Номер 41.19, страница 264 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.19. Упростите выражение:

1) $(\left(\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{a^2+n^2+2an}\right) : \left(\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{a^2-n^2}\right);$

2) $\frac{4xy}{y^2-x^2} : \left(\frac{1}{y^2-x^2} + \frac{1}{x^2+2xy+y^2}\right);$

3) $\left(\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right) : \left(\frac{2a}{4a^2-b^2} + \frac{1}{b-2a}\right);$

4) $\left(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}\right) : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2};$

5) $\frac{4.5a+4x}{0.81a^2-0.64x^2} - \frac{50}{9a-8x} + \frac{1}{ax}.$

1) Сначала упростим выражение в первых скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2 + 2an + n^2 = (a+n)^2$.

$\frac{a^2}{a+n} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2(a+n)}{(a+n)^2} - \frac{a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^3 + a^2n - a^3}{(a+n)^2} = \frac{a^2n}{(a+n)^2}$.

Теперь упростим выражение во вторых скобках. Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $a^2 - n^2 = (a-n)(a+n)$.

$\frac{a}{a+n} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a(a-n)}{(a-n)(a+n)} - \frac{a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2 - an - a^2}{(a-n)(a+n)} = \frac{-an}{(a-n)(a+n)}$.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$\frac{a^2n}{(a+n)^2} : \frac{-an}{(a-n)(a+n)} = \frac{a^2n}{(a+n)^2} \cdot \frac{(a-n)(a+n)}{-an}$.

Сокращаем общие множители:

$\frac{a(a-n)}{-(a+n)} = \frac{a^2-an}{-(a+n)} = \frac{an-a^2}{a+n}$.

Ответ: $\frac{an-a^2}{a+n}$.

2) Упростим выражение в скобках. Используем формулы сокращенного умножения: $y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$ и $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.

$\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{y+x}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$.

Сокращаем общие множители:

$\frac{4x}{1} \cdot \frac{y+x}{2} = 2x(y+x)$.

Ответ: $2x(x+y)$.

3) Упростим выражение в первых скобках. Знаменатель второй дроби: $4a^2 + 4ab + b^2 = (2a+b)^2$.

$\frac{2a}{2a+b} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2a(2a+b)}{(2a+b)^2} - \frac{4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{4a^2 + 2ab - 4a^2}{(2a+b)^2} = \frac{2ab}{(2a+b)^2}$.

Упростим выражение во вторых скобках. $4a^2 - b^2 = (2a-b)(2a+b)$ и $b - 2a = -(2a - b)$.

$\frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{-(2a-b)} = \frac{2a}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{1(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a - 2a - b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)}$.

Выполним деление:

$\frac{2ab}{(2a+b)^2} : \frac{-b}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{2ab}{(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a-b)(2a+b)}{-b}$.

Сокращаем:

$\frac{2a(2a-b)}{-(2a+b)} = \frac{4a^2-2ab}{-(2a+b)} = \frac{2ab-4a^2}{2a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab-4a^2}{2a+b}$.

4) Выполняем действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2+2xy=x(x+2y)$ и $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$.

$\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)(x-2y)}{x(x-2y)(x+2y)} - \frac{x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{(x-2y)^2 - x}{x(x-2y)(x+2y)} = \frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)}$.

Теперь выполним деление. Заметим, что $(2y-x)^2 = (x-2y)^2$.

$\frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} : \frac{x+2y}{(x-2y)^2} = \frac{x^2-4xy+4y^2-x}{x(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2}$.

Наконец, выполним умножение:

$\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$.

Сокращаем $(x+2y)^2$:

$\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

Ответ: $\frac{(x^2-4xy+4y^2-x)(x-2y)}{4xy^2}$.

5) Упростим первую дробь. Знаменатель является разностью квадратов: $0,81a^2 - 0,64x^2 = (0,9a)^2 - (0,8x)^2 = (0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)$.

В числителе вынесем общий множитель 5: $4,5a + 4x = 5(0,9a + 0,8x)$.

Тогда первая дробь равна: $\frac{5(0,9a + 0,8x)}{(0,9a - 0,8x)(0,9a + 0,8x)} = \frac{5}{0,9a - 0,8x}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$\frac{5 \cdot 10}{(0,9a - 0,8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x}$.

Теперь подставим упрощенную дробь в исходное выражение:

$\frac{50}{9a - 8x} - \frac{50}{9a - 8x} + \frac{1}{ax}$.

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются:

$0 + \frac{1}{ax} = \frac{1}{ax}$.

Ответ: $\frac{1}{ax}$.