Номер 13, страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. Для каких значений переменной x является тождеством равенство:

1) $(4m + x)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2;$

2) $(2a - x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2;$

3) $(x + 9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2;$

4) $(x - 6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2?$

1) Чтобы равенство $(4m + x)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$ было тождеством, нужно найти такое значение $x$, при котором левая и правая части уравнения будут равны для любых значений $m$ и $n$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В левой части равенства у нас $a=4m$ и $b=x$. Раскроем скобки: $(4m + x)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot 4m \cdot x + x^2 = 16m^2 + 8mx + x^2$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $16m^2 + 8mx + x^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$.
Чтобы это равенство было тождеством, коэффициенты при одинаковых переменных должны быть равны. Сравнивая члены многочленов, получаем систему из двух равенств:
1. $8mx = 24mn$ (сравнение средних членов)
2. $x^2 = 9n^2$ (сравнение последних членов)
Из первого равенства, разделив обе части на $8m$ (при $m \ne 0$), получаем: $x = 3n$.
Из второго равенства, извлекая квадратный корень, получаем: $x = \pm \sqrt{9n^2}$, то есть $x = 3n$ или $x = -3n$.
Оба равенства должны выполняться одновременно, поэтому выбираем общее решение $x=3n$.
Проверим: $(4m + 3n)^2 = (4m)^2 + 2 \cdot 4m \cdot 3n + (3n)^2 = 16m^2 + 24mn + 9n^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=3n$.

2) Рассмотрим равенство $(2a - x)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$.
Воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В левой части у нас первый член $2a$, второй член $x$. Раскроем скобки: $(2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot x + x^2 = 4a^2 - 4ax + x^2$.
Приравняем полученное выражение к правой части: $4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$.
Сравниваем соответствующие члены:
1. $-4ax = -28ab$
2. $x^2 = 49b^2$
Из первого равенства, разделив обе части на $-4a$ (при $a \ne 0$), получаем: $x = 7b$.
Из второго равенства: $x = \pm \sqrt{49b^2}$, то есть $x = 7b$ или $x = -7b$.
Общим решением является $x=7b$.
Проверим: $(2a - 7b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 7b + (7b)^2 = 4a^2 - 28ab + 49b^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=7b$.

3) Рассмотрим равенство $(x + 9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В левой части у нас $a=x$ и $b=9n$. Раскроем скобки: $(x + 9n)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 9n + (9n)^2 = x^2 + 18xn + 81n^2$.
Приравняем к правой части: $x^2 + 18xn + 81n^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$.
Сравниваем члены:
1. $x^2 = 36m^2$
2. $18xn = 108mn$
Из первого равенства: $x = \pm \sqrt{36m^2}$, то есть $x = 6m$ или $x = -6m$.
Из второго равенства, разделив обе части на $18n$ (при $n \ne 0$), получаем: $x = 6m$.
Общим решением является $x=6m$.
Проверим: $(6m + 9n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot 9n + (9n)^2 = 36m^2 + 108mn + 81n^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=6m$.

4) Рассмотрим равенство $(x - 6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$.
Используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В левой части у нас первый член $x$, второй член $6b$. Раскроем скобки: $(x - 6b)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6b + (6b)^2 = x^2 - 12xb + 36b^2$.
Приравняем к правой части: $x^2 - 12xb + 36b^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$.
Сравниваем члены:
1. $x^2 = 64a^2$
2. $-12xb = -96ab$
Из первого равенства: $x = \pm \sqrt{64a^2}$, то есть $x = 8a$ или $x = -8a$.
Из второго равенства, разделив обе части на $-12b$ (при $b \ne 0$), получаем: $x = 8a$.
Общим решением является $x=8a$.
Проверим: $(8a - 6b)^2 = (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot 6b + (6b)^2 = 64a^2 - 96ab + 36b^2$. Равенство верно.
Ответ: $x=8a$.