Номер 19, страница 272 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите тождества (19–20):

19. 1) $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2;$

2) $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2;$

3) $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2;$

4) $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2.$

1) Для доказательства тождества $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (m - 7)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в скобках для применения формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$: $(a - m + 7) \cdot (a + m - 7) - a^2 = (a - (m - 7)) \cdot (a + (m - 7)) - a^2$. Применив формулу, получаем: $a^2 - (m - 7)^2 - a^2 = -(m - 7)^2$. В результате преобразования левая часть равна $-(m - 7)^2$, а правая часть исходного равенства равна $(m - 7)^2$. Равенство $-(m - 7)^2 = (m - 7)^2$ выполняется только в том случае, если $(m - 7)^2 = 0$, то есть при $m = 7$. Поскольку тождество должно быть верным для любых значений входящих в него переменных, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.
Ответ: Данное равенство не является тождеством.

2) Для доказательства тождества $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые: $((3x + 5) - y) \cdot ((3x + 5) + y) + y^2$. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = (3x + 5)$ и $b = y$: $(3x + 5)^2 - y^2 + y^2$. Сокращаем $-y^2$ и $+y^2$: $(3x + 5)^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(3x + 5 - y) \cdot (3x + 5 + y) + y^2 = (3x + 5)^2$.

3) Для доказательства тождества $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые: $(6x - (8y - 7)) \cdot (6x + (8y - 7)) + (8y - 7)^2$. Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = 6x$ и $b = (8y - 7)$: $(6x)^2 - (8y - 7)^2 + (8y - 7)^2$. Сокращаем $-(8y - 7)^2$ и $+(8y - 7)^2$: $(6x)^2 = 36x^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(6x - 8y + 7) \cdot (6x + 8y - 7) + (8y - 7)^2 = 36x^2$.

4) Для доказательства тождества $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2$ преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые в первых двух множителях: $((9k + 11) + (2m + n)) \cdot ((9k + 11) - (2m + n)) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n)$. Применим формулу разности квадратов: $(9k + 11)^2 - (2m + n)^2 - 9k(9k + 22) + 4m(m + n)$. Теперь раскроем все скобки: $(81k^2 + 198k + 121) - (4m^2 + 4mn + n^2) - (81k^2 + 198k) + (4m^2 + 4mn)$. $81k^2 + 198k + 121 - 4m^2 - 4mn - n^2 - 81k^2 - 198k + 4m^2 + 4mn$. Приведем подобные слагаемые: $(81k^2 - 81k^2) + (198k - 198k) + (-4m^2 + 4m^2) + (-4mn + 4mn) + 121 - n^2$. В результате получаем: $121 - n^2$. Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.
Ответ: $(9k + 11 + 2m + n) \cdot (9k - 2m + 11 - n) - 9k(9k + 22) + 4m(m + n) = 121 - n^2$.