frac{0,3}{y-3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{0,1y - 0,3}{y-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,1:

$\frac{0,1(y-3)}{y-3}$

Сократим дробь на $(y-3)$ при условии, что $y-3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$.

$0,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 0,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно. Вероятнее всего, в условии имеется опечатка (например, если бы выражение было $\frac{y}{y-3}+\frac{3}{3-y}$, его значение было бы равно 1).

Ответ: Значение выражения равно 0,1, что не является целым числом.

3) $\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{0,1-y}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y-0,1$, так как $0,1-y = -(y-0,1)$.

$\frac{3,1y}{y-0,1} + \frac{0,31}{-(y-0,1)} = \frac{3,1y}{y-0,1} - \frac{0,31}{y-0,1}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3,1y - 0,31}{y-0,1}$

Заметим, что $0,31 = 3,1 \cdot 0,1$. Вынесем в числителе за скобки общий множитель 3,1:

$\frac{3,1(y - 0,1)}{y-0,1}$

Сократим дробь на $(y-0,1)$ при условии, что $y-0,1 \neq 0$, то есть $y \neq 0,1$.

$3,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 3,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно, вероятно, из-за опечатки в условии.

Ответ: Значение выражения равно 3,1, что не является целым числом.

4) $\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{3-y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y^2-3$, используя тождество $3-y^2 = -(y^2-3)$.

$\frac{0,1y^2}{y^2-3} + \frac{0,3}{-(y^2-3)} = \frac{0,1y^2}{y^2-3} - \frac{0,3}{y^2-3}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{0,1y^2 - 0,3}{y^2-3}$

В числителе вынесем за скобки общий множитель 0,1:

$\frac{0,1(y^2-3)}{y^2-3}$

Сократим дробь на $(y^2-3)$ при условии, что $y^2-3 \neq 0$, то есть $y \neq \pm\sqrt{3}$.

$0,1$

При любом допустимом значении $y$ значение выражения равно 0,1. Это число не является целым. Следовательно, утверждение из условия задачи для данного выражения неверно, вероятно, из-за опечатки в условии (аналогично пункту 2).

Ответ: Значение выражения равно 0,1, что не является целым числом.