Номер 27, страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что при допустимых значениях переменной не зависят от переменной значения выражений (27–28):

27. 1) $ \left( \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1} \right) \cdot \frac{a}{a + 1} - \frac{a}{a - 1} $

2) $ \left( \frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a - 2}{a + 2} \right) \cdot \frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a - 2} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно его упростить. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется из условий, что знаменатели дробей не равны нулю: $a^2-1 \neq 0$, $a+1 \neq 0$, $a-1 \neq 0$. Это означает, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Выполним действия по порядку.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель $a^2-1$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
$ \frac{4a}{a^2-1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{4a}{(a-1)(a+1)} + \frac{a-1}{a+1} $
Общий знаменатель — $(a-1)(a+1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a-1)$:
$ \frac{4a}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a + (a-1)^2}{(a-1)(a+1)} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:
$ \frac{4a + a^2-2a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{(a-1)(a+1)} $
Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом суммы: $(a+1)^2$.
$ \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} $
Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (это возможно, так как $a \neq -1$):
$ \frac{a+1}{a-1} $
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:
$ \left( \frac{a+1}{a-1} \right) \cdot \frac{a}{a+1} - \frac{a}{a-1} = \frac{(a+1)a}{(a-1)(a+1)} - \frac{a}{a-1} $
Сократим первую дробь на $(a+1)$: $ \frac{a}{a-1} - \frac{a}{a-1} = 0 $
В результате упрощения мы получили число 0, которое не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 0.

2) Упростим выражение. ОДЗ переменной $a$ определяется условиями: $a^2-4 \neq 0$, $a+2 \neq 0$, $a-2 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
Выполним действия по порядку.
Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-4$ на множители: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
$ \frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{a-2}{a+2} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$: $ \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{8a + (a-2)^2}{(a-2)(a+2)} $
Раскроем квадрат разности в числителе:
$ \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} $
Числитель $a^2+4a+4$ является полным квадратом суммы: $(a+2)^2$.
$ \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} $
Сократим дробь на $(a+2)$ (это возможно, так как $a \neq -2$):
$ \frac{a+2}{a-2} $
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \left( \frac{a+2}{a-2} \right) \cdot \frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2} = \frac{(a+2)a}{(a-2)(a+2)} - \frac{a}{a-2} $
Сократим первую дробь на $(a+2)$: $ \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0 $
В результате упрощения мы получили число 0, которое не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 0.