Номер 5, страница 270 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. 1) $\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2}$;

2) $\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2}$;

3) $\frac{87^2 - 43^2}{31^2 - 16^2}$;

4) $\frac{98^2 - 58^2}{75^2 - 35^2}$;

5) $\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73$;

6) $\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34.$

1) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

Числитель: $27^2 - 17^2 = (27 - 17)(27 + 17) = 10 \cdot 44 = 440$.

Знаменатель: $16^2 - 6^2 = (16 - 6)(16 + 6) = 10 \cdot 22 = 220$.

Теперь разделим результат числителя на результат знаменателя:

$\frac{27^2 - 17^2}{16^2 - 6^2} = \frac{(27 - 17)(27 + 17)}{(16 - 6)(16 + 6)} = \frac{10 \cdot 44}{10 \cdot 22} = \frac{44}{22} = 2$.

Ответ: 2

2) Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $48^2 - 18^2 = (48 - 18)(48 + 18) = 30 \cdot 66 = 1980$.

Знаменатель: $35^2 - 15^2 = (35 - 15)(35 + 15) = 20 \cdot 50 = 1000$.

Вычислим значение дроби:

$\frac{48^2 - 18^2}{35^2 - 15^2} = \frac{1980}{1000} = 1,98$.

Ответ: 1,98

3) Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $87^2 - 43^2 = (87 - 43)(87 + 43) = 44 \cdot 130 = 5720$.

Знаменатель: $31^2 - 16^2 = (31 - 16)(31 + 16) = 15 \cdot 47 = 705$.

Теперь разделим числитель на знаменатель и сократим полученную дробь:

$\frac{5720}{705} = \frac{5 \cdot 1144}{5 \cdot 141} = \frac{1144}{141}$.

Дальнейшее сокращение невозможно, так как $141 = 3 \cdot 47$, а $1144$ не делится ни на 3, ни на 47.

Ответ: $\frac{1144}{141}$

4) Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Числитель: $98^2 - 58^2 = (98 - 58)(98 + 58) = 40 \cdot 156$.

Знаменатель: $75^2 - 35^2 = (75 - 35)(75 + 35) = 40 \cdot 110$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{40 \cdot 156}{40 \cdot 110} = \frac{156}{110}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{156}{110} = \frac{78}{55}$.

Ответ: $\frac{78}{55}$

5) В этом примере мы используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Пусть $a = 123$ и $b = 73$. Заметим, что знаменатель $196 = 123 + 73 = a + b$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{123^3 + 73^3}{196} - 123 \cdot 73 = \frac{(123+73)(123^2 - 123 \cdot 73 + 73^2)}{123+73} - 123 \cdot 73$.

Сокращаем дробь на $(123+73)$ и получаем:

$(123^2 - 123 \cdot 73 + 73^2) - 123 \cdot 73 = 123^2 - 2 \cdot 123 \cdot 73 + 73^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(123 - 73)^2 = 50^2 = 2500$.

Ответ: 2500

6) Здесь мы используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Пусть $a = 186$ и $b = 34$. Заметим, что знаменатель $152 = 186 - 34 = a - b$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{186^3 - 34^3}{152} + 186 \cdot 34 = \frac{(186-34)(186^2 + 186 \cdot 34 + 34^2)}{186-34} + 186 \cdot 34$.

Сокращаем дробь на $(186-34)$ и получаем:

$(186^2 + 186 \cdot 34 + 34^2) + 186 \cdot 34 = 186^2 + 2 \cdot 186 \cdot 34 + 34^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(186 + 34)^2 = 220^2 = 48400$.

Ответ: 48400