Номер 6, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6. Выполните действия:

1) $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12;$

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8;$

3) $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552;$

4) $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}.$

1) $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 - 8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25 + 0,12$
Решим пример по действиям. Для удобства вычислений будем переводить десятичные дроби в обыкновенные.
1. Вычислим первое произведение: $243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6$. Заметим, что $243 = 3^5$.
$243 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 = 3^5 \cdot \frac{2^6}{3^6} = \frac{2^6}{3} = \frac{64}{3}$.
2. Вычислим второе произведение: $8,75 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot 0,25$.
Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $8,75 = 8\frac{75}{100} = 8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$; $0,25 = \frac{1}{4}$.
$\frac{35}{4} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{35}{4} \cdot \frac{4^3}{5^3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{35 \cdot 4^3}{4 \cdot 5^3 \cdot 4} = \frac{35 \cdot 4^2}{4 \cdot 5^3} = \frac{35 \cdot 16}{4 \cdot 125} = \frac{35 \cdot 4}{125} = \frac{140}{125} = \frac{28}{25}$.
3. Теперь соберем все части выражения вместе. Переведем $0,12$ в обыкновенную дробь: $0,12 = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.
$\frac{64}{3} - \frac{28}{25} + \frac{3}{25} = \frac{64}{3} - \left(\frac{28}{25} - \frac{3}{25}\right) = \frac{64}{3} - \frac{25}{25} = \frac{64}{3} - 1 = \frac{64}{3} - \frac{3}{3} = \frac{61}{3} = 20\frac{1}{3}$.
Ответ: $20\frac{1}{3}$.

2) $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 - \left(34 - 3\frac{5}{14}\right) + 0,05 \cdot 2^8$
Решим по действиям.
1. $\left(\frac{6}{7}\right)^2 \cdot 2,45 = \frac{36}{49} \cdot 2\frac{45}{100} = \frac{36}{49} \cdot 2\frac{9}{20} = \frac{36}{49} \cdot \frac{49}{20} = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} = 1,8$.
2. $34 - 3\frac{5}{14} = 33\frac{14}{14} - 3\frac{5}{14} = 30\frac{9}{14}$.
3. $0,05 \cdot 2^8 = \frac{5}{100} \cdot 256 = \frac{1}{20} \cdot 256 = \frac{256}{20} = \frac{64}{5} = 12,8$.
4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$1,8 - 30\frac{9}{14} + 12,8 = (1,8 + 12,8) - 30\frac{9}{14} = 14,6 - 30\frac{9}{14}$.
Переведем $14,6$ в смешанную дробь: $14,6 = 14\frac{6}{10} = 14\frac{3}{5}$.
$14\frac{3}{5} - 30\frac{9}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю 70:
$14\frac{3 \cdot 14}{5 \cdot 14} - 30\frac{9 \cdot 5}{14 \cdot 5} = 14\frac{42}{70} - 30\frac{45}{70} = -(30\frac{45}{70} - 14\frac{42}{70}) = -16\frac{3}{70}$.
Ответ: $-16\frac{3}{70}$.

3) $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 - 0,024 \cdot 9^3 + 1,552$
Решим по действиям, используя десятичные дроби, где это возможно.
1. $6,25 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 = 6,25 \cdot (0,8)^5 = 6,25 \cdot 0,32768$. Проще в обыкновенных дробях:
$6,25 = 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.
$\frac{25}{4} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5 = \frac{5^2}{2^2} \cdot \frac{4^5}{5^5} = \frac{5^2}{2^2} \cdot \frac{(2^2)^5}{5^5} = \frac{5^2 \cdot 2^{10}}{2^2 \cdot 5^5} = \frac{2^8}{5^3} = \frac{256}{125} = 2,048$.
2. $0,024 \cdot 9^3 = 0,024 \cdot 729 = 17,496$.
3. Подставим полученные значения в выражение:
$2,048 - 17,496 + 1,552 = (2,048 + 1,552) - 17,496 = 3,6 - 17,496 = -13,896$.
Ответ: $-13,896$.

4) $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3 + \left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$
Решим по частям. Сначала выполним умножения и деление, затем сложение.
1. Вычислим первое слагаемое: $\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot 0,5 \cdot \left(3\frac{2}{3}\right)^3$.
Переведем все в обыкновенные дроби: $0,5 = \frac{1}{2}$; $3\frac{2}{3} = \frac{11}{3}$.
$\left(\frac{8}{11}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{11}{3}\right)^3 = \frac{8^2}{11^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{11^3}{3^3} = \frac{64}{121} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1331}{27}$.
Сократим степени числа 11 ($121=11^2$, $1331=11^3$) и 64 с 2:
$\frac{64 \cdot 11}{2 \cdot 27} = \frac{32 \cdot 11}{27} = \frac{352}{27}$.
2. Вычислим второе слагаемое: $\left(1\frac{1}{3}\right)^4 : 85\frac{1}{3}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $85\frac{1}{3} = \frac{85 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{256}{3}$.
$\left(\frac{4}{3}\right)^4 : \frac{256}{3} = \frac{4^4}{3^4} : \frac{256}{3} = \frac{256}{81} \cdot \frac{3}{256} = \frac{3}{81} = \frac{1}{27}$.
3. Сложим результаты:
$\frac{352}{27} + \frac{1}{27} = \frac{353}{27}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $353 : 27 = 13$ (остаток $2$), т.е. $13\frac{2}{27}$.
Ответ: $13\frac{2}{27}$.