Номер 17, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Верно ли равенство:

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25;$

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2;$

3) $9\left(b + 1\frac{2}{3}\right)^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0;$

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a?$

Для проверки верности равенств необходимо упростить их левые части и сравнить с правыми частями.

1) $(12a - 5)^2 - 18a(8a - 6) + 12a = 25$

Упростим левую часть равенства. Для этого раскроем скобки.

Сначала раскроем квадрат разности $(12a - 5)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(12a - 5)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 5 + 5^2 = 144a^2 - 120a + 25$.

Теперь раскроем произведение $-18a(8a - 6)$:
$-18a(8a - 6) = -18a \cdot 8a - 18a \cdot (-6) = -144a^2 + 108a$.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(144a^2 - 120a + 25) - (144a^2 - 108a) + 12a = 144a^2 - 120a + 25 - 144a^2 + 108a + 12a$.

Приведем подобные слагаемые:
$(144a^2 - 144a^2) + (-120a + 108a + 12a) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$.

В результате упрощения левая часть равна $25$, что совпадает с правой частью. Таким образом, равенство верно.

Ответ: Верно.

2) $17(a - 3)^2 - (4a + 1)^2 - 22(7 - 5a) = a^2 - 2$

Упростим левую часть равенства, раскрывая скобки.

Раскроем квадрат разности $(a - 3)^2$: $a^2 - 6a + 9$.
$17(a - 3)^2 = 17(a^2 - 6a + 9) = 17a^2 - 102a + 153$.

Раскроем квадрат суммы $(4a + 1)^2$: $(4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 + 8a + 1$.
$-(4a + 1)^2 = -(16a^2 + 8a + 1) = -16a^2 - 8a - 1$.

Раскроем произведение $-22(7 - 5a)$: $-22 \cdot 7 - 22 \cdot (-5a) = -154 + 110a$.

Соберем все части вместе:
$(17a^2 - 102a + 153) + (-16a^2 - 8a - 1) + (-154 + 110a)$.

Приведем подобные слагаемые:
$(17a^2 - 16a^2) + (-102a - 8a + 110a) + (153 - 1 - 154) = a^2 + 0 - 2 = a^2 - 2$.

Левая часть равна $a^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: Верно.

3) $9(b + 1\frac{2}{3})^2 - 21(2b + 1) - (3b - 2)^2 - 200 = 0$

Упростим левую часть. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.

Упростим первый член: $9(b + \frac{5}{3})^2$. Можно представить его как $(3(b+\frac{5}{3}))^2 = (3b+5)^2$.
$(3b+5)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 5 + 5^2 = 9b^2 + 30b + 25$.

Раскроем остальные скобки:
$-21(2b + 1) = -42b - 21$.
$-(3b - 2)^2 = -( (3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2) = -(9b^2 - 12b + 4) = -9b^2 + 12b - 4$.

Подставим все в левую часть:
$(9b^2 + 30b + 25) - (42b + 21) - (9b^2 - 12b + 4) - 200 = 9b^2 + 30b + 25 - 42b - 21 - 9b^2 + 12b - 4 - 200$.

Приведем подобные слагаемые:
$(9b^2 - 9b^2) + (30b - 42b + 12b) + (25 - 21 - 4 - 200) = 0 + (42b - 42b) + (0 - 200) = -200$.

Левая часть равна $-200$, а правая часть равна $0$. Так как $-200 \neq 0$, равенство неверно.

Ответ: Неверно.

4) $15(5a + 6)(6 - 5a) + 13(6a - 1)^2 - 31(17 + 3a^2) - 26 = -156a$

Упростим левую часть равенства.

Для первого члена $15(5a + 6)(6 - 5a)$ используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Здесь $(6+5a)(6-5a) = 6^2 - (5a)^2 = 36 - 25a^2$.
$15(36 - 25a^2) = 15 \cdot 36 - 15 \cdot 25a^2 = 540 - 375a^2$.

Раскроем квадрат разности $13(6a - 1)^2$:
$13((6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot 1 + 1^2) = 13(36a^2 - 12a + 1) = 13 \cdot 36a^2 - 13 \cdot 12a + 13 = 468a^2 - 156a + 13$.

Раскроем скобки в третьем члене:
$-31(17 + 3a^2) = -31 \cdot 17 - 31 \cdot 3a^2 = -527 - 93a^2$.

Теперь соберем все вместе:
$(540 - 375a^2) + (468a^2 - 156a + 13) + (-527 - 93a^2) - 26$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-375a^2 + 468a^2 - 93a^2) - 156a + (540 + 13 - 527 - 26)$.
$(468 - 375 - 93)a^2 - 156a + (553 - 553) = 0 \cdot a^2 - 156a + 0 = -156a$.

Левая часть равна $-156a$, что совпадает с правой частью. Равенство верно.

Ответ: Верно.