Номер 39.12, страница 247 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.12. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + 16}{a - 4} + \frac{8a}{4 - a}$;$

2) $\frac{x^2 + 4y^2}{x - 2y} + \frac{4xy}{2y - x}$;$

3) $\frac{x^2 + 25y^2}{x - 5y} + \frac{10xy}{5y - x}$;$

4) $\frac{9a^2 + 4y^2}{3a - 2y} + \frac{12ay}{2y - 3a}$;$

5) $\frac{a}{2a - yb} + \frac{3a - by}{by - 2a}$;$

6) $\frac{a^2 x^2 + 25y^2}{ax - 5y} + \frac{10axy}{5y - ax}$.$

1) Упростим выражение $\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a}$.
Заметим, что знаменатели $a-4$ и $4-a$ являются противоположными выражениями, то есть $4-a = -(a-4)$.
Поэтому мы можем изменить знак перед второй дробью и знак ее знаменателя, чтобы привести дроби к общему знаменателю:
$\frac{a^2+16}{a-4} + \frac{8a}{4-a} = \frac{a^2+16}{a-4} - \frac{8a}{a-4}$.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем объединить числители:
$\frac{a^2+16-8a}{a-4} = \frac{a^2-8a+16}{a-4}$.
Числитель $a^2-8a+16$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=4$, поэтому $a^2-8a+16 = (a-4)^2$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(a-4)^2}{a-4}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$:
$a-4$.
Ответ: $a-4$.

2) Упростим выражение $\frac{x^2+4y^2}{x-2y} + \frac{4xy}{2y-x}$.
Знаменатель второй дроби $2y-x$ можно представить как $-(x-2y)$. Приведем дроби к общему знаменателю $x-2y$:
$\frac{x^2+4y^2}{x-2y} + \frac{4xy}{-(x-2y)} = \frac{x^2+4y^2}{x-2y} - \frac{4xy}{x-2y}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{x^2+4y^2-4xy}{x-2y} = \frac{x^2-4xy+4y^2}{x-2y}$.
Числитель $x^2-4xy+4y^2$ является полным квадратом разности $(x-2y)^2$, так как $x^2-2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Получаем дробь:
$\frac{(x-2y)^2}{x-2y}$.
Сокращаем дробь на $(x-2y)$:
$x-2y$.
Ответ: $x-2y$.

3) Упростим выражение $\frac{x^2+25y^2}{x-5y} + \frac{10xy}{5y-x}$.
Знаменатель второй дроби $5y-x$ является противоположным знаменателю первой дроби: $5y-x = -(x-5y)$.
Приведем к общему знаменателю $x-5y$:
$\frac{x^2+25y^2}{x-5y} - \frac{10xy}{x-5y}$.
Объединим числители:
$\frac{x^2+25y^2-10xy}{x-5y} = \frac{x^2-10xy+25y^2}{x-5y}$.
Числитель $x^2-10xy+25y^2$ это полный квадрат разности $(x-5y)^2$, поскольку $x^2 - 2 \cdot x \cdot (5y) + (5y)^2 = (x-5y)^2$.
Подставим в выражение:
$\frac{(x-5y)^2}{x-5y}$.
Сократим дробь на $(x-5y)$:
$x-5y$.
Ответ: $x-5y$.

4) Упростим выражение $\frac{9a^2+4y^2}{3a-2y} + \frac{12ay}{2y-3a}$.
Знаменатели $3a-2y$ и $2y-3a$ противоположны: $2y-3a = -(3a-2y)$.
Приведем дроби к общему знаменателю $3a-2y$:
$\frac{9a^2+4y^2}{3a-2y} - \frac{12ay}{3a-2y}$.
Вычтем дроби:
$\frac{9a^2+4y^2-12ay}{3a-2y} = \frac{9a^2-12ay+4y^2}{3a-2y}$.
Числитель $9a^2-12ay+4y^2$ является полным квадратом разности $(3a-2y)^2$, так как $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2y) + (2y)^2 = (3a-2y)^2$.
Получим:
$\frac{(3a-2y)^2}{3a-2y}$.
Сократим на $(3a-2y)$:
$3a-2y$.
Ответ: $3a-2y$.

5) Упростим выражение $\frac{a}{2a-yb} + \frac{3a-by}{by-2a}$.
Знаменатели $2a-yb$ и $by-2a$ противоположны, так как $by-2a = -(2a-by)$.
Приведем ко общему знаменателю $2a-yb$:
$\frac{a}{2a-yb} - \frac{3a-by}{2a-yb}$.
Выполним вычитание:
$\frac{a-(3a-by)}{2a-yb} = \frac{a-3a+by}{2a-yb} = \frac{-2a+by}{2a-yb}$.
Заметим, что числитель $by-2a$ и знаменатель $2a-by$ также являются противоположными выражениями.
$by-2a = -(2a-by)$.
Тогда дробь равна:
$\frac{-(2a-by)}{2a-by} = -1$.
Ответ: $-1$.

6) Упростим выражение $\frac{a^2x^2+25y^2}{ax-5y} + \frac{10axy}{5y-ax}$.
Знаменатель второй дроби $5y-ax$ противоположен знаменателю первой: $5y-ax = -(ax-5y)$.
Приведем к общему знаменателю $ax-5y$:
$\frac{a^2x^2+25y^2}{ax-5y} - \frac{10axy}{ax-5y}$.
Объединим числители:
$\frac{a^2x^2+25y^2-10axy}{ax-5y} = \frac{a^2x^2-10axy+25y^2}{ax-5y}$.
Числитель $a^2x^2-10axy+25y^2$ является полным квадратом разности $(ax-5y)^2$, так как $(ax)^2 - 2 \cdot (ax) \cdot (5y) + (5y)^2 = (ax-5y)^2$.
Подставим в дробь:
$\frac{(ax-5y)^2}{ax-5y}$.
Сократим дробь на $(ax-5y)$:
$ax-5y$.
Ответ: $ax-5y$.