Страница 265 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.20. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$ при $x = -1,5$;

2) $\left(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9} - \frac{3y+9}{y^2-9}\right) \cdot \left(1-\frac{3}{y}\right)$ при $y = -3,6.$

1)

Для вычисления значения выражения $\frac{x+2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$ при $x = -1,5$, сначала упростим его. Для этого разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов) и вынесение общего множителя.

Знаменатель первой дроби: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Числитель второй дроби: $3x - 3 = 3(x-1)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} - \frac{3}{x-2}$

Выполним умножение и сократим общие множители:

$\frac{\sout{x+2}}{(x-1)^{\sout{2}}} \cdot \frac{3(\sout{x-1})}{(x-2)(\sout{x+2})} - \frac{3}{x-2} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$ и выполним вычитание:

$\frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 (или -3) за скобки и сократим дробь:

$\frac{3(2-x)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3}{x-1}$

Теперь подставим значение $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{-3}{-1,5 - 1} = \frac{-3}{-2,5} = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: 1,2

2)

Для вычисления значения выражения $(\frac{y^2-3y}{y^2-6y+9} - \frac{3y+9}{y^2-9}) \cdot (1-\frac{3}{y})$ при $y = -3,6$, сначала упростим его, выполнив действия в скобках.

Упростим выражение в первой скобке. Разложим числители и знаменатели на множители:

$y^2 - 3y = y(y-3)$

$y^2 - 6y + 9 = (y-3)^2$

$3y + 9 = 3(y+3)$

$y^2 - 9 = (y-3)(y+3)$

Подставим и сократим дроби:

$\frac{y(y-3)}{(y-3)^2} - \frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{y}{y-3} - \frac{3}{y-3}$

Выполним вычитание:

$\frac{y-3}{y-3} = 1$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю:

$1 - \frac{3}{y} = \frac{y}{y} - \frac{3}{y} = \frac{y-3}{y}$

Теперь перемножим результаты упрощения обеих скобок:

$1 \cdot \frac{y-3}{y} = \frac{y-3}{y}$

Подставим значение $y = -3,6$ в полученное выражение:

$\frac{-3,6 - 3}{-3,6} = \frac{-6,6}{-3,6} = \frac{6,6}{3,6} = \frac{66}{36}$

Сократим дробь на 6:

$\frac{66}{36} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$

41.21. Найдите x и y из тождества:

1) $\frac{1}{a^2 + 2a - 8} = \frac{x}{a + 4} + \frac{y}{a - 2};$

2) $\frac{1}{a^2 - 5a + 6} = \frac{x}{a - 3} + \frac{y}{a - 2};$

3) $\frac{1}{a^2 - 2a - 8} = \frac{x}{a - 4} + \frac{y}{a + 2};$

4) $\frac{1}{2a^2 - 5a + 3} = \frac{x}{a - 1} + \frac{y}{2a - 3}.$

1) Чтобы найти $x$ и $y$, представим дробь в левой части в виде суммы дробей, как в правой части. Этот метод называется разложением на простейшие дроби. Сначала разложим знаменатель левой части на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $a^2 + 2a - 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-8$. Корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$. Таким образом, $a^2 + 2a - 8 = (a-2)(a+4)$.
Исходное тождество можно переписать в виде:
$\frac{1}{(a+4)(a-2)} = \frac{x}{a+4} + \frac{y}{a-2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(a+4)(a-2)$:
$\frac{x}{a+4} + \frac{y}{a-2} = \frac{x(a-2) + y(a+4)}{(a+4)(a-2)}$
Так как знаменатели в обеих частях тождества равны, то должны быть равны и числители:
$1 = x(a-2) + y(a+4)$
Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $a$. Мы можем использовать это, подставив удобные значения $a$, чтобы найти $x$ и $y$. Удобнее всего подставлять корни знаменателя.
Подставим $a = 2$:
$1 = x(2 - 2) + y(2 + 4)$
$1 = x \cdot 0 + y \cdot 6$
$1 = 6y \implies y = \frac{1}{6}$
Подставим $a = -4$:
$1 = x(-4 - 2) + y(-4 + 4)$
$1 = x \cdot (-6) + y \cdot 0$
$1 = -6x \implies x = -\frac{1}{6}$
Ответ: $x = -\frac{1}{6}, y = \frac{1}{6}$.

2) Разложим на множители знаменатель левой части: $a^2 - 5a + 6$. Корни уравнения $a^2 - 5a + 6 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 2$, $a_2 = 3$. Следовательно, $a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-3)(a-2)} = \frac{x}{a-3} + \frac{y}{a-2}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(a-2) + y(a-3)}{(a-3)(a-2)}$
Приравняем числители:
$1 = x(a-2) + y(a-3)$
Подставим $a=3$:
$1 = x(3-2) + y(3-3) \implies 1 = x \cdot 1 + y \cdot 0 \implies x=1$
Подставим $a=2$:
$1 = x(2-2) + y(2-3) \implies 1 = x \cdot 0 + y \cdot (-1) \implies 1 = -y \implies y=-1$
Ответ: $x=1, y=-1$.

3) Разложим на множители знаменатель $a^2 - 2a - 8$. Корни уравнения $a^2 - 2a - 8 = 0$ по теореме Виета: $a_1 = 4$, $a_2 = -2$. Следовательно, $a^2 - 2a - 8 = (a-4)(a+2)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-4)(a+2)} = \frac{x}{a-4} + \frac{y}{a+2}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(a+2) + y(a-4)}{(a-4)(a+2)}$
Приравняем числители:
$1 = x(a+2) + y(a-4)$
Подставим $a=4$:
$1 = x(4+2) + y(4-4) \implies 1 = 6x \implies x=\frac{1}{6}$
Подставим $a=-2$:
$1 = x(-2+2) + y(-2-4) \implies 1 = -6y \implies y=-\frac{1}{6}$
Ответ: $x=\frac{1}{6}, y=-\frac{1}{6}$.

4) Разложим на множители знаменатель $2a^2 - 5a + 3$. Решим уравнение $2a^2 - 5a + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$. Корни: $a_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$, $a_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Следовательно, $2a^2 - 5a + 3 = 2(a-1)(a-\frac{3}{2}) = (a-1)(2a-3)$.
Тождество принимает вид:
$\frac{1}{(a-1)(2a-3)} = \frac{x}{a-1} + \frac{y}{2a-3}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{x(2a-3) + y(a-1)}{(a-1)(2a-3)}$
Приравняем числители:
$1 = x(2a-3) + y(a-1)$
Подставим $a=1$:
$1 = x(2 \cdot 1 - 3) + y(1-1) \implies 1 = x(-1) \implies x=-1$
Подставим $a=\frac{3}{2}$:
$1 = x(2 \cdot \frac{3}{2} - 3) + y(\frac{3}{2} - 1) \implies 1 = x(0) + y(\frac{1}{2}) \implies 1 = \frac{1}{2}y \implies y=2$
Ответ: $x=-1, y=2$.

41.22. Если $a + c = 4$ и $ac = 2$, то найдите значение выражения

$(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c})^4 + (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}) \cdot \frac{1}{2ac}$

Для нахождения значения выражения, мы будем упрощать его по частям, используя данные нам значения $a+c=4$ и $ac=2$.

Исходное выражение:

$ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 + \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $

1. Упростим первое слагаемое: $ \left(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2c}\right)^4 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{2c} = \frac{c}{2ac} + \frac{a}{2ac} = \frac{a+c}{2ac} $

Теперь подставим известные значения $a+c=4$ и $ac=2$ в полученное выражение:

$ \frac{a+c}{2ac} = \frac{4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 $

Таким образом, первое слагаемое равно:

$ (1)^4 = 1 $

2. Упростим второе слагаемое: $ \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2}\right) \cdot \frac{1}{2ac} $

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю:

$ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{c^2}{a^2c^2} + \frac{a^2}{a^2c^2} = \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} $

Чтобы найти значение $a^2+c^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+c)^2 = a^2+2ac+c^2$. Отсюда выразим $a^2+c^2$:

$ a^2+c^2 = (a+c)^2 - 2ac $

Подставим известные значения $a+c=4$ и $ac=2$:

$ a^2+c^2 = (4)^2 - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12 $

Теперь подставим найденное значение $a^2+c^2=12$ и известное $ac=2$ в выражение для суммы дробей:

$ \frac{a^2+c^2}{(ac)^2} = \frac{12}{2^2} = \frac{12}{4} = 3 $

Теперь мы можем вычислить все второе слагаемое:

$ 3 \cdot \frac{1}{2ac} = 3 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} $

3. Найдем сумму результатов

Сложим значения первого и второго слагаемых:

$ 1 + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} $

Значение выражения можно также представить в виде десятичной дроби: $1.75$.

Ответ: $ \frac{7}{4} $

41.23. Решите уравнение:

1) $(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} \cdot x = 1;$

2) $\frac{c}{a - c} - \frac{a^3 - ac^2}{a^2 + c^2} \cdot (\frac{a}{(a - c)^2} - \frac{c}{a^2 - c^2}) = 2x.$

1) Исходное уравнение: $(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a-b}{2a+2b}) \cdot \frac{2a}{a+b} + \frac{b}{b-a} \cdot x = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $a^2 - b^2 \neq 0$ и $2a + 2b \neq 0$ и $a+b \neq 0$ и $b-a \neq 0$. Все эти условия сводятся к двум: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя дроби к общему знаменателю.Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель $2a+2b = 2(a+b)$. Общий знаменатель будет $2(a-b)(a+b)$.
$\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} + \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{2 \cdot 2ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}$.
Сократим дробь на $(a+b)$, так как по ОДЗ $a+b \neq 0$:
$\frac{a+b}{2(a-b)}$.
Теперь умножим результат на второй множитель $\frac{2a}{a+b}$:
$\frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} = \frac{(a+b) \cdot 2a}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a-b}$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{a}{a-b} + \frac{b}{b-a} \cdot x = 1$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$, поэтому $\frac{b}{b-a} = -\frac{b}{a-b}$.
Подставим это в уравнение:
$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} x = 1$
$\frac{a-bx}{a-b} = 1$
Поскольку $a-b \neq 0$, умножим обе части на $(a-b)$:
$a-bx = a-b$
$-bx = -b$
$bx = b$
Теперь проанализируем полученное уравнение относительно параметра $b$:
1. Если $b \neq 0$, то мы можем разделить обе части на $b$ и получить $x=1$.
2. Если $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого числа $x$. При этом ОДЗ $a \neq \pm b$ превращается в $a \neq 0$.
Ответ: если $b \neq 0$ и $a \neq \pm b$, то $x=1$; если $b=0$ и $a \neq 0$, то $x$ — любое число. При $a = \pm b$ уравнение не определено (теряет смысл).

2) Исходное уравнение: $\frac{c}{a-c} - \frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2} \cdot (\frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{a^2-c^2}) = 2x$.
ОДЗ: $a-c \neq 0$, $a^2+c^2 \neq 0$, $(a-c)^2 \neq 0$, $a^2-c^2 \neq 0$. Эти условия сводятся к $a \neq c$ и $a \neq -c$. (Условие $a^2+c^2 \neq 0$ для действительных $a, c$ выполняется всегда, кроме случая $a=c=0$, который невозможен из-за $a \neq c$).
Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-c)^2(a+c)$:
$\frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{a}{(a-c)^2} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a(a+c) - c(a-c)}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+ac-ac+c^2}{(a-c)^2(a+c)} = \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$.
Теперь упростим множитель перед скобками:
$\frac{a^3-ac^2}{a^2+c^2} = \frac{a(a^2-c^2)}{a^2+c^2} = \frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2}$.
Перемножим упрощенные части:
$\frac{a(a-c)(a+c)}{a^2+c^2} \cdot \frac{a^2+c^2}{(a-c)^2(a+c)}$.
Сокращаем общие множители $(a^2+c^2)$, $(a+c)$ и $(a-c)$ (учитывая ОДЗ):
$\frac{a \cdot (a-c) \cdot (a+c) \cdot (a^2+c^2)}{(a^2+c^2) \cdot (a-c)^2 \cdot (a+c)} = \frac{a}{a-c}$.
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$\frac{c}{a-c} - \frac{a}{a-c} = 2x$
$\frac{c-a}{a-c} = 2x$
$\frac{-(a-c)}{a-c} = 2x$
$-1 = 2x$
Отсюда находим $x$:
$x = -\frac{1}{2}$.
Это решение справедливо при выполнении условий ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$ при $a \neq \pm c$. При $a = \pm c$ уравнение не определено (теряет смысл).

41.24. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных от а и с не зависит значение выражения:

1) $\left(\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a+c}\right);$

2) $3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2}.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $ \left(\frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2}\right) \cdot \left(c + \frac{a^2}{a+c}\right) $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $a-c \neq 0$, $a^3-c^3 \neq 0$, $a^2+ac+c^2 \neq 0$ и $a+c \neq 0$. Это сводится к $a \neq c$ и $a \neq -c$.
1. Упростим выражение в первых скобках. Используем формулу разности кубов $a^3-c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$. Общий знаменатель для дробей в скобках — это $a^3-c^3$.
$ \frac{1}{a-c} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c}{a^2+ac+c^2} = \frac{1 \cdot (a^2+ac+c^2)}{a^3-c^3} - \frac{3c^2}{a^3-c^3} - \frac{c \cdot (a-c)}{a^3-c^3} $
$ = \frac{(a^2+ac+c^2) - 3c^2 - (ac-c^2)}{a^3-c^3} = \frac{a^2+ac+c^2-3c^2-ac+c^2}{a^3-c^3} = \frac{a^2-c^2}{a^3-c^3} $.
2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $a+c$.
$ c + \frac{a^2}{a+c} = \frac{c(a+c)}{a+c} + \frac{a^2}{a+c} = \frac{ac+c^2+a^2}{a+c} = \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
3. Перемножим результаты шагов 1 и 2.
$ \frac{a^2-c^2}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-c^2=(a-c)(a+c)$, а знаменатель по формуле разности кубов.
$ \frac{(a-c)(a+c)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Сократим общие множители, учитывая ОДЗ.
$ \frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(a+c)}}{\cancel{(a-c)}\cancel{(a^2+ac+c^2)}} \cdot \frac{\cancel{a^2+ac+c^2}}{\cancel{a+c}} = 1 $.
Полученное значение равно 1, оно является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.
Ответ: 1.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $c$, необходимо его упростить.
Исходное выражение: $ 3a \cdot \left(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c}\right) - \frac{3c^2}{a^2-c^2} $.
ОДЗ: $a-c \neq 0$, $a^3-c^3 \neq 0$, $a+c \neq 0$, $a^2-c^2 \neq 0$. Все эти условия сводятся к $a \neq c$ и $a \neq -c$.
Будем упрощать выражение по действиям.
1. Выполним умножение дробей внутри скобок.
$ \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} $.
Сократим $a^2+ac+c^2$ (этот множитель не равен нулю при $a, c$ не равных нулю одновременно).
$ \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{c}{a^2-c^2} $.
2. Выполним вычитание в скобках.
$ \frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{1 \cdot (a+c)}{(a-c)(a+c)} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{a+c-c}{a^2-c^2} = \frac{a}{a^2-c^2} $.
3. Умножим результат на $3a$.
$ 3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2} $.
4. Выполним последнее вычитание.
$ \frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} $.
Так как $a^2-c^2 \neq 0$ по ОДЗ, мы можем сократить дробь.
$ \frac{3\cancel{(a^2-c^2)}}{\cancel{a^2-c^2}} = 3 $.
Полученное значение равно 3, оно является константой и не зависит от значений переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать.
Ответ: 3.