Номер 12, страница 271 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12. 1) $(a^2 - 5)(3 + 2a) - 2a(a^2 + 4);$

2) $(2 - 3a)^3 - 4(2 - 9a) + 26a^3;$

3) $(4 + a)^3 - (a - 4)^3 - 36(2a^2 + 3).$

1) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Сначала выполним умножение многочленов:

$(a^2 - 5)(3 + 2a) = a^2 \cdot 3 + a^2 \cdot 2a - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 2a = 3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a$.

Затем раскроем вторые скобки:

$-2a(a^2 + 4) = -2a \cdot a^2 - 2a \cdot 4 = -2a^3 - 8a$.

Теперь объединим полученные выражения:

$(3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a) + (-2a^3 - 8a) = 3a^2 + 2a^3 - 15 - 10a - 2a^3 - 8a$.

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^3 - 2a^3) + 3a^2 + (-10a - 8a) - 15 = 0 + 3a^2 - 18a - 15 = 3a^2 - 18a - 15$.

Ответ: $3a^2 - 18a - 15$.

2) Упростим выражение, используя формулу сокращенного умножения для куба разности и раскрыв скобки.

Воспользуемся формулой куба разности $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$:

$(2 - 3a)^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot (3a) + 3 \cdot 2 \cdot (3a)^2 - (3a)^3 = 8 - 3 \cdot 4 \cdot 3a + 6 \cdot 9a^2 - 27a^3 = 8 - 36a + 54a^2 - 27a^3$.

Раскроем скобки во втором члене выражения:

$-4(2 - 9a) = -8 + 36a$.

Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(8 - 36a + 54a^2 - 27a^3) - 8 + 36a + 26a^3 = (-27a^3 + 26a^3) + 54a^2 + (-36a + 36a) + (8 - 8) = -a^3 + 54a^2$.

Ответ: $-a^3 + 54a^2$.

3) Упростим выражение, используя формулы куба суммы и куба разности.

Раскроем первый куб по формуле $(x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$:

$(4 + a)^3 = 4^3 + 3 \cdot 4^2 \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a^2 + a^3 = 64 + 48a + 12a^2 + a^3$.

Раскроем второй куб по формуле $(x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$:

$(a - 4)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 4 + 3 \cdot a \cdot 4^2 - 4^3 = a^3 - 12a^2 + 48a - 64$.

Раскроем последние скобки:

$-36(2a^2 + 3) = -72a^2 - 108$.

Теперь подставим все части в исходное выражение:

$(64 + 48a + 12a^2 + a^3) - (a^3 - 12a^2 + 48a - 64) - 72a^2 - 108$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$64 + 48a + 12a^2 + a^3 - a^3 + 12a^2 - 48a + 64 - 72a^2 - 108 = (a^3 - a^3) + (12a^2 + 12a^2 - 72a^2) + (48a - 48a) + (64 + 64 - 108) = -48a^2 + 20$.

Ответ: $-48a^2 + 20$.