Страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Для каких значений переменной у является тождеством равенство:

1)

$(5a - y)^2 = 25a^2 - 2ac + 0.04c^2;$

2)

$(0.5a + y)^2 = 0.25a^2 + 6ab + 36b^2;$

3)

$(y - 5c)^2 = 0.64a^2 - 8ac + 25c^2;$

4)

$(1.4a + y)^2 = 1.96a^2 + 16.8ab + 36b^2?$

1) Чтобы равенство $(5a - y)^2 = 25a^2 - 2ac + 0,04c^2$ было тождеством, правая часть должна быть полным квадратом, соответствующим левой части. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.
Рассмотрим правую часть равенства: $25a^2 - 2ac + 0,04c^2$.
Здесь первый член $25a^2 = (5a)^2$, а третий член $0,04c^2 = (0,2c)^2$.
Проверим, соответствует ли средний член $-2ac$ удвоенному произведению $5a$ и $0,2c$:
$-2 \cdot (5a) \cdot (0,2c) = -10a \cdot 0,2c = -2ac$.
Соответствие полное. Таким образом, правая часть является квадратом разности $(5a - 0,2c)^2$.
Получаем тождество: $(5a - y)^2 = (5a - 0,2c)^2$.
Сравнивая выражения в скобках, находим, что $y = 0,2c$.
Ответ: $y = 0,2c$.

2) Рассмотрим равенство $(0,5a + y)^2 = 0,25a^2 + 6ab + 36b^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.
Преобразуем правую часть: $0,25a^2 + 6ab + 36b^2$.
Первый член $0,25a^2 = (0,5a)^2$, а третий член $36b^2 = (6b)^2$.
Проверим средний член $6ab$:
$2 \cdot (0,5a) \cdot (6b) = 1a \cdot 6b = 6ab$.
Правая часть является квадратом суммы $(0,5a + 6b)^2$.
Получаем тождество: $(0,5a + y)^2 = (0,5a + 6b)^2$.
Сравнивая выражения, находим, что $y = 6b$.
Ответ: $y = 6b$.

3) Рассмотрим равенство $(y - 5c)^2 = 0,64a^2 - 8ac + 25c^2$. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$.
Преобразуем правую часть: $0,64a^2 - 8ac + 25c^2$.
Первый член $0,64a^2 = (0,8a)^2$, а третий член $25c^2 = (5c)^2$.
Проверим средний член $-8ac$:
$-2 \cdot (0,8a) \cdot (5c) = -1,6a \cdot 5c = -8ac$.
Правая часть является квадратом разности $(0,8a - 5c)^2$.
Получаем тождество: $(y - 5c)^2 = (0,8a - 5c)^2$.
Сравнивая выражения, находим, что $y = 0,8a$.
Ответ: $y = 0,8a$.

4) Рассмотрим равенство $(1,4a + y)^2 = 1,96a^2 + 16,8ab + 36b^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x + z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.
Преобразуем правую часть: $1,96a^2 + 16,8ab + 36b^2$.
Первый член $1,96a^2 = (1,4a)^2$, а третий член $36b^2 = (6b)^2$.
Проверим средний член $16,8ab$:
$2 \cdot (1,4a) \cdot (6b) = 2,8a \cdot 6b = 16,8ab$.
Правая часть является квадратом суммы $(1,4a + 6b)^2$.
Получаем тождество: $(1,4a + y)^2 = (1,4a + 6b)^2$.
Сравнивая выражения, находим, что $y = 6b$.
Ответ: $y = 6b$.

15. Докажите, что при любых значениях переменной от них не зависит значение выражения:

1) $(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9);$

2) $(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1);$

3) $(10x^2 - 3)(9x^2 - 2) - 3x^2(30x^2 + 17) + 98x^2;$

4) $(4cd^3 - 7)^2 + 4cd^3(14 - 4cd^3).$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, нужно упростить его. Если в результате получится число, то утверждение доказано.

1) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в выражении $(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9)$.
$(8ac - 4)(ac + 5) - 4ac(2ac + 9) = (8ac \cdot ac + 8ac \cdot 5 - 4 \cdot ac - 4 \cdot 5) - (4ac \cdot 2ac + 4ac \cdot 9) = (8a^2c^2 + 40ac - 4ac - 20) - (8a^2c^2 + 36ac) = 8a^2c^2 + 36ac - 20 - 8a^2c^2 - 36ac$.
Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:
$(8a^2c^2 - 8a^2c^2) + (36ac - 36ac) - 20 = 0 + 0 - 20 = -20$.
Значение выражения равно -20, следовательно, оно не зависит от значений переменных $a$ и $c$.
Ответ: -20.

2) Упростим выражение $(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1)$.
$(15mn - 7)(12mn + 8) - 36mn(5mn + 1) = (15mn \cdot 12mn + 15mn \cdot 8 - 7 \cdot 12mn - 7 \cdot 8) - (36mn \cdot 5mn + 36mn \cdot 1) = (180m^2n^2 + 120mn - 84mn - 56) - (180m^2n^2 + 36mn) = 180m^2n^2 + 36mn - 56 - 180m^2n^2 - 36mn$.
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(180m^2n^2 - 180m^2n^2) + (36mn - 36mn) - 56 = 0 + 0 - 56 = -56$.
Значение выражения равно -56, оно не зависит от значений переменных $m$ и $n$.
Ответ: -56.

3) Упростим выражение $(10x^2 - 3)(9x^2 - 2) - 3x^2(30x^2 + 17) + 98x^2$.
$(10x^2 \cdot 9x^2 + 10x^2 \cdot (-2) - 3 \cdot 9x^2 - 3 \cdot (-2)) - (3x^2 \cdot 30x^2 + 3x^2 \cdot 17) + 98x^2 = (90x^4 - 20x^2 - 27x^2 + 6) - (90x^4 + 51x^2) + 98x^2 = 90x^4 - 47x^2 + 6 - 90x^4 - 51x^2 + 98x^2$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(90x^4 - 90x^4) + (-47x^2 - 51x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + (-98x^2 + 98x^2) + 6 = 0 + 0 + 6 = 6$.
Значение выражения равно 6, оно не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: 6.

4) Упростим выражение $(4cd^3 - 7)^2 + 4cd^3(14 - 4cd^3)$.
Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4cd^3)^2 - 2 \cdot 4cd^3 \cdot 7 + 7^2 = 16c^2d^6 - 56cd^3 + 49$.
Теперь раскроем вторые скобки:
$4cd^3(14 - 4cd^3) = 4cd^3 \cdot 14 - 4cd^3 \cdot 4cd^3 = 56cd^3 - 16c^2d^6$.
Сложим полученные результаты:
$(16c^2d^6 - 56cd^3 + 49) + (56cd^3 - 16c^2d^6) = 16c^2d^6 - 56cd^3 + 49 + 56cd^3 - 16c^2d^6$.
Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:
$(16c^2d^6 - 16c^2d^6) + (-56cd^3 + 56cd^3) + 49 = 0 + 0 + 49 = 49$.
Значение выражения равно 49, оно не зависит от значений переменных $c$ и $d$.
Ответ: 49.

16. Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения равно нулю:

1) $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$;

2) $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1).

1) Упростим данное выражение: $25x^2(x^2 - y^2) - 25x^2(x^2 + y^2) + 50x^2y^2$. Сначала раскроем скобки: $25x^2 \cdot x^2 - 25x^2 \cdot y^2 - (25x^2 \cdot x^2 + 25x^2 \cdot y^2) + 50x^2y^2$. Убираем скобки, меняя знаки: $25x^4 - 25x^2y^2 - 25x^4 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2$. Теперь приводим подобные слагаемые, группируя их: $(25x^4 - 25x^4) + (-25x^2y^2 - 25x^2y^2 + 50x^2y^2)$. Выполняем вычисления в каждой группе: $0 + (-50x^2y^2 + 50x^2y^2) = 0 + 0 = 0$. Так как в результате тождественных преобразований выражение равно 0, это доказывает, что его значение равно нулю при любых значениях переменных. Ответ: 0.

2) Упростим выражение $(5ac - 8)^2 - (8ac - 5)^2 + 39(a^2c^2 - 1)$. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ к первым двум членам: $( (5ac)^2 - 2 \cdot 5ac \cdot 8 + 8^2 ) - ( (8ac)^2 - 2 \cdot 8ac \cdot 5 + 5^2 ) + 39(a^2c^2 - 1)$. Выполняем действия в скобках: $(25a^2c^2 - 80ac + 64) - (64a^2c^2 - 80ac + 25) + 39a^2c^2 - 39$. Теперь раскроем все скобки: $25a^2c^2 - 80ac + 64 - 64a^2c^2 + 80ac - 25 + 39a^2c^2 - 39$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(25a^2c^2 - 64a^2c^2 + 39a^2c^2) + (-80ac + 80ac) + (64 - 25 - 39)$. Выполнив действия в каждой группе, получим: $(64a^2c^2 - 64a^2c^2) + 0 + (64 - 64) = 0 + 0 + 0 = 0$. Таким образом, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных $a$ и $c$, что и требовалось доказать. Ответ: 0.

17. Верно ли равенство:

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25;$

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2;$

3) $9\left(b + 1\frac{2}{3}\right)^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0;$

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a?$

Для проверки верности равенств необходимо упростить их левые части и сравнить с правыми частями.

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25$

Упростим левую часть равенства. Для этого раскроем скобки.

Сначала раскроем квадрат разности $(12a - 5)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(12a - 5)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 5 + 5^2 = 144a^2 - 120a + 25$.

Теперь раскроем произведение $-18a(8a - 6)$:
$-18a(8a - 6) = -18a \cdot 8a - 18a \cdot (-6) = -144a^2 + 108a$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(144a^2 - 120a + 25) - (144a^2 - 108a) + 12a = 144a^2 - 120a + 25 - 144a^2 + 108a + 12a$.

Приведем подобные слагаемые:
$(144a^2 - 144a^2) + (-120a + 108a + 12a) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате упрощения левая часть равна $25$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство верно.

Ответ: Верно.

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2$

Упростим левую часть равенства, раскрывая скобки.

Раскроем квадрат разности $(a - 3)^2$: $a^2 - 6a + 9$.
$17(a - 3)^2 = 17(a^2 - 6a + 9) = 17a^2 - 102a + 153$.

Раскроем квадрат суммы $(4a + 1)^2$: $(4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 + 8a + 1$.
$-(4a + 1)^2 = -(16a^2 + 8a + 1) = -16a^2 - 8a - 1$.

Раскроем произведение $-22(7 - 5a)$: $-22 \cdot 7 - 22 \cdot (-5a) = -154 + 110a$.

Соберем все части вместе:
$(17a^2 - 102a + 153) + (-16a^2 - 8a - 1) + (-154 + 110a)$.

Приведем подобные слагаемые:
$(17a^2 - 16a^2) + (-102a - 8a + 110a) + (153 - 1 - 154) = a^2 + 0 - 2 = a^2 - 2$.

Левая часть равна $a^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: Верно.

3) $9(b + 1\frac{2}{3})^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0$

Упростим левую часть. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Упростим первый член: $9(b + \frac{5}{3})^2$. Можно представить его как $(3(b+\frac{5}{3}))^2 = (3b+5)^2$.
$(3b+5)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 5 + 5^2 = 9b^2 + 30b + 25$.

Раскроем остальные скобки:
$-21(2b + 1) = -42b - 21$.
$-(3b - 2)^2 = -( (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2) = -(9b^2 - 12b + 4) = -9b^2 + 12b - 4$.

Подставим все в левую часть:
$(9b^2 + 30b + 25) - (42b + 21) - (9b^2 - 12b + 4) - 200 = 9b^2 + 30b + 25 - 42b - 21 - 9b^2 + 12b - 4 - 200$.

Приведем подобные слагаемые:
$(9b^2 - 9b^2) + (30b - 42b + 12b) + (25 - 21 - 4 - 200) = 0 + (42b - 42b) + (0 - 200) = -200$.

Левая часть равна $-200$, а правая часть равна $0$. Так как $-200 \neq 0$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a$

Упростим левую часть равенства.

Для первого члена $15(5a + 6)(6 - 5a)$ используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Здесь $(6+5a)(6-5a) = 6^2 - (5a)^2 = 36 - 25a^2$.
$15(36 - 25a^2) = 15 \cdot 36 - 15 \cdot 25a^2 = 540 - 375a^2$.

Раскроем квадрат разности $13(6a - 1)^2$:
$13((6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot 1 + 1^2) = 13(36a^2 - 12a + 1) = 13 \cdot 36a^2 - 13 \cdot 12a + 13 = 468a^2 - 156a + 13$.

Раскроем скобки в третьем члене:
$-31(17 + 3a^2) = -31 \cdot 17 - 31 \cdot 3a^2 = -527 - 93a^2$.

Теперь соберем все вместе:
$(540 - 375a^2) + (468a^2 - 156a + 13) + (-527 - 93a^2) - 26$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-375a^2 + 468a^2 - 93a^2) - 156a + (540 + 13 - 527 - 26)$.
$(468 - 375 - 93)a^2 - 156a + (553 - 553) = 0 \cdot a^2 - 156a + 0 = -156a$.

Левая часть равна $-156a$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: Верно.

18. Упростите выражение:

1) $ (8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a; $

2) $ (14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a; $

3) $ (a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a; $

4) $ (a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 - a + a^2). $

1) Для упрощения выражения $(8a - 5)(9a + 10) - (12a - 7)(11 + 6a) + 55a$ необходимо последовательно выполнить действия.

Сначала раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(8a - 5)(9a + 10) = 8a \cdot 9a + 8a \cdot 10 - 5 \cdot 9a - 5 \cdot 10 = 72a^2 + 80a - 45a - 50 = 72a^2 + 35a - 50$.

$(12a - 7)(11 + 6a) = 12a \cdot 11 + 12a \cdot 6a - 7 \cdot 11 - 7 \cdot 6a = 132a + 72a^2 - 77 - 42a = 72a^2 + 90a - 77$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(72a^2 + 35a - 50) - (72a^2 + 90a - 77) + 55a$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:

$72a^2 + 35a - 50 - 72a^2 - 90a + 77 + 55a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(72a^2 - 72a^2) + (35a - 90a + 55a) + (-50 + 77) = 0 + (90a - 90a) + 27 = 27$.

Ответ: 27

2) Упростим выражение $(14a - 3)(15a + 10) - (35a + 2)(7 + 6a) + 162a$.

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(14a - 3)(15a + 10) = 14a \cdot 15a + 14a \cdot 10 - 3 \cdot 15a - 3 \cdot 10 = 210a^2 + 140a - 45a - 30 = 210a^2 + 95a - 30$.

$(35a + 2)(7 + 6a) = 35a \cdot 7 + 35a \cdot 6a + 2 \cdot 7 + 2 \cdot 6a = 245a + 210a^2 + 14 + 12a = 210a^2 + 257a + 14$.

Подставим эти выражения в исходное:

$(210a^2 + 95a - 30) - (210a^2 + 257a + 14) + 162a$.

Раскроем скобки:

$210a^2 + 95a - 30 - 210a^2 - 257a - 14 + 162a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(210a^2 - 210a^2) + (95a - 257a + 162a) + (-30 - 14) = 0 + (257a - 257a) - 44 = -44$.

Ответ: -44

3) Упростим выражение $(a - 3)^3 - (a + 7)^3 + 30a^2 + 120a$.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба разности $(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$ и куба суммы $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$.

$(a - 3)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3 = a^3 - 9a^2 + 27a - 27$.

$(a + 7)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 7 + 3 \cdot a \cdot 7^2 + 7^3 = a^3 + 21a^2 + 147a + 343$.

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(a^3 - 9a^2 + 27a - 27) - (a^3 + 21a^2 + 147a + 343) + 30a^2 + 120a$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 9a^2 + 27a - 27 - a^3 - 21a^2 - 147a - 343 + 30a^2 + 120a$.

Сгруппируем члены по степеням $a$:

$(a^3 - a^3) + (-9a^2 - 21a^2 + 30a^2) + (27a - 147a + 120a) + (-27 - 343)$.

$0 + (-30a^2 + 30a^2) + (147a - 147a) - 370 = 0 + 0 + 0 - 370 = -370$.

Ответ: -370

4) Упростим выражение $(a + 5)^3 + (6 - a)^3 + 33(20 - a + a^2)$.

Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности.

$(a + 5)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 5 + 3 \cdot a \cdot 5^2 + 5^3 = a^3 + 15a^2 + 75a + 125$.

$(6 - a)^3 = 6^3 - 3 \cdot 6^2 \cdot a + 3 \cdot 6 \cdot a^2 - a^3 = 216 - 108a + 18a^2 - a^3$.

Раскроем последнее слагаемое: $33(20 - a + a^2) = 660 - 33a + 33a^2$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(a^3 + 15a^2 + 75a + 125) + (216 - 108a + 18a^2 - a^3) + (660 - 33a + 33a^2)$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (15a^2 + 18a^2 + 33a^2) + (75a - 108a - 33a) + (125 + 216 + 660)$.

$0 + (33a^2 + 33a^2) + (75a - 141a) + (341 + 660) = 66a^2 - 66a + 1001$.

Ответ: $66a^2 - 66a + 1001$

Докажите тождества (19–20):

19. 1) $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2;$

2) $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2;$

3) $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2;$

4) $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2.$

1) Для доказательства тождества $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в скобках для применения формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$: $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (a - (m - 7)) \cdot (a + (m - 7)) - a^2$. Применив формулу, получаем: $a^2 - (m - 7)^2 - a^2 = -(m - 7)^2$. В результате преобразования левая часть равна $-(m - 7)^2$, а правая часть исходного равенства равна $(m - 7)^2$. Равенство $-(m - 7)^2 = (m - 7)^2$ выполняется только в том случае, если $(m - 7)^2 = 0$, то есть при $m = 7$. Поскольку тождество должно быть верным для любых значений входящих в него переменных, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.
Ответ: Данное равенство не является тождеством.

2) Для доказательства тождества $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые: $((3x + 5) - y) \cdot ((3x + 5) + y) + y^2$. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = (3x + 5)$ и $b = y$: $(3x + 5)^2 - y^2 + y^2$. Сокращаем $-y^2$ и $+y^2$: $(3x + 5)^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2$.

3) Для доказательства тождества $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые: $(6x - (8y - 7)) \cdot (6x + (8y - 7)) + (8y - 7)^2$. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 6x$ и $b = (8y - 7)$: $(6x)^2 - (8y - 7)^2 + (8y - 7)^2$. Сокращаем $-(8y - 7)^2$ и $+(8y - 7)^2$: $(6x)^2 = 36x^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2$.

4) Для доказательства тождества $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в первых двух множителях: $((9k + 11) + (2m + n)) \cdot ((9k + 11) - (2m + n)) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n)$. Применим формулу разности квадратов: $(9k + 11)^2 - (2m + n)^2 - 9k(9k + 22) + 4m(m + n)$. Теперь раскроем все скобки: $(81k^2 + 198k + 121) - (4m^2 + 4mn + n^2) - (81k^2 + 198k) + (4m^2 + 4mn)$. $81k^2 + 198k + 121 - 4m^2 - 4mn - n^2 - 81k^2 - 198k + 4m^2 + 4mn$. Приведем подобные слагаемые: $(81k^2 - 81k^2) + (198k - 198k) + (-4m^2 + 4m^2) + (-4mn + 4mn) + 121 - n^2$. В результате получаем: $121 - n^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2$.

20. 1) $4 + (a + b)^2 - 7a = a(2b - 7) + (a^2 + 4 + b^2);$

2) $4t^2 + (3 - k)^2 - (2t - 7 + k) = k^2 + 2t(2t - 1) + k - 8(k - 2);$

3) $9x^2 - (3x - 2y)^2 = 2y(6x - 2y).$

1) Докажем, что данное равенство является тождеством. Для этого преобразуем левую и правую части уравнения и сравним их.
Преобразуем левую часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$4 + (a + b)^2 - 7a = 4 + (a^2 + 2ab + b^2) - 7a = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.
Теперь преобразуем правую часть, раскрыв скобки:
$a(2b - 7) + (a^2 + 4 + b^2) = 2ab - 7a + a^2 + 4 + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.
Так как после преобразований левая и правая части стали равны, исходное равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано, поскольку обе части равны $a^2 + b^2 + 2ab - 7a + 4$.

2) Докажем, что данное равенство является тождеством, упростив обе его части.
Упростим левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, и приведем подобные слагаемые:
$4t^2 + (3 - k)^2 - (2t - 7 + k) = 4t^2 + (9 - 6k + k^2) - 2t + 7 - k = 4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.
Упростим правую часть, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$k^2 + 2t(2t - 1) + k - 8(k - 2) = k^2 + 4t^2 - 2t + k - 8k + 16 = 4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.
Поскольку в результате упрощений левая и правая части оказались равны, данное равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано, поскольку обе части равны $4t^2 + k^2 - 2t - 7k + 16$.

3) Докажем тождество, преобразовав его левую часть.
Левая часть $9x^2 - (3x - 2y)^2$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3x$ и $b=3x-2y$:
$9x^2 - (3x - 2y)^2 = (3x)^2 - (3x - 2y)^2 = (3x - (3x - 2y))(3x + (3x - 2y))$.
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(3x - 3x + 2y)(3x + 3x - 2y) = (2y)(6x - 2y)$.
Полученное выражение $2y(6x - 2y)$ в точности совпадает с правой частью исходного уравнения. Следовательно, равенство является тождеством.
Ответ: Тождество доказано.