Номер 26, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Найдите значение выражения $(\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1) - 2$ при $x = 0,5$, $y = 4$.

Для нахождения значения выражения $ \left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right) - 2 $ при $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $ можно сначала упростить его, а затем подставить значения переменных.

Способ 1: Упрощение выражения

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Введем замену $ a = \frac{x}{y} $. Тогда выражение примет вид:

$ (a + 1)^2 + (a - 1) - 2 $

Раскроем скобки. Для первой скобки используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:

$ (a^2 + 2a + 1) + a - 1 - 2 $

Теперь приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + (2a + a) + (1 - 1 - 2) = a^2 + 3a - 2 $

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $ a = \frac{x}{y} $:

$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) - 2 $

Найдем значение дроби $ \frac{x}{y} $ при заданных значениях $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $:

$ \frac{x}{y} = \frac{0,5}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $

Подставим полученное значение $ \frac{1}{8} $ в упрощенное выражение:

$ \left(\frac{1}{8}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{8} - 2 = \frac{1}{64} + \frac{3}{8} - 2 $

Приведем дроби к общему знаменателю 64:

$ \frac{1}{64} + \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 8} - \frac{2 \cdot 64}{64} = \frac{1}{64} + \frac{24}{64} - \frac{128}{64} $

Выполним вычисления:

$ \frac{1 + 24 - 128}{64} = \frac{25 - 128}{64} = \frac{-103}{64} $

Способ 2: Прямая подстановка

Подставим значения $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $ непосредственно в исходное выражение.

Сначала вычислим значение дроби $ \frac{x}{y} $:

$ \frac{x}{y} = \frac{0,5}{4} = 0,125 $ или $ \frac{1}{8} $.

Используем дробное представление для точности. Подставляем в выражение:

$ \left(\frac{1}{8} + 1\right)^2 + \left(\frac{1}{8} - 1\right) - 2 $

Вычисляем значения в скобках:

$ \frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8} $

$ \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8} $

Подставляем эти значения обратно в выражение:

$ \left(\frac{9}{8}\right)^2 + \left(-\frac{7}{8}\right) - 2 $

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$ \frac{81}{64} - \frac{7}{8} - 2 $

Приводим к общему знаменателю 64:

$ \frac{81}{64} - \frac{7 \cdot 8}{8 \cdot 8} - \frac{2 \cdot 64}{64} = \frac{81}{64} - \frac{56}{64} - \frac{128}{64} $

Выполняем вычитание:

$ \frac{81 - 56 - 128}{64} = \frac{25 - 128}{64} = \frac{-103}{64} $

Результат можно представить в виде смешанной дроби $ -1\frac{39}{64} $ или десятичной дроби $ -1,609375 $.

Ответ: $ -\frac{103}{64} $