Страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях общий знаменатель двух рациональных дробей равен: произведению знаменателей этих дробей; одному из знаменателей?

2. При каких значениях букв выполняются действия сложения и вычитания рациональных дробей?

1. Общий знаменатель двух рациональных дробей, который является наименьшим общим кратным (НОК) их знаменателей, равен:

произведению знаменателей этих дробей: Это происходит в том случае, когда знаменатели дробей являются взаимно простыми выражениями, то есть не имеют общих множителей, кроме констант. Пусть даны дроби $\frac{A}{B}$ и $\frac{C}{D}$. Если их знаменатели $B$ и $D$ взаимно просты, то их наибольший общий делитель $НОД(B, D) = 1$. Так как $НОК(B, D) = \frac{B \cdot D}{НОД(B, D)}$, то в этом случае общий знаменатель будет равен $B \cdot D$.
Пример: для дробей $\frac{5}{x-2}$ и $\frac{y}{x+3}$ знаменатели $x-2$ и $x+3$ взаимно просты. Их общий знаменатель равен произведению $(x-2)(x+3)$.

одному из знаменателей: Это происходит в том случае, когда один из знаменателей делится нацело на другой. Если знаменатель $D$ дроби $\frac{C}{D}$ делится на знаменатель $B$ дроби $\frac{A}{B}$, то $D$ является их наименьшим общим кратным, то есть $НОК(B, D) = D$. Таким образом, общий знаменатель будет равен $D$.
Пример: для дробей $\frac{a}{y+1}$ и $\frac{b}{y^2-1}$ знаменатель второй дроби $y^2-1 = (y-1)(y+1)$ делится на знаменатель первой дроби $y+1$. Следовательно, их общий знаменатель равен $y^2-1$.

Ответ: Общий знаменатель равен произведению знаменателей, если они взаимно просты. Общий знаменатель равен одному из знаменателей, если этот знаменатель делится на другой без остатка.

2. Действия сложения и вычитания рациональных дробей можно выполнять только при тех значениях входящих в них букв (переменных), которые принадлежат области допустимых значений (ОДЗ) данного выражения. Область допустимых значений состоит из всех значений переменных, при которых знаменатель каждой из исходных дробей не обращается в нуль.

Это правило следует из того, что деление на ноль в математике не определено. Поэтому, чтобы выполнить операцию $\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D}$, необходимо, чтобы обе дроби были определены, то есть чтобы их знаменатели были отличны от нуля: $B \neq 0$ и $D \neq 0$ одновременно.
Пример: чтобы выполнить действие $\frac{x}{x-5} - \frac{3}{x+4}$, необходимо, чтобы выполнялись условия $x-5 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$. Следовательно, действие выполнимо при всех значениях $x$, кроме $x=5$ и $x=-4$.

Ответ: Действия сложения и вычитания рациональных дробей выполняются при всех значениях букв, при которых знаменатель каждой из этих дробей не равен нулю.

39.1. Пользуясь тождеством $ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $, представьте в виде суммы дробей дробь:

1) $ \frac{2a+b}{x} $;

2) $ \frac{2a^2+5a}{4y} $;

3) $ \frac{x^2+6y^2}{2xy} $;

4) $ \frac{12a^2+y^3}{6ay} $;

5) $ \frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} $;

6) $ \frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} $.

1) Применим тождество $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ к дроби $\frac{2a+b}{x}$. Для этого разделим каждый член числителя ($2a$ и $b$) на знаменатель $x$.

$\frac{2a+b}{x} = \frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$

Полученные дроби являются несократимыми.

Ответ: $\frac{2a}{x} + \frac{b}{x}$

2) Представим дробь $\frac{2a^2+5a}{4y}$ в виде суммы, разделив каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{2a^2+5a}{4y} = \frac{2a^2}{4y} + \frac{5a}{4y}$

Теперь упростим полученные дроби. В первой дроби можно сократить числовые коэффициенты (2 и 4) на 2:

$\frac{2a^2}{4y} = \frac{a^2}{2y}$

Вторая дробь $\frac{5a}{4y}$ несократима.

Ответ: $\frac{a^2}{2y} + \frac{5a}{4y}$

3) Представим дробь $\frac{x^2+6y^2}{2xy}$ в виде суммы:

$\frac{x^2+6y^2}{2xy} = \frac{x^2}{2xy} + \frac{6y^2}{2xy}$

Сократим каждую дробь:

В первой дроби $\frac{x^2}{2xy}$ сокращаем на $x$, получая $\frac{x}{2y}$.

Во второй дроби $\frac{6y^2}{2xy}$ сокращаем на $2y$, получая $\frac{3y}{x}$.

Складываем упрощенные дроби.

Ответ: $\frac{x}{2y} + \frac{3y}{x}$

4) Представим дробь $\frac{12a^2+y^3}{6ay}$ в виде суммы:

$\frac{12a^2+y^3}{6ay} = \frac{12a^2}{6ay} + \frac{y^3}{6ay}$

Упростим каждую дробь путем сокращения общих множителей:

Первая дробь: $\frac{12a^2}{6ay} = \frac{2 \cdot 6 \cdot a \cdot a}{6 \cdot a \cdot y} = \frac{2a}{y}$ (сократили на $6a$).

Вторая дробь: $\frac{y^3}{6ay} = \frac{y \cdot y^2}{6a \cdot y} = \frac{y^2}{6a}$ (сократили на $y$).

Ответ: $\frac{2a}{y} + \frac{y^2}{6a}$

5) Тождество $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ справедливо и для разности. Представим дробь $\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3}$ в виде разности:

$\frac{2a^2-3y^3}{3ay^3} = \frac{2a^2}{3ay^3} - \frac{3y^3}{3ay^3}$

Сократим каждую полученную дробь:

Первая дробь: $\frac{2a^2}{3ay^3} = \frac{2a}{3y^3}$ (сократили на $a$).

Вторая дробь: $\frac{3y^3}{3ay^3} = \frac{1}{a}$ (сократили на $3y^3$).

Ответ: $\frac{2a}{3y^3} - \frac{1}{a}$

6) Данное тождество можно применить и для числителя с тремя слагаемыми. Представим дробь $\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3}$ в виде суммы трех дробей:

$\frac{12a^2+y^4+5y}{8ay^3} = \frac{12a^2}{8ay^3} + \frac{y^4}{8ay^3} + \frac{5y}{8ay^3}$

Теперь упростим каждое слагаемое:

$\frac{12a^2}{8ay^3} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a^2}{2 \cdot 4 \cdot a \cdot y^3} = \frac{3a}{2y^3}$ (сократили на $4a$).

$\frac{y^4}{8ay^3} = \frac{y^3 \cdot y}{8a \cdot y^3} = \frac{y}{8a}$ (сократили на $y^3$).

$\frac{5y}{8ay^3} = \frac{5y}{8a \cdot y \cdot y^2} = \frac{5}{8ay^2}$ (сократили на $y$).

Ответ: $\frac{3a}{2y^3} + \frac{y}{8a} + \frac{5}{8ay^2}$

39.2. Выполните сложение дробей:

1) $\frac{x}{5} + \frac{y}{5}$;

2) $\frac{a}{4} + \frac{b}{4}$;

3) $\frac{a}{y} + \frac{2a}{y}$;

4) $\frac{5b^2}{3a} + \frac{13b^2}{3a}$;

5) $\frac{x+y}{19} + \frac{2x}{19}$;

6) $\frac{2c-x}{2b} + \frac{x}{2b}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае знаменатель равен 5. Выполняем сложение числителей:$ \frac{x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{x+y}{5} $Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $ \frac{x+y}{5} $

2) Данные дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 4. Складываем их числители, а знаменатель оставляем прежним:$ \frac{a}{4} + \frac{b}{4} = \frac{a+b}{4} $
Ответ: $ \frac{a+b}{4} $

3) Знаменатели дробей одинаковы и равны $y$. Складываем числители, которые являются подобными слагаемыми:$ \frac{a}{y} + \frac{2a}{y} = \frac{a+2a}{y} = \frac{3a}{y} $
Ответ: $ \frac{3a}{y} $

4) Обе дроби имеют общий знаменатель $3a$. Складываем их числители:$ \frac{5b^2}{3a} + \frac{13b^2}{3a} = \frac{5b^2+13b^2}{3a} $Числители являются подобными слагаемыми, поэтому складываем их коэффициенты: $5b^2+13b^2 = 18b^2$.Получаем дробь $ \frac{18b^2}{3a} $.Эту дробь можно сократить, разделив числовые коэффициенты в числителе и знаменателе на 3: $ \frac{18}{3} = 6 $.$ \frac{18b^2}{3a} = \frac{6b^2}{a} $
Ответ: $ \frac{6b^2}{a} $

5) Знаменатели дробей одинаковы и равны 19. Складываем числители:$ \frac{x+y}{19} + \frac{2x}{19} = \frac{(x+y)+2x}{19} $Приводим подобные слагаемые в числителе: $x+y+2x = 3x+y$.$ \frac{3x+y}{19} $
Ответ: $ \frac{3x+y}{19} $

6) Общий знаменатель дробей равен $2b$. Выполняем сложение числителей:$ \frac{2c-x}{2b} + \frac{x}{2b} = \frac{(2c-x)+x}{2b} $В числителе слагаемые $-x$ и $x$ взаимно уничтожаются: $2c-x+x = 2c$.Получаем дробь $ \frac{2c}{2b} $.Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель 2:$ \frac{2c}{2b} = \frac{c}{b} $
Ответ: $ \frac{c}{b} $

Выполните действия (39.3–39.5):

39.3. 1) $ \frac{17-12x}{x} - \frac{10}{x} $;

2) $ \frac{12p-1}{3p^2} - \frac{1+3p}{3p^2} $;

3) $ \frac{6y-3}{5y} - \frac{y+2}{5y} $;

4) $ \frac{5b}{6} - \frac{3a-2b}{6} $;

5) $ \frac{5y-3}{7y} - \frac{3y+2}{7y} $;

6) $ \frac{11x-5}{14x} + \frac{3x-2}{14x} $;

7) $ \frac{7y-13}{10y} - \frac{2y+3}{10y} $;

8) $ \frac{8c+25}{6c} + \frac{5-2c}{6c} $.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{17-12x}{x} - \frac{10}{x} = \frac{17-12x-10}{x} = \frac{7-12x}{x}$
Ответ: $\frac{7-12x}{x}$.

2) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, вычитаем их числители. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю.
$\frac{12p-1}{3p^2} - \frac{1+3p}{3p^2} = \frac{(12p-1)-(1+3p)}{3p^2} = \frac{12p-1-1-3p}{3p^2} = \frac{9p-2}{3p^2}$
Ответ: $\frac{9p-2}{3p^2}$.

3) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $5y$.
$\frac{6y-3}{5y} - \frac{y+2}{5y} = \frac{(6y-3)-(y+2)}{5y} = \frac{6y-3-y-2}{5y} = \frac{5y-5}{5y}$
Вынесем общий множитель 5 в числителе и сократим дробь:
$\frac{5(y-1)}{5y} = \frac{y-1}{y}$
Ответ: $\frac{y-1}{y}$.

4) Выполним вычитание дробей с общим знаменателем 6.
$\frac{5b}{6} - \frac{3a-2b}{6} = \frac{5b-(3a-2b)}{6} = \frac{5b-3a+2b}{6} = \frac{7b-3a}{6}$
Ответ: $\frac{7b-3a}{6}$.

5) Выполним вычитание дробей с общим знаменателем $7y$.
$\frac{5y-3}{7y} - \frac{3y+2}{7y} = \frac{(5y-3)-(3y+2)}{7y} = \frac{5y-3-3y-2}{7y} = \frac{2y-5}{7y}$
Ответ: $\frac{2y-5}{7y}$.

6) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{11x-5}{14x} + \frac{3x-2}{14x} = \frac{(11x-5)+(3x-2)}{14x} = \frac{11x-5+3x-2}{14x} = \frac{14x-7}{14x}$
Вынесем общий множитель 7 в числителе и сократим дробь:
$\frac{7(2x-1)}{14x} = \frac{2x-1}{2x}$
Ответ: $\frac{2x-1}{2x}$.

7) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $10y$.
$\frac{7y-13}{10y} - \frac{2y+3}{10y} = \frac{(7y-13)-(2y+3)}{10y} = \frac{7y-13-2y-3}{10y} = \frac{5y-16}{10y}$
Ответ: $\frac{5y-16}{10y}$.

8) Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем $6c$.
$\frac{8c+25}{6c} + \frac{5-2c}{6c} = \frac{(8c+25)+(5-2c)}{6c} = \frac{8c+25+5-2c}{6c} = \frac{6c+30}{6c}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе и сократим дробь:
$\frac{6(c+5)}{6c} = \frac{c+5}{c}$
Ответ: $\frac{c+5}{c}$.

39.4. 1) $\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p};$

2) $\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c};$

3) $\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b};$

4) $\frac{4b-2}{5b} - \frac{2b-1}{5b} + \frac{1}{5b};$

5) $\frac{7y-5}{12y} - \frac{10y-19}{12y} + \frac{10-15y}{12y};$

6) $\frac{11a-2b}{2a} + \frac{2a-3b}{2a} - \frac{a-b}{2a}.$

1) $\frac{3p-q}{5p} - \frac{2p+6q}{5p} + \frac{p-4q}{5p}$
Так как все дроби имеют одинаковый знаменатель $5p$, мы можем выполнить действия с их числителями, записав результат над общим знаменателем:
$\frac{(3p-q) - (2p+6q) + (p-4q)}{5p}$
Раскроем скобки в числителе. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который меняет знаки у всех членов в скобках:
$\frac{3p-q - 2p - 6q + p - 4q}{5p}$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые в числителе:
$(3p - 2p + p) + (-q - 6q - 4q) = 2p - 11q$
Подставим полученное выражение в числитель:
$\frac{2p-11q}{5p}$
Ответ: $\frac{2p-11q}{5p}$

2) $\frac{5c-2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d-5c}{4c}$
Все дроби имеют общий знаменатель $4c$. Объединим числители:
$\frac{(5c-2d) - 3d + (d-5c)}{4c}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{5c - 2d - 3d + d - 5c}{4c}$
Сгруппируем подобные члены:
$(5c - 5c) + (-2d - 3d + d) = 0 - 4d = -4d$
Получаем дробь:
$\frac{-4d}{4c}$
Сократим дробь на 4:
$-\frac{d}{c}$
Ответ: $-\frac{d}{c}$

3) $\frac{2a}{b} - \frac{1-6a}{b} + \frac{13-8a}{b}$
Общий знаменатель дробей равен $b$. Выполним действия с числителями:
$\frac{2a - (1-6a) + (13-8a)}{b}$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй дробью:
$\frac{2a - 1 + 6a + 13 - 8a}{b}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(2a + 6a - 8a) + (-1 + 13) = 0a + 12 = 12$
Итоговый результат:
$\frac{12}{b}$
Ответ: $\frac{12}{b}$

4) $\frac{4b-2}{5b} - \frac{2b-1}{5b} + \frac{1}{5b}$
Знаменатель у всех дробей одинаковый, $5b$. Сложим и вычтем числители:
$\frac{(4b-2) - (2b-1) + 1}{5b}$
Раскроем скобки:
$\frac{4b-2 - 2b + 1 + 1}{5b}$
Сгруппируем и приведем подобные члены в числителе:
$(4b - 2b) + (-2 + 1 + 1) = 2b + 0 = 2b$
Получаем дробь:
$\frac{2b}{5b}$
Сократим дробь на $b$ (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{2}{5}$
Ответ: $\frac{2}{5}$

5) $\frac{7y-5}{12y} - \frac{10y-19}{12y} + \frac{10-15y}{12y}$
Все дроби имеют общий знаменатель $12y$. Объединяем числители:
$\frac{(7y-5) - (10y-19) + (10-15y)}{12y}$
Раскрываем скобки в числителе:
$\frac{7y - 5 - 10y + 19 + 10 - 15y}{12y}$
Приводим подобные слагаемые:
$(7y - 10y - 15y) + (-5 + 19 + 10) = -18y + 24$
Запишем результат в дробь:
$\frac{24 - 18y}{12y}$
Вынесем общий множитель 6 в числителе:
$\frac{6(4 - 3y)}{12y}$
Сократим дробь на 6:
$\frac{4 - 3y}{2y}$
Ответ: $\frac{4 - 3y}{2y}$

6) $\frac{11a-2b}{2a} + \frac{2a-3b}{2a} - \frac{a-b}{2a}$
Общий знаменатель дробей равен $2a$. Выполняем действия с числителями:
$\frac{(11a-2b) + (2a-3b) - (a-b)}{2a}$
Раскрываем скобки:
$\frac{11a - 2b + 2a - 3b - a + b}{2a}$
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$(11a + 2a - a) + (-2b - 3b + b) = 12a - 4b$
Получаем дробь:
$\frac{12a - 4b}{2a}$
Вынесем общий множитель 4 в числителе:
$\frac{4(3a-b)}{2a}$
Сократим дробь на 2:
$\frac{2(3a-b)}{a}$
Ответ: $\frac{2(3a-b)}{a}$