Номер 39.14, страница 248 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.14. Проверьте, верно ли равенство:

1) $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = -2;$

2) $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = 0,8;$

3) $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x+5}{x-5};$

4) $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2} = 1;$

5) $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x-4}{x+4};$

6) $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2} = -\frac{a+8}{x-8}.$

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = -2$, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби $1-2x = -(2x-1)$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{7x+3}{1-2x} = \frac{7x+3}{-(2x-1)} = -\frac{7x+3}{2x-1}$.

Теперь левая часть равенства имеет вид:

$\frac{3x+5}{2x-1} - \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{(3x+5) - (7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5-7x-3}{2x-1} = \frac{-4x+2}{2x-1}$.

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки:

$\frac{-2(2x-1)}{2x-1}$.

При условии, что $2x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$, мы можем сократить дробь на $(2x-1)$, получив -2.

Левая часть равна правой: $-2 = -2$. Равенство верно.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20-5x} = 0,8$.

Преобразуем знаменатели: $5x-20 = 5(x-4)$ и $20-5x = 5(4-x) = -5(x-4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $5(x-4)$:

$\frac{5x+1}{5(x-4)} + \frac{x+17}{-5(x-4)} = \frac{5x+1}{5(x-4)} - \frac{x+17}{5(x-4)} = \frac{(5x+1)-(x+17)}{5(x-4)}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{5x+1-x-17}{5(x-4)} = \frac{4x-16}{5(x-4)}$.

Вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(x-4)}{5(x-4)}$.

При $x \neq 4$ сократим дробь на $(x-4)$, получим $\frac{4}{5}$.

Так как $\frac{4}{5} = 0,8$, то левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

3) Проверим равенство $\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(5-x)^2} = \frac{x+5}{x-5}$.

Заметим, что $(5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$. Значит, знаменатели дробей в левой части одинаковы.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{x^2}{(x-5)^2} - \frac{25}{(x-5)^2} = \frac{x^2-25}{(x-5)^2}$.

Числитель $x^2-25$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.

Подставим разложение в числитель:

$\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}$.

При $x \neq 5$ сократим дробь на $(x-5)$, получим $\frac{x+5}{x-5}$.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

4) Проверим равенство $\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(5-x)^2} = 1$.

Как и в предыдущем примере, $(5-x)^2 = (x-5)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x^2+25}{(x-5)^2} - \frac{10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2+25-10x}{(x-5)^2} = \frac{x^2-10x+25}{(x-5)^2}$.

Числитель $x^2-10x+25$ является полным квадратом разности: $(x-5)^2$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^2}$.

При $x \neq 5$ дробь равна 1.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

5) Проверим равенство $\frac{x^2}{x^2-16} - \frac{8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x-4}{x+4}$.

Знаменатели в левой части одинаковы, поэтому выполним вычитание числителей:

$\frac{x^2 - 8(x-2)}{x^2-16} = \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2-16}$.

Числитель $x^2-8x+16$ является полным квадратом: $(x-4)^2$.

Знаменатель $x^2-16$ является разностью квадратов: $(x-4)(x+4)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(x-4)^2}{(x-4)(x+4)}$.

При $x \neq 4$ и $x \neq -4$ сократим дробь на $(x-4)$, получим $\frac{x-4}{x+4}$.

Левая часть равна правой. Равенство верно.

Ответ: верно.

6) Проверим равенство $\frac{64-2ab}{(a-8)^2} + \frac{2ab-a^2}{(8-a)^2} = -\frac{a+8}{x-8}$.

Знаменатель второй дроби $(8-a)^2 = (-(a-8))^2 = (a-8)^2$. Знаменатели равны.

Сложим дроби в левой части:

$\frac{64-2ab + 2ab-a^2}{(a-8)^2} = \frac{64-a^2}{(a-8)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $64-a^2 = (8-a)(8+a)$.

Подставим в дробь: $\frac{(8-a)(8+a)}{(a-8)^2}$.

Так как $8-a = -(a-8)$, то $\frac{-(a-8)(a+8)}{(a-8)^2}$.

При $a \neq 8$ сократим дробь на $(a-8)$, получим $\frac{-(a+8)}{a-8}$ или $-\frac{a+8}{a-8}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью равенства, которая равна $-\frac{a+8}{x-8}$.

Левая часть: $-\frac{a+8}{a-8}$.

Правая часть: $-\frac{a+8}{x-8}$.

Поскольку знаменатели $a-8$ и $x-8$ в общем случае не равны, то и все выражение не является тождеством. Равенство неверно. (Вероятно, в условии задачи опечатка, и в знаменателе правой части должно было быть $a-8$.)

Ответ: неверно.