Номер 21, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $;

2) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} $ и $ \frac{1}{a - 1} $.

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны, мы упростим первое выражение.
Первым шагом разложим на множители знаменатель $x^3-8$ по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1}{x-2}$.
Общий знаменатель для всех дробей - это $(x-2)(x^2+2x+4)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Объединим дроби:
$\frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$(x-2)^2 - 6x + x^2+2x+4 = (x^2-4x+4) - 6x + x^2+2x+4$
$= x^2-4x+4 - 6x + x^2+2x+4 = (x^2+x^2) + (-4x-6x+2x) + (4+4) = 2x^2-8x+8$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$2x^2-8x+8 = 2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Сократим общий множитель $(x-2)$:
$\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4}$
Мы получили второе выражение. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны, мы упростим первое выражение.
Разложим на множители знаменатель $a^3-1$ по формуле разности кубов:
$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.
Перепишем исходное выражение:
$\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$.
Общий знаменатель для всех дробей - это $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Объединим дроби под одним знаменателем:
$\frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1) - 3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(1-2a)(a-1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2+3a-1$
$3(a^2+a+1) = 3a^2+3a+3$
Числитель: $(2a^2+7a+3) - (-2a^2+3a-1) - (3a^2+3a+3) = 2a^2+7a+3 + 2a^2-3a+1 - 3a^2-3a-3$
$= (2a^2+2a^2-3a^2) + (7a-3a-3a) + (3+1-3) = a^2+a+1$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Сократим общий множитель $(a^2+a+1)$:
$\frac{1}{a-1}$
Мы получили второе выражение. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны.