Номер 41.24, страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.24. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных от а и с не зависит значение выражения:

1) $\left(\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a+c}\right);$

2) $3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $ \left(\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a+c}\right) $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $a-c \neq 0$, $a^3-c^3 \neq 0$, $a^2+ac+c^2 \neq 0$ и $a+c \neq 0$. Это сводится к $a \neq c$ и $a \neq -c$.
1. Упростим выражение в первых скобках. Используем формулу разности кубов $a^3-c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$. Общий знаменатель для дробей в скобках — это $a^3-c^3$.
$ \frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2} = \frac{1 \cdot (a^2+ac+c^2)}{a^3-c^3} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c \cdot (a-c)}{a^3-c^3} $
$ = \frac{(a^2+ac+c^2) - 3c^2 - (ac-c^2)}{a^3-c^3} = \frac{a^2+ac+c^2-3c^2-ac+c^2}{a^3-c^3} = \frac{a^2-c^2}{a^3-c^3} $.
2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $a+c$.
$ c + \frac{a^2}{a+c} = \frac{c(a+c)}{a+c} + \frac{a^2}{a+c} = \frac{ac+c^2+a^2}{a+c} = \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
3. Перемножим результаты шагов 1 и 2.
$ \frac{a^2-c^2}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$, а знаменатель по формуле разности кубов.
$ \frac{(a-c)(a+c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Сократим общие множители, учитывая ОДЗ.
$ \frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(a+c)}}{\cancel{(a-c)}\cancel{(a^2+ac+c^2)}} \cdot \frac{\cancel{a^2+ac+c^2}}{\cancel{a+c}} = 1 $.
Полученное значение равно 1, оно является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $ 3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2} $.
ОДЗ: $a-c \neq 0$, $a^3-c^3 \neq 0$, $a+c \neq 0$, $a^2-c^2 \neq 0$. Все эти условия сводятся к $a \neq c$ и $a \neq -c$.
Будем упрощать выражение по действиям.
1. Выполним умножение дробей внутри скобок.
$ \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Сократим $a^2+ac+c^2$ (этот множитель не равен нулю при $a, c$ не равных нулю одновременно).
$ \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{c}{a^2-c^2} $.
2. Выполним вычитание в скобках.
$ \frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{1 \cdot (a+c)}{(a-c)(a+c)} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{a+c-c}{a^2-c^2} = \frac{a}{a^2-c^2} $.
3. Умножим результат на $3a$.
$ 3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2} $.
4. Выполним последнее вычитание.
$ \frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} $.
Так как $a^2-c^2 \neq 0$ по ОДЗ, мы можем сократить дробь.
$ \frac{3\cancel{(a^2-c^2)}}{\cancel{a^2-c^2}} = 3 $.
Полученное значение равно 3, оно является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.
Ответ: 3.