Страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.15. Убедитесь, что значение выражения не зависит от допустимых значений переменной:

1) $\frac{(x - 2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x - 2} \cdot \frac{-x}{2 - x}$

2) $\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{3x + 2}{(x - 3)^2} \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$

1)Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей в выражении не могут быть равны нулю:
$3x^4 \neq 0 \implies x \neq 0$
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$2 - x \neq 0 \implies x \neq 2$
Таким образом, выражение определено для всех действительных значений x, кроме $x=0$ и $x=2$.
Теперь упростим данное выражение:
$\frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{-x}{2-x}$
Заметим, что в знаменателе последней дроби $2-x = -(x-2)$. Подставим это в выражение:
$\frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{-x}{-(x-2)} = \frac{(x-2)^2}{3x^4} \cdot \frac{4x^3}{x-2} \cdot \frac{x}{x-2}$
Перемножим числители и знаменатели всех дробей:
$\frac{(x-2)^2 \cdot 4x^3 \cdot x}{3x^4 \cdot (x-2) \cdot (x-2)} = \frac{4x^4(x-2)^2}{3x^4(x-2)^2}$
Сократим общие множители $x^4$ и $(x-2)^2$, что возможно в рамках ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 2$):
$\frac{4\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}}{3\cancel{x^4}\cancel{(x-2)^2}} = \frac{4}{3}$
Полученное значение является константой, следовательно, значение исходного выражения не зависит от допустимых значений переменной.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2)Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной x. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, и делитель при операции деления также не может быть равен нулю.
$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$
$(x - 3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$
$(x - 3)(3x + 2)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$
Делитель $\frac{3x+2}{(x-3)^2}$ не равен нулю, если его числитель $3x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -\frac{2}{3}$.
Итак, ОДЗ: все действительные числа, кроме $x=3$ и $x=-\frac{2}{3}$.
Упростим выражение, выполняя действия последовательно слева направо.
$\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{(3x + 2)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$
1. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{(3x + 2)^3}{x - 3} : \frac{(3x + 2)}{(x - 3)^2} = \frac{(3x + 2)^3}{x - 3} \cdot \frac{(x - 3)^2}{3x + 2} = \frac{(3x + 2)^3 (x - 3)^2}{(x - 3)(3x + 2)}$
Сократим общие множители:
$(3x + 2)^{3-1} \cdot (x - 3)^{2-1} = (3x + 2)^2(x - 3)$
2. Результат умножим на оставшуюся дробь:
$((3x + 2)^2(x - 3)) \cdot \frac{5}{(x - 3)(3x + 2)^2} = \frac{(3x + 2)^2(x - 3) \cdot 5}{(x - 3)(3x + 2)^2}$
Сократим общие множители $(x-3)$ и $(3x+2)^2$, что возможно в рамках ОДЗ:
$\frac{\cancel{(3x+2)^2}\cancel{(x-3)} \cdot 5}{\cancel{(x-3)}\cancel{(3x+2)^2}} = 5$
Полученное значение является константой, следовательно, значение исходного выражения не зависит от допустимых значений переменной.
Ответ: 5.

41.16. Докажите тождество:

1) $\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x + q} \cdot \left(\frac{x}{q} - \frac{q}{x}\right) = \frac{1}{q}$

2) $\frac{1,2a^2 - ac}{0,36a^2 - 0,25c^2} = \frac{20a}{6a + 5c}$

1) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Цель — показать, что она равна правой части, то есть $\frac{1}{q}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xq$:
$\frac{x}{q} - \frac{q}{x} = \frac{x \cdot x}{xq} - \frac{q \cdot q}{xq} = \frac{x^2 - q^2}{xq}$
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть исходного равенства:
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x+q} \cdot \frac{x^2 - q^2}{xq}$
Числитель $x^2 - q^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - q^2 = (x - q)(x + q)$.
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{1}{x+q} \cdot \frac{(x - q)(x + q)}{xq}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+q)$:
$\frac{2x - q}{xq} - \frac{x - q}{xq}$
Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому мы можем их вычесть:
$\frac{(2x - q) - (x - q)}{xq} = \frac{2x - q - x + q}{xq} = \frac{x}{xq}$
Сократим полученную дробь на $x$:
$\frac{x}{xq} = \frac{1}{q}$
Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, стоящее в правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, чтобы она стала равна правой: $\frac{20a}{6a + 5c}$.
Начнем с преобразования числителя и знаменателя левой части.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$1.2a^2 - ac = a(1.2a - c)$
Знаменатель представляет собой разность квадратов, так как $0.36a^2 = (0.6a)^2$ и $0.25c^2 = (0.5c)^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$0.36a^2 - 0.25c^2 = (0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)$
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{a(1.2a - c)}{(0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)}$
Заметим, что выражение в скобках в числителе, $1.2a - c$, можно представить как $2(0.6a - 0.5c)$. Сделаем эту подстановку:
$\frac{a \cdot 2(0.6a - 0.5c)}{(0.6a - 0.5c)(0.6a + 0.5c)}$
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель $(0.6a - 0.5c)$:
$\frac{2a}{0.6a + 0.5c}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{2a \cdot 10}{(0.6a + 0.5c) \cdot 10} = \frac{20a}{10 \cdot 0.6a + 10 \cdot 0.5c} = \frac{20a}{6a + 5c}$
В результате преобразований левая часть стала равна правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

Выполните действия: (41.17–41.18):

41.17. 1) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right);$ 2) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right);$

3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right) : \left(x - \frac{x^2}{x-1}\right);$ 4) $\left(a+b - \frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}\right).$

1) $(a^2 - 1) \cdot \left(\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1\right)$
Сначала упростим выражение во вторых скобках. Для этого приведем все слагаемые к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$, который равен $a^2-1$:
$\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a+1} + 1 = \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{1 \cdot (a^2-1)}{(a^2-1)} = \frac{a+1 - (a-1) + a^2-1}{a^2-1} = \frac{a+1-a+1+a^2-1}{a^2-1} = \frac{a^2+1}{a^2-1}$.
Теперь умножим полученную дробь на первый множитель $(a^2-1)$:
$(a^2-1) \cdot \frac{a^2+1}{a^2-1}$.
Сокращаем общий множитель $(a^2-1)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$:
$\frac{(a^2-1)(a^2+1)}{a^2-1} = a^2+1$.
Ответ: $a^2+1$.

2) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$
Упростим поочередно выражения в каждой из скобок.
Выражение в первой скобке. Общий знаменатель $y(x-y)$:
$\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{y(x-y)} + \frac{2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$.
Выражение во второй скобке. Общий знаменатель $x+y$:
$x - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x(x+y)}{x+y} - \frac{x^2+y^2}{x+y} = \frac{x^2+xy-(x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Сокращаем одинаковые множители в числителях и знаменателях: $(x+y)$, $y$ и $(x-y)$. В результате все сокращается:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$.
Ответ: $1$.

3) $\left(x+1-\frac{1}{1-x}\right) : \left(x-\frac{x^2}{x-1}\right)$
Сначала упростим выражение в первых скобках (делимое). Заметим, что $-\frac{1}{1-x} = \frac{1}{-(1-x)} = \frac{1}{x-1}$.
$x+1-\frac{1}{1-x} = x+1+\frac{1}{x-1}$.
Приведем к общему знаменателю $(x-1)$:
$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = \frac{x^2-1+1}{x-1} = \frac{x^2}{x-1}$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках (делитель). Общий знаменатель $(x-1)$:
$x-\frac{x^2}{x-1} = \frac{x(x-1)}{x-1} - \frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2-x-x^2}{x-1} = \frac{-x}{x-1}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{x^2}{x-1} : \frac{-x}{x-1} = \frac{x^2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{-x}$.
Сокращаем общие множители $(x-1)$ и $x$:
$\frac{x^2 \cdot (x-1)}{(x-1) \cdot (-x)} = \frac{x}{-1} = -x$.
Ответ: $-x$.

4) $\left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a}\right)$
Упростим делимое (выражение в первой скобке). Общий знаменатель $(a+b)$:
$a+b-\frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{a+b} - \frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$.
Теперь упростим делитель (выражение во второй скобке). Общий знаменатель $a(a+b)$:
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b}{a} = \frac{a(a-b)}{a(a+b)} + \frac{b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$.
Сокращаем общие множители $(a+b)$ и $(a^2+b^2)$:
$\frac{(a^2+b^2) \cdot a \cdot (a+b)}{(a+b) \cdot (a^2+b^2)} = a$.
Ответ: $a$.

41.18.

1) $ \left( \frac{a - 1}{3a + (a - 1)^2} - \frac{1 - 3a + a^2}{a^3 - 1} - \frac{1}{a - 1} \right) : \frac{a^2 + 1}{1 - a} $

2) $ \left( \frac{1}{n + 1} - \frac{3}{n^3 + 1} + \frac{3}{n^2 - n + 1} \right) \cdot \left( n - \frac{2n - 1}{n + 1} \right) $

1)

Данное выражение: $(\frac{a-1}{3a + (a-1)^2} - \frac{1-3a+a^2}{a^3-1} - \frac{1}{a-1}) : \frac{a^2+1}{1-a}$.

Решим его по действиям.

1. Сначала упростим знаменатели в первой скобке.

Первый знаменатель: $3a + (a-1)^2 = 3a + (a^2 - 2a + 1) = a^2 + a + 1$.

Второй знаменатель: $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$ (по формуле разности кубов).

Выражение в скобках примет вид:

$\frac{a-1}{a^2+a+1} - \frac{1-3a+a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1}{a-1}$

2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a-1)(a^2+a+1)$.

$\frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-3a+a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

3. Объединим дроби, выполнив действия с числителями.

$\frac{(a-1)^2 - (1-3a+a^2) - (a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2 - 2a + 1 - 1 + 3a - a^2 - a^2 - a - 1}{(a-1)(a^2+a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - a^2 - a^2) + (-2a + 3a - a) + (1 - 1 - 1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-a^2 - 1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{-(a^2+1)}{a^3-1}$

4. Выполним деление.

$\frac{-(a^2+1)}{a^3-1} : \frac{a^2+1}{1-a}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь. Учтем, что $1-a = -(a-1)$ и $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

$\frac{-(a^2+1)}{(a-1)(a^2+a+1)} \cdot \frac{-(a-1)}{a^2+1}$

5. Сократим полученное выражение.

$\frac{(-1) \cdot (a^2+1) \cdot (-1) \cdot (a-1)}{(a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2+1)} = \frac{1 \cdot (a^2+1) \cdot (a-1)}{(a-1) \cdot (a^2+a+1) \cdot (a^2+1)}$

Сокращаем общие множители $(a-1)$ и $(a^2+1)$:

$\frac{1}{a^2+a+1}$

Ответ: $\frac{1}{a^2+a+1}$

2)

Данное выражение: $(\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}) \cdot (n - \frac{2n-1}{n+1})$.

Решим его по действиям, упрощая каждую скобку.

1. Упростим первую скобку: $\frac{1}{n+1} - \frac{3}{n^3+1} + \frac{3}{n^2-n+1}$.

Используем формулу суммы кубов для знаменателя второй дроби: $n^3+1 = (n+1)(n^2-n+1)$.

Общим знаменателем будет $(n+1)(n^2-n+1)$. Приведем все дроби к нему:

$\frac{1 \cdot (n^2-n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} - \frac{3}{(n+1)(n^2-n+1)} + \frac{3 \cdot (n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(n^2-n+1) - 3 + 3(n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n^2-n+1-3+3n+3}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n^2-n+1)}$

Числитель является полным квадратом: $n^2+2n+1 = (n+1)^2$.

$\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n^2-n+1)} = \frac{n+1}{n^2-n+1}$

2. Упростим вторую скобку: $n - \frac{2n-1}{n+1}$.

Приведем к общему знаменателю $n+1$:

$\frac{n(n+1)}{n+1} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{n^2+n-(2n-1)}{n+1} = \frac{n^2+n-2n+1}{n+1} = \frac{n^2-n+1}{n+1}$

3. Перемножим результаты упрощения обеих скобок.

$\frac{n+1}{n^2-n+1} \cdot \frac{n^2-n+1}{n+1}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{n+1}}{\cancel{n^2-n+1}} \cdot \frac{\cancel{n^2-n+1}}{\cancel{n+1}} = 1$

Ответ: $1$

41.19. Упростите выражение:

1) $(\left(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}\right) : \left(\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2}\right);$

2) $\frac{4xy}{y^2-x^2} : \left(\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right);$

3) $\left(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right) : \left(\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a}\right);$

4) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}\right) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2};$

5) $\frac{4.5a+4x}{0.81a^2-0.64x^2} - \frac{50}{9a-8x} + \frac{1}{ax}.$

1) Сначала упростим выражение в первых скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2 + 2an + n^2 = (a+n)^2$.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2(a+n)}{(a+n)^2} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3 + a^2n - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $a^2 - n^2 = (a-n)(a+n)$.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a(a-n)}{(a-n)(a+n)} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2 - an - a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an}$.

Сокращаем общие множители:

$\frac{a(a-n)}{-(a+n)} = \frac{a^2-an}{-(a+n)} = \frac{an-a^2}{a+n}$.

Ответ: $\frac{an-a^2}{a+n}$.

2) Упростим выражение в скобках. Используем формулы сокращенного умножения: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$ и $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

$\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{y+x}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$.

Сокращаем общие множители:

$\frac{4x}{1} \cdot \frac{y+x}{2} = 2x(y+x)$.

Ответ: $2x(x+y)$.

3) Упростим выражение в первых скобках. Знаменатель второй дроби: $4a^2 + 4ab + b^2 = (2a+b)^2$.

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2 + 2ab - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$.

Упростим выражение во вторых скобках. $4a^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)$ и $b - 2a = -(2a - b)$.

$\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{-(2a-b)} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - 2a - b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$.

Выполним деление:

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}$.

Сокращаем:

$\frac{2a(2a-b)}{-(2a+b)} = \frac{4a^2-2ab}{-(2a+b)} = \frac{2ab-4a^2}{2a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab-4a^2}{2a+b}$.

4) Выполняем действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2+2xy=x(x+2y)$ и $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$.

$\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)(x-2y)}{x(x-2y)(x+2y)} - \frac{x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)}$.

Теперь выполним деление. Заметим, что $(2y-x)^2 = (x-2y)^2$.

$\frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} : \frac{x+2y}{(x-2y)^2} = \frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.

Наконец, выполним умножение:

$\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$.

Сокращаем $(x+2y)^2$:

$\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

Ответ: $\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

5) Упростим первую дробь. Знаменатель является разностью квадратов: $0,81a^2 - 0,64x^2 = (0,9a)^2 - (0,8x)^2 = (0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)$.

В числителе вынесем общий множитель 5: $4,5a + 4x = 5(0,9a + 0,8x)$.

Тогда первая дробь равна: $\frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)} = \frac{5}{0,9a - 0,8x}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{5 \cdot 10}{(0,9a - 0,8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x}$.

Теперь подставим упрощенную дробь в исходное выражение:

$\frac{50}{9a - 8x} - \frac{50}{9a - 8x} + \frac{1}{ax}$.

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$0 + \frac{1}{ax} = \frac{1}{ax}$.

Ответ: $\frac{1}{ax}$.