Страница 257 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (40.4–40.5):

40.4. 1) $ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}; $

2) $ \frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x - y}; $

3) $ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6}; $

4) $ \frac{m - n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn - m^2}; $

5) $ \frac{ma - mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb - na}; $

6) $ \frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab + b^2}{9} \cdot \frac{6}{a}; $

7) $ \frac{4ab}{cx + dx} \cdot \frac{ax + bx}{2ab}; $

8) $ \frac{ax - ay}{5x^2y^2} \cdot \left( -\frac{5xy}{by - bx} \right); $

9) $ \frac{cx - cy}{35x^2y^2} \cdot \left( -\frac{15xy}{ny - nx} \right). $

1) $\frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2}$
Чтобы выполнить умножение, перемножим все числители и все знаменатели:
$\frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} = \frac{(2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y}{(3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y} = \frac{36a^3bx^3y}{180ab^4xy}$
Теперь сократим полученную дробь.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{36}{180} = \frac{1}{5}$.
Сокращаем переменные: $\frac{a^3}{a} = a^2$, $\frac{b}{b^4} = \frac{1}{b^3}$, $\frac{x^3}{x} = x^2$, $\frac{y}{y} = 1$.
Объединяем полученные результаты: $\frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 = \frac{a^2x^2}{5b^3}$.
Ответ: $\frac{a^2x^2}{5b^3}$

2) $\frac{x^2 - xy}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x-y}$
Сначала разложим на множители числитель первой дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{x(x-y)}{4y} \cdot \frac{y^2}{x} \cdot \frac{2x^3}{x-y}$.
Перемножим дроби: $\frac{x(x-y) \cdot y^2 \cdot 2x^3}{4y \cdot x \cdot (x-y)}$.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $(x-y)$, $x$, $y$ и числовые коэффициенты ($\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$).
$\frac{\cancel{x}\cancel{(x-y)} \cdot y^{\cancel{2}} \cdot \cancel{2}x^3}{\cancel{4}_2 \cancel{y} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{yx^3}{2}$.
Ответ: $\frac{x^3y}{2}$

3) $\frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6}$
Перемножим дроби: $\frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6}$.
Сгруппируем и упростим коэффициенты и степени переменных отдельно.
Коэффициенты: $\frac{6 \cdot 49 \cdot 5}{35 \cdot 42} = \frac{6 \cdot (7 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 7)} = 1$.
Переменная $m$: $\frac{m^3 \cdot m^4}{m^5} = \frac{m^7}{m^5} = m^2$.
Переменная $n$: $\frac{n^2 \cdot n^4}{n^6} = \frac{n^6}{n^6} = 1$.
Переменная $p$: $\frac{p^2}{p^3 \cdot p^3} = \frac{p^2}{p^6} = \frac{1}{p^4}$.
Собираем все вместе: $1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4}$.
Ответ: $\frac{m^2}{p^4}$

4) $\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{mn-m^2}$
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $mn-m^2 = m(n-m)$.
Заметим, что $n-m = -(m-n)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{m(n-m)} = \frac{m-n}{mn} \cdot \frac{2mn}{-m(m-n)}$.
Сократим общие множители $(m-n)$ и $mn$: $\frac{\cancel{m-n}}{\cancel{mn}} \cdot \frac{2\cancel{mn}}{-m(\cancel{m-n})} = \frac{2}{-m} = -\frac{2}{m}$.
Ответ: $-\frac{2}{m}$

5) $\frac{ma-mb}{3n^2} \cdot \frac{2m}{nb-na}$
Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе: $ma-mb = m(a-b)$ и $nb-na = n(b-a)$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m(a-b)}{3n^2} \cdot \frac{2m}{-n(a-b)}$.
Перемножим дроби: $\frac{m(a-b) \cdot 2m}{3n^2 \cdot (-n(a-b))} = \frac{2m^2(a-b)}{-3n^3(a-b)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$: $\frac{2m^2}{-3n^3} = -\frac{2m^2}{3n^3}$.
Ответ: $-\frac{2m^2}{3n^3}$

6) $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{ab+b^2}{9} \cdot \frac{6}{a}$
Разложим на множители числитель второй дроби: $ab+b^2 = b(a+b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{3a}{b^2} \cdot \frac{b(a+b)}{9} \cdot \frac{6}{a}$.
Перемножим дроби: $\frac{3a \cdot b(a+b) \cdot 6}{b^2 \cdot 9 \cdot a}$.
Сократим общие множители $a$, $b$ и числовые коэффициенты: $\frac{3 \cdot 6}{9} = \frac{18}{9} = 2$.
$\frac{\cancel{18} \cdot a \cdot b \cdot (a+b)}{9 \cdot a \cdot b^2} \rightarrow \frac{2 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot (a+b)}{\cancel{a} \cdot b^{\cancel{2}}} = \frac{2(a+b)}{b}$.
Ответ: $\frac{2(a+b)}{b}$

7) $\frac{4ab}{cx+dx} \cdot \frac{ax+bx}{2ab}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй: $cx+dx = x(c+d)$ и $ax+bx = x(a+b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{4ab}{x(c+d)} \cdot \frac{x(a+b)}{2ab}$.
Перемножим дроби: $\frac{4ab \cdot x(a+b)}{x(c+d) \cdot 2ab}$.
Сократим общие множители $x$, $ab$ и числовые коэффициенты $\frac{4}{2} = 2$.
$\frac{\cancel{4}_2\cancel{ab} \cdot \cancel{x}(a+b)}{\cancel{x}(c+d) \cdot \cancel{2}\cancel{ab}} = \frac{2(a+b)}{c+d}$.
Ответ: $\frac{2(a+b)}{c+d}$

8) $\frac{ax-ay}{5x^2y^2} \cdot (-\frac{5xy}{by-bx})$
Разложим на множители: $ax-ay = a(x-y)$ и $by-bx = b(y-x) = -b(x-y)$.
Знак "минус" перед второй дробью можно использовать, чтобы изменить знак в ее знаменателе: $-\frac{5xy}{by-bx} = \frac{5xy}{-(by-bx)} = \frac{5xy}{bx-by} = \frac{5xy}{b(x-y)}$.
Выражение принимает вид: $\frac{a(x-y)}{5x^2y^2} \cdot \frac{5xy}{b(x-y)}$.
Перемножим и сократим: $\frac{a(x-y) \cdot 5xy}{5x^2y^2 \cdot b(x-y)} = \frac{a\cancel{(x-y)} \cdot \cancel{5}\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{5}x^{\cancel{2}}_x y^{\cancel{2}}_y \cdot b\cancel{(x-y)}} = \frac{a}{xy \cdot b}$.
Ответ: $\frac{a}{bxy}$

9) $\frac{cx-cy}{35x^2y^2} \cdot (-\frac{15xy}{ny-nx})$
Разложим на множители: $cx-cy = c(x-y)$ и $ny-nx = n(y-x) = -n(x-y)$.
Знак "минус" перед второй дробью внесем в ее знаменатель: $-\frac{15xy}{ny-nx} = \frac{15xy}{-(ny-nx)} = \frac{15xy}{nx-ny} = \frac{15xy}{n(x-y)}$.
Выражение принимает вид: $\frac{c(x-y)}{35x^2y^2} \cdot \frac{15xy}{n(x-y)}$.
Перемножим и сократим: $\frac{c(x-y) \cdot 15xy}{35x^2y^2 \cdot n(x-y)}$.
Сокращаем $(x-y)$, $x$, $y$ и коэффициенты $\frac{15}{35} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{3}{7}$.
$\frac{c \cdot \cancel{15}_3}{\cancel{35}_7 \cdot xy \cdot n} = \frac{3c}{7nxy}$.
Ответ: $\frac{3c}{7nxy}$

40.5.

1) $(x + 3y): (x^2 - 9y^2);$

2) $ \frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2}; $

3) $(a^2 + 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2);$

4) $ \frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y}; $

5) $ \frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a}; $

6) $ \frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m}. $

1) Запишем деление в виде дроби: $\frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$. Знаменатель $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$. После подстановки в дробь получаем: $\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)}$. Сокращаем общий множитель $(x + 3y)$ в числителе и знаменателе. В результате получаем $\frac{1}{x - 3y}$.
Ответ: $\frac{1}{x - 3y}$.

2) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $\frac{ab^2}{a^2 - 1} : \frac{5b}{a - a^2} = \frac{ab^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a - a^2}{5b}$. Разложим числители и знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Числитель второй дроби: $a - a^2 = a(1 - a) = -a(a - 1)$. Подставим разложенные выражения: $\frac{ab^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{-a(a - 1)}{5b}$. Теперь сократим общие множители $(a-1)$ и $b$: $\frac{ab}{a + 1} \cdot \frac{-a}{5} = \frac{a \cdot b \cdot (-a)}{(a + 1) \cdot 5} = -\frac{a^2b}{5(a + 1)}$.
Ответ: $-\frac{a^2b}{5(a + 1)}$.

3) Запишем деление многочленов в виде дроби: $\frac{a^2 + 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель является полным квадратом суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$. Знаменатель является разностью квадратов: $a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$. Получаем дробь: $\frac{(a + 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)}$. Сокращаем на общий множитель $(a + 3b)$.
Ответ: $\frac{a + 3b}{a - 3b}$.

4) Для деления дробей умножаем первую дробь на обратную второй: $\frac{x^2 - 4y^2}{xy} : \frac{x^2 - 2xy}{3y} = \frac{x^2 - 4y^2}{xy} \cdot \frac{3y}{x^2 - 2xy}$. Разложим на множители числитель первой дроби (как разность квадратов) и знаменатель второй дроби (вынесением общего множителя): $x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)$ и $x^2 - 2xy = x(x - 2y)$. Подставляем полученные выражения: $\frac{(x - 2y)(x + 2y)}{xy} \cdot \frac{3y}{x(x - 2y)}$. Сокращаем общие множители $(x - 2y)$ и $y$: $\frac{x + 2y}{x} \cdot \frac{3}{x} = \frac{3(x + 2y)}{x^2}$.
Ответ: $\frac{3(x + 2y)}{x^2}$.

5) Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} : \frac{a^2 - 9}{a^2 + 5a} = \frac{a^2 - 3a}{a^2 - 25} \cdot \frac{a^2 + 5a}{a^2 - 9}$. Разложим все числители и знаменатели на множители: $a^2 - 3a = a(a - 3)$; $a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5)$; $a^2 + 5a = a(a + 5)$; $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Получаем выражение: $\frac{a(a - 3)}{(a - 5)(a + 5)} \cdot \frac{a(a + 5)}{(a - 3)(a + 3)}$. Сокращаем общие множители $(a - 3)$ и $(a + 5)$: $\frac{a}{a - 5} \cdot \frac{a}{a + 3} = \frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$.
Ответ: $\frac{a^2}{(a - 5)(a + 3)}$.

6) Заменяем деление на умножение на обратную дробь: $\frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} : \frac{6m - 6n}{p + m} = \frac{3m^2 - 3n^2}{m^2 + mp} \cdot \frac{p + m}{6m - 6n}$. Разложим на множители: $3m^2 - 3n^2 = 3(m^2 - n^2) = 3(m - n)(m + n)$; $m^2 + mp = m(m + p)$; $6m - 6n = 6(m - n)$. Подставляем в выражение: $\frac{3(m - n)(m + n)}{m(m + p)} \cdot \frac{m + p}{6(m - n)}$. Сокращаем общие множители $(m - n)$ и $(m + p)$. Также сокращаем числовые коэффициенты 3 и 6 (в знаменателе останется 2): $\frac{m + n}{m} \cdot \frac{1}{2} = \frac{m + n}{2m}$.
Ответ: $\frac{m + n}{2m}$.

40.6. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 n^2}{3n - 1}$, если $m = \frac{1}{4}, n = -5;$

2) $\frac{(x-2)^2}{4y+9} \cdot \frac{2y+6}{x^2-4}$, если $x = 0,5; y = -1,5.$

1) Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Вынесем общие множители за скобки в числителе первой дроби:
$ \frac{3mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2n^2}{3n - 1} = \frac{m(3n - 1)}{4m + n} \cdot \frac{16m^2n^2}{3n - 1} $
Сократим общий множитель $(3n - 1)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби (при условии, что $3n - 1 \neq 0$):
$ \frac{m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2n^2}{1} = \frac{16m^3n^2}{4m + n} $
Теперь подставим в упрощенное выражение значения $m = \frac{1}{4}$ и $n = -5$.
Проверим условие $3n - 1 \neq 0$: $3(-5) - 1 = -15 - 1 = -16 \neq 0$.
Вычислим значение выражения:
$ \frac{16 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (-5)^2}{4 \cdot \frac{1}{4} + (-5)} = \frac{16 \cdot \frac{1}{64} \cdot 25}{1 - 5} = \frac{\frac{16 \cdot 25}{64}}{-4} = \frac{\frac{25}{4}}{-4} = \frac{25}{4 \cdot (-4)} = -\frac{25}{16} $
Ответ: $-\frac{25}{16}$.

2) Сначала упростим данное выражение. Разложим на множители числитель второй дроби и знаменатель второй дроби (как разность квадратов):
$ \frac{(x-2)^2}{4y+9} \cdot \frac{2y+6}{x^2-4} = \frac{(x-2)^2}{4y+9} \cdot \frac{2(y+3)}{(x-2)(x+2)} $
Сократим общий множитель $(x-2)$ (при условии, что $x-2 \neq 0$):
$ \frac{x-2}{4y+9} \cdot \frac{2(y+3)}{x+2} = \frac{2(x-2)(y+3)}{(4y+9)(x+2)} $
Теперь подставим в упрощенное выражение значения $x = 0,5$ и $y = -1,5$.
Проверим условие $x-2 \neq 0$: $0,5 - 2 = -1,5 \neq 0$.
Вычислим значение выражения:
$ \frac{2(0,5-2)(-1,5+3)}{(4(-1,5)+9)(0,5+2)} = \frac{2(-1,5)(1,5)}{(-6+9)(2,5)} = \frac{-4,5}{3 \cdot 2,5} = \frac{-4,5}{7,5} $
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{-45}{75} = -\frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = -\frac{3}{5} $
Ответ: $-\frac{3}{5}$.

40.7. Упростите выражение:

1) $ \frac{12x^4}{m^3 n^3} : \frac{x^3}{4mn^2} $;

2) $ \frac{a^2 b^3}{22mn^2} : \left( - \frac{4ab^3}{33mn} \right) $;

3) $ \frac{16mx^2}{3y^3} : (4m^3 x) $;

4) $ \frac{35x^2 y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2} $;

5) $ - \frac{6xy^2}{5ab} : \left( \frac{9x^2 y^2}{10ab} \right) $;

6) $ 45a^2 bx \cdot \frac{b^2}{30x^2 a^3} $

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем сокращаем числитель и знаменатель.
$\frac{12x^4}{m^3 n^3} : \frac{x^3}{4mn^2} = \frac{12x^4}{m^3 n^3} \cdot \frac{4mn^2}{x^3} = \frac{12 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot m \cdot n^2}{m^3 \cdot n^3 \cdot x^3}$
Сокращаем числовые коэффициенты и переменные в соответствующих степенях:
$ = \frac{48 \cdot x^{4-3} \cdot m^{1-3} \cdot n^{2-3}}{1} = 48 \cdot x^1 \cdot m^{-2} \cdot n^{-1} = \frac{48x}{m^2 n}$
Ответ: $\frac{48x}{m^2n}$

2) Деление на отрицательную дробь эквивалентно умножению на обратную ей отрицательную дробь.
$\frac{a^2 b^3}{22mn^2} : (-\frac{4ab^3}{33mn}) = \frac{a^2 b^3}{22mn^2} \cdot (-\frac{33mn}{4ab^3}) = -\frac{a^2 b^3 \cdot 33mn}{22mn^2 \cdot 4ab^3}$
Сокращаем общие множители 11, m, b^3, a:
$ = -\frac{3 \cdot 11 \cdot a^2 b^3 m n}{2 \cdot 11 \cdot 4 \cdot m n^2 a b^3} = -\frac{3 a^{2-1} b^{3-3} m^{1-1} n^{1-2}}{2 \cdot 4} = -\frac{3a}{8n}$
Ответ: $-\frac{3a}{8n}$

3) Представим выражение $4m^3x$ в виде дроби $\frac{4m^3x}{1}$ и выполним деление.
$\frac{16mx^2}{3y^3} : (4m^3x) = \frac{16mx^2}{3y^3} \cdot \frac{1}{4m^3x} = \frac{16mx^2}{3y^3 \cdot 4m^3x}$
Сокращаем коэффициенты и переменные:
$ = \frac{16 x^{2-1}}{3 \cdot 4 \cdot y^3 m^{3-1}} = \frac{4x}{3y^3m^2}$
Ответ: $\frac{4x}{3m^2y^3}$

4) Выполняем деление дробей, умножая на обратную дробь.
$\frac{35x^2y}{12ab} : \frac{7xy}{8ab^2} = \frac{35x^2y}{12ab} \cdot \frac{8ab^2}{7xy} = \frac{35 \cdot 8 \cdot x^2 \cdot y \cdot a \cdot b^2}{12 \cdot 7 \cdot a \cdot b \cdot x \cdot y}$
Сокращаем общие множители:
$ = \frac{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 4) \cdot x^{2-1} y^{1-1} a^{1-1} b^{2-1}}{(3 \cdot 4) \cdot 7} = \frac{5 \cdot 2 \cdot x \cdot b}{3} = \frac{10bx}{3}$
Ответ: $\frac{10bx}{3}$

5) При делении отрицательной дроби на положительную результат будет отрицательным.
$-\frac{6xy^2}{5ab} : \frac{9x^2y^2}{10ab} = -\frac{6xy^2}{5ab} \cdot \frac{10ab}{9x^2y^2} = -\frac{6 \cdot 10 \cdot x \cdot y^2 \cdot a \cdot b}{5 \cdot 9 \cdot a \cdot b \cdot x^2 \cdot y^2}$
Сокращаем общие множители:
$ = -\frac{(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot x^{1-2} y^{2-2} a^{1-1} b^{1-1}}{5 \cdot (3 \cdot 3)} = -\frac{2 \cdot 2 \cdot x^{-1}}{3} = -\frac{4}{3x}$
Ответ: $-\frac{4}{3x}$

6) Это задача на умножение. Представим первый множитель в виде дроби и перемножим.
$45a^2bx \cdot \frac{b^2}{30x^2a^3} = \frac{45a^2bx}{1} \cdot \frac{b^2}{30x^2a^3} = \frac{45a^2bx \cdot b^2}{30x^2a^3}$
Сокращаем коэффициенты (на 15) и переменные:
$ = \frac{3 \cdot 15 \cdot a^2 \cdot b^{1+2} \cdot x}{2 \cdot 15 \cdot x^2 \cdot a^3} = \frac{3 b^3}{2 a^{3-2} x^{2-1}} = \frac{3b^3}{2ax}$
Ответ: $\frac{3b^3}{2ax}$