Страница 273 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. Докажите, что тождественно равны выражения:

1) $ \frac{x - 2}{x^2 + 2x + 4} - \frac{6x}{x^3 - 8} + \frac{1}{x - 2} $ и $ \frac{2x - 4}{x^2 + 2x + 4} $;

2) $ \frac{2a^2 + 7a + 3}{a^3 - 1} - \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1} - \frac{3}{a - 1} $ и $ \frac{1}{a - 1} $.

1) Чтобы доказать, что выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны, мы упростим первое выражение.
Первым шагом разложим на множители знаменатель $x^3-8$ по формуле разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1}{x-2}$.
Общий знаменатель для всех дробей - это $(x-2)(x^2+2x+4)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{1 \cdot (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Объединим дроби:
$\frac{(x-2)^2 - 6x + (x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$(x-2)^2 - 6x + x^2+2x+4 = (x^2-4x+4) - 6x + x^2+2x+4$
$= x^2-4x+4 - 6x + x^2+2x+4 = (x^2+x^2) + (-4x-6x+2x) + (4+4) = 2x^2-8x+8$
Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:
$2x^2-8x+8 = 2(x^2-4x+4) = 2(x-2)^2$.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{2(x-2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)}$
Сократим общий множитель $(x-2)$:
$\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4} = \frac{2x-4}{x^2+2x+4}$
Мы получили второе выражение. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Выражения $\frac{x-2}{x^2+2x+4} - \frac{6x}{x^3-8} + \frac{1}{x-2}$ и $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}$ тождественно равны.

2) Чтобы доказать, что выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны, мы упростим первое выражение.
Разложим на множители знаменатель $a^3-1$ по формуле разности кубов:
$a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$.
Перепишем исходное выражение:
$\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$.
Общий знаменатель для всех дробей - это $(a-1)(a^2+a+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Объединим дроби под одним знаменателем:
$\frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1) - 3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$(1-2a)(a-1) = a - 1 - 2a^2 + 2a = -2a^2+3a-1$
$3(a^2+a+1) = 3a^2+3a+3$
Числитель: $(2a^2+7a+3) - (-2a^2+3a-1) - (3a^2+3a+3) = 2a^2+7a+3 + 2a^2-3a+1 - 3a^2-3a-3$
$= (2a^2+2a^2-3a^2) + (7a-3a-3a) + (3+1-3) = a^2+a+1$
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Сократим общий множитель $(a^2+a+1)$:
$\frac{1}{a-1}$
Мы получили второе выражение. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Выражения $\frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} - \frac{3}{a-1}$ и $\frac{1}{a-1}$ тождественно равны.

22. Выполните действия над дробями:

1) $\frac{18c^4}{7d} : (-9c^2 d);$

2) $\frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2};$

3) $\frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2};$

4) $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b} : \frac{18a^4}{7b^2}.$

1) Чтобы разделить дробь $\frac{18c^4}{7d}$ на одночлен $(-9c^2d)$, представим этот одночлен в виде дроби $\frac{-9c^2d}{1}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{18c^4}{7d} : (-9c^2d) = \frac{18c^4}{7d} : \frac{-9c^2d}{1} = \frac{18c^4}{7d} \cdot \frac{1}{-9c^2d}$

Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:

$\frac{18c^4 \cdot 1}{7d \cdot (-9c^2d)} = \frac{18c^4}{-63c^2d^2}$

Сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 18 и -63 сокращаются на 9. Степени переменных сокращаются по правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{18}{-63} = -\frac{2}{7}$

$\frac{c^4}{c^2} = c^{4-2} = c^2$

В знаменателе остается $d^2$.

Объединяя все части, получаем:

$-\frac{2c^2}{7d^2}$

Ответ: $-\frac{2c^2}{7d^2}$

2) Для деления дроби $\frac{14}{9x^3}$ на дробь $\frac{7x}{2y^2}$ необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{14}{9x^3} : \frac{7x}{2y^2} = \frac{14}{9x^3} \cdot \frac{2y^2}{7x}$

Перемножим числители и знаменатели. Для удобства можно сократить общие множители до умножения. Сократим 14 и 7 на 7.

$\frac{14 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot 7x} = \frac{2 \cdot 2y^2}{9x^3 \cdot x}$

Теперь выполним умножение в числителе и знаменателе. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$.

$\frac{4y^2}{9x^4}$

Ответ: $\frac{4y^2}{9x^4}$

3) Чтобы разделить дробь $\frac{3x}{10a^3}$ на дробь $\frac{1}{5a^2}$, умножим первую дробь на перевернутую вторую.

$\frac{3x}{10a^3} : \frac{1}{5a^2} = \frac{3x}{10a^3} \cdot \frac{5a^2}{1} = \frac{3x \cdot 5a^2}{10a^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим коэффициенты 15 и 10 на 5. Сократим степени переменной $a$.

$\frac{15a^2x}{10a^3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a^2 \cdot x}{2 \cdot 5 \cdot a^3} = \frac{3x}{2a^{3-2}} = \frac{3x}{2a}$

Ответ: $\frac{3x}{2a}$

4) В выражении $27a^3 \cdot \frac{a^2}{b} : \frac{18a^4}{7b^2}$ действия выполняются по порядку слева направо. Сначала выполним умножение, представив $27a^3$ как дробь $\frac{27a^3}{1}$.

$27a^3 \cdot \frac{a^2}{b} = \frac{27a^3}{1} \cdot \frac{a^2}{b} = \frac{27a^{3+2}}{b} = \frac{27a^5}{b}$

Теперь выполним деление. Результат первого действия разделим на дробь $\frac{18a^4}{7b^2}$.

$\frac{27a^5}{b} : \frac{18a^4}{7b^2} = \frac{27a^5}{b} \cdot \frac{7b^2}{18a^4}$

Перемножим дроби и проведем сокращение. Сократим 27 и 18 на 9. Сократим степени переменных $a$ и $b$.

$\frac{27a^5 \cdot 7b^2}{b \cdot 18a^4} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 7 \cdot a^5 \cdot b^2}{2 \cdot 9 \cdot a^4 \cdot b} = \frac{3 \cdot 7 \cdot a^{5-4} \cdot b^{2-1}}{2} = \frac{21ab}{2}$

Ответ: $\frac{21ab}{2}$

23. Докажите тождество:

$\frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} = \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части к одному виду.
1. Преобразуем правую часть (ПЧ):
Поскольку дроби в правой части имеют одинаковые знаменатели, мы можем выполнить вычитание их числителей:
$ \frac{6}{(a+1)^2} - \frac{1}{(a+1)^2} = \frac{6-1}{(a+1)^2} = \frac{5}{(a+1)^2} $

2. Преобразуем левую часть (ЛЧ):
$ \frac{5a^2 - 10}{a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2} $
Сначала разложим на множители числитель, вынеся общий множитель 5 за скобки:
$ 5a^2 - 10 = 5(a^2 - 2) $
Теперь разложим на множители знаменатель $ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 $. Для этого сгруппируем слагаемые следующим образом:
$ a^4 + 2a^3 - a^2 - 4a - 2 = (a^4 + 2a^3 + a^2) - 2a^2 - 4a - 2 $
В первой группе вынесем за скобки $ a^2 $, а во второй группе вынесем $ -2 $:
$ a^2(a^2 + 2a + 1) - 2(a^2 + 2a + 1) $
Теперь вынесем общий множитель $ (a^2 + 2a + 1) $ за скобки:
$ (a^2 - 2)(a^2 + 2a + 1) $
Выражение в скобках $ (a^2 + 2a + 1) $ является полным квадратом суммы $ (a+1)^2 $. Таким образом, знаменатель равен:
$ (a^2 - 2)(a+1)^2 $
Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель обратно в левую часть:
ЛЧ = $ \frac{5(a^2 - 2)}{(a^2 - 2)(a+1)^2} $
Сократим дробь на общий множитель $ (a^2 - 2) $ (это возможно при условии, что $ a^2 - 2 \neq 0 $, то есть $ a \neq \pm\sqrt{2} $):
ЛЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $

3. Заключение:
Мы показали, что и левая, и правая части тождества равны одному и тому же выражению:
ЛЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $
ПЧ = $ \frac{5}{(a+1)^2} $
Следовательно, ЛЧ = ПЧ, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

24. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x - 1)} $;

2) $ \frac{25a(b - 1)}{3^2 d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3 (b - 1)}{c^3 d} $;

3) $ \frac{28p^4}{15q^3} : \frac{5q^2 (p + 1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4} $;

4) $ \frac{8x^3 y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2 b} : \frac{2x^2 (y + 2)}{ab} $.

1) Исходное выражение: $\frac{3x^2}{5y^3} : \frac{27x^5}{2y^4} \cdot \frac{5y}{3(x-1)}$.

Выполняем действия в порядке их следования. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{2y^4}{27x^5} \cdot \frac{5y}{3(x-1)}$

Теперь запишем всё в виде одной дроби, перемножив числители и знаменатели:

$\frac{3x^2 \cdot 2y^4 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 3(x-1)}$

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и степени переменных:

$\frac{(3 \cdot 2 \cdot 5) \cdot x^2 \cdot (y^4 \cdot y)}{(5 \cdot 27 \cdot 3) \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot (x-1)} = \frac{30 \cdot x^2 \cdot y^5}{405 \cdot x^5 \cdot y^3 \cdot (x-1)}$

Сокращаем дробь: числовой коэффициент $\frac{30}{405} = \frac{2}{27}$, степени переменных $\frac{x^2}{x^5} = \frac{1}{x^3}$ и $\frac{y^5}{y^3} = y^2$.

В результате получаем:

$\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$

Ответ: $\frac{2y^2}{27x^3(x-1)}$

2) Исходное выражение: $\frac{25a(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d}$.

Упростим $3^2=9$. Выражение принимает вид:

$\frac{25a(b-1)}{9d} : \frac{5cd^2}{9ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d}$

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$\frac{25a(b-1)}{9d} \cdot \frac{9ab}{5cd^2} \cdot \frac{c^3d}{a^3(b-1)}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{25a(b-1) \cdot 9ab \cdot c^3d}{9d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(25 \cdot 9) \cdot (a \cdot a) \cdot b \cdot (b-1) \cdot c^3 \cdot d}{(9 \cdot 5) \cdot a^3 \cdot c \cdot (d \cdot d^2) \cdot (b-1)} = \frac{225 a^2 b (b-1) c^3 d}{45 a^3 c d^3 (b-1)}$

Сокращаем дробь: $\frac{225}{45}=5$, $\frac{a^2}{a^3}=\frac{1}{a}$, $\frac{b-1}{b-1}=1$, $\frac{c^3}{c}=c^2$, $\frac{d}{d^3}=\frac{1}{d^2}$.

В результате получаем:

$\frac{5bc^2}{ad^2}$

Ответ: $\frac{5bc^2}{ad^2}$

3) Исходное выражение: $\frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} : \frac{3p^2}{4q^4}$.

Выполняем действия по порядку. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{28p^4}{15q^3} \cdot \frac{5q^2(p+1)}{14p^2} \cdot \frac{4q^4}{3p^2}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{28p^4 \cdot 5q^2(p+1) \cdot 4q^4}{15q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p^2}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(28 \cdot 5 \cdot 4) \cdot p^4 \cdot (q^2 \cdot q^4) \cdot (p+1)}{(15 \cdot 14 \cdot 3) \cdot (p^2 \cdot p^2) \cdot q^3} = \frac{560 \cdot p^4 q^6 (p+1)}{630 \cdot p^4 q^3}$

Сокращаем дробь: $\frac{560}{630} = \frac{56}{63} = \frac{8}{9}$, $\frac{p^4}{p^4}=1$, $\frac{q^6}{q^3}=q^3$.

В результате получаем:

$\frac{8q^3(p+1)}{9}$

Ответ: $\frac{8q^3(p+1)}{9}$

4) Исходное выражение: $\frac{8x^3y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{2x^2(y+2)}{ab}$.

Заменим оба знака деления на умножение на обратные дроби:

$\frac{8x^3y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{ab}{2x^2(y+2)}$

Запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{8x^3y^4 \cdot 13a^2b \cdot ab}{13ab^2 \cdot 4xy^2 \cdot 2x^2(y+2)}$

Сгруппируем и сократим множители:

$\frac{(8 \cdot 13) \cdot x^3 \cdot y^4 \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b)}{(13 \cdot 4 \cdot 2) \cdot (x \cdot x^2) \cdot y^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot (y+2)} = \frac{104 a^3 b^2 x^3 y^4}{104 a b^2 x^3 y^2 (y+2)}$

Сокращаем дробь: $\frac{104}{104}=1$, $\frac{a^3}{a}=a^2$, $\frac{b^2}{b^2}=1$, $\frac{x^3}{x^3}=1$, $\frac{y^4}{y^2}=y^2$.

В результате получаем:

$\frac{a^2y^2}{y+2}$

Ответ: $\frac{a^2y^2}{y+2}$

25. Если $x = \frac{2n}{n-2}$, то найдите значение выражения:

1) $ \frac{x-3}{2x+n} $;

2) $ \frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x} $;

3) $ \frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n} $.

Для решения всех подпунктов, подставим данное выражение для $x$ в каждую из предложенных формул и упростим.

Исходное условие: $x = \frac{2n}{n-2}$.

1) $\frac{x-3}{2x+n}$

Сначала преобразуем числитель:

$x - 3 = \frac{2n}{n-2} - 3 = \frac{2n - 3(n-2)}{n-2} = \frac{2n - 3n + 6}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$

Теперь преобразуем знаменатель:

$2x + n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} + n = \frac{4n}{n-2} + \frac{n(n-2)}{n-2} = \frac{4n + n^2 - 2n}{n-2} = \frac{n^2 + 2n}{n-2} = \frac{n(n+2)}{n-2}$

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(n+2)}{n-2}} = \frac{6-n}{n-2} \cdot \frac{n-2}{n(n+2)} = \frac{6-n}{n(n+2)}$

Ответ: $\frac{6-n}{n(n+2)}$

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{2x}$

Рассмотрим первое слагаемое. Его числитель:

$2x - 4n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} - 4n = \frac{4n}{n-2} - \frac{4n(n-2)}{n-2} = \frac{4n - 4n^2 + 8n}{n-2} = \frac{12n - 4n^2}{n-2} = \frac{4n(3-n)}{n-2}$

Знаменатель первого слагаемого:

$x + 2n = \frac{2n}{n-2} + 2n = \frac{2n + 2n(n-2)}{n-2} = \frac{2n + 2n^2 - 4n}{n-2} = \frac{2n^2 - 2n}{n-2} = \frac{2n(n-1)}{n-2}$

Таким образом, первое слагаемое равно:

$\frac{2x-4n}{x+2n} = \frac{\frac{4n(3-n)}{n-2}}{\frac{2n(n-1)}{n-2}} = \frac{4n(3-n)}{2n(n-1)} = \frac{2(3-n)}{n-1}$

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2n}{n-2}} = \frac{1}{\frac{4n}{n-2}} = \frac{n-2}{4n}$

Сложим оба слагаемых:

$\frac{2(3-n)}{n-1} + \frac{n-2}{4n} = \frac{4n \cdot 2(3-n) + (n-1)(n-2)}{4n(n-1)} = \frac{8n(3-n) + (n^2 - 2n - n + 2)}{4n(n-1)} = \frac{24n - 8n^2 + n^2 - 3n + 2}{4n(n-1)} = \frac{-7n^2 + 21n + 2}{4n(n-1)}$

Ответ: $\frac{-7n^2 + 21n + 2}{4n(n-1)}$

3) $\frac{3x-3}{(2-n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$

Рассмотрим уменьшаемое (первую дробь). Из исходного условия $x = \frac{2n}{n-2}$ следует, что $x(n-2) = 2n$, или $xn - 2x = 2n$. Умножив на -1, получим $2x - xn = -2n$, или $x(2-n) = -2n$.

Знаменатель первой дроби:

$(2-n)x + n = x(2-n) + n = -2n + n = -n$

Числитель первой дроби:

$3x - 3 = 3(x-1) = 3(\frac{2n}{n-2} - 1) = 3(\frac{2n - (n-2)}{n-2}) = 3 \cdot \frac{n+2}{n-2}$

Таким образом, первая дробь равна:

$\frac{3 \cdot \frac{n+2}{n-2}}{-n} = -\frac{3(n+2)}{n(n-2)}$

Теперь рассмотрим вычитаемое (вторую дробь). Числитель:

$x-3 = \frac{2n}{n-2} - 3 = \frac{2n - 3(n-2)}{n-2} = \frac{6-n}{n-2}$

Знаменатель второй дроби:

$2x-3n = 2 \cdot \frac{2n}{n-2} - 3n = \frac{4n}{n-2} - \frac{3n(n-2)}{n-2} = \frac{4n - 3n^2 + 6n}{n-2} = \frac{10n - 3n^2}{n-2} = \frac{n(10-3n)}{n-2}$

Таким образом, вторая дробь равна:

$\frac{\frac{6-n}{n-2}}{\frac{n(10-3n)}{n-2}} = \frac{6-n}{n(10-3n)}$

Теперь найдем разность двух дробей:

$-\frac{3(n+2)}{n(n-2)} - \frac{6-n}{n(10-3n)} = -\frac{1}{n} \left( \frac{3(n+2)}{n-2} + \frac{6-n}{10-3n} \right) = -\frac{1}{n} \left( \frac{3(n+2)(10-3n) + (6-n)(n-2)}{(n-2)(10-3n)} \right)$

$= -\frac{1}{n} \left( \frac{3(-3n^2+4n+20) + (-n^2+8n-12)}{(n-2)(10-3n)} \right) = -\frac{1}{n} \left( \frac{-9n^2+12n+60-n^2+8n-12}{(n-2)(10-3n)} \right)$

$= -\frac{-10n^2+20n+48}{n(n-2)(10-3n)} = \frac{10n^2-20n-48}{n(n-2)(10-3n)} = \frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(10-3n)}$

Ответ: $\frac{2(5n^2-10n-24)}{n(n-2)(10-3n)}$

26. Найдите значение выражения $(\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1) - 2$ при $x = 0,5$, $y = 4$.

Для нахождения значения выражения $ \left(\frac{x}{y} + 1\right)^2 + \left(\frac{x}{y} - 1\right) - 2 $ при $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $ можно сначала упростить его, а затем подставить значения переменных.

Способ 1: Упрощение выражения

Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Введем замену $ a = \frac{x}{y} $. Тогда выражение примет вид:

$ (a + 1)^2 + (a - 1) - 2 $

Раскроем скобки. Для первой скобки используем формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:

$ (a^2 + 2a + 1) + a - 1 - 2 $

Теперь приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + (2a + a) + (1 - 1 - 2) = a^2 + 3a - 2 $

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $ a = \frac{x}{y} $:

$ \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3\left(\frac{x}{y}\right) - 2 $

Найдем значение дроби $ \frac{x}{y} $ при заданных значениях $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $:

$ \frac{x}{y} = \frac{0,5}{4} = \frac{1/2}{4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} $

Подставим полученное значение $ \frac{1}{8} $ в упрощенное выражение:

$ \left(\frac{1}{8}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{8} - 2 = \frac{1}{64} + \frac{3}{8} - 2 $

Приведем дроби к общему знаменателю 64:

$ \frac{1}{64} + \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 8} - \frac{2 \cdot 64}{64} = \frac{1}{64} + \frac{24}{64} - \frac{128}{64} $

Выполним вычисления:

$ \frac{1 + 24 - 128}{64} = \frac{25 - 128}{64} = \frac{-103}{64} $

Способ 2: Прямая подстановка

Подставим значения $ x = 0,5 $ и $ y = 4 $ непосредственно в исходное выражение.

Сначала вычислим значение дроби $ \frac{x}{y} $:

$ \frac{x}{y} = \frac{0,5}{4} = 0,125 $ или $ \frac{1}{8} $.

Используем дробное представление для точности. Подставляем в выражение:

$ \left(\frac{1}{8} + 1\right)^2 + \left(\frac{1}{8} - 1\right) - 2 $

Вычисляем значения в скобках:

$ \frac{1}{8} + 1 = \frac{1}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8} $

$ \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8} $

Подставляем эти значения обратно в выражение:

$ \left(\frac{9}{8}\right)^2 + \left(-\frac{7}{8}\right) - 2 $

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

$ \frac{81}{64} - \frac{7}{8} - 2 $

Приводим к общему знаменателю 64:

$ \frac{81}{64} - \frac{7 \cdot 8}{8 \cdot 8} - \frac{2 \cdot 64}{64} = \frac{81}{64} - \frac{56}{64} - \frac{128}{64} $

Выполняем вычитание:

$ \frac{81 - 56 - 128}{64} = \frac{25 - 128}{64} = \frac{-103}{64} $

Результат можно представить в виде смешанной дроби $ -1\frac{39}{64} $ или десятичной дроби $ -1,609375 $.

Ответ: $ -\frac{103}{64} $

Докажите, что при допустимых значениях переменной не зависят от переменной значения выражений (27–28):

27. 1) $ \left( \frac{4a}{a^2 - 1} + \frac{a - 1}{a + 1} \right) \cdot \frac{a}{a + 1} - \frac{a}{a - 1} $

2) $ \left( \frac{8a}{a^2 - 4} + \frac{a - 2}{a + 2} \right) \cdot \frac{a}{a + 2} - \frac{a}{a - 2} $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно его упростить. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $a$ определяется из условий, что знаменатели дробей не равны нулю: $a^2-1 \neq 0$, $a+1 \neq 0$, $a-1 \neq 0$. Это означает, что $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Выполним действия по порядку.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель $a^2-1$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
$ \frac{4a}{a^2-1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{4a}{(a-1)(a+1)} + \frac{a-1}{a+1} $
Общий знаменатель — $(a-1)(a+1)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a-1)$:
$ \frac{4a}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a + (a-1)^2}{(a-1)(a+1)} $
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$:
$ \frac{4a + a^2-2a+1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{(a-1)(a+1)} $
Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом суммы: $(a+1)^2$.
$ \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)} $
Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (это возможно, так как $a \neq -1$):
$ \frac{a+1}{a-1} $
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:
$ \left( \frac{a+1}{a-1} \right) \cdot \frac{a}{a+1} - \frac{a}{a-1} = \frac{(a+1)a}{(a-1)(a+1)} - \frac{a}{a-1} $
Сократим первую дробь на $(a+1)$: $ \frac{a}{a-1} - \frac{a}{a-1} = 0 $
В результате упрощения мы получили число 0, которое не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 0.

2) Упростим выражение. ОДЗ переменной $a$ определяется условиями: $a^2-4 \neq 0$, $a+2 \neq 0$, $a-2 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
Выполним действия по порядку.
Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $a^2-4$ на множители: $a^2-4 = (a-2)(a+2)$.
$ \frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2} = \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{a-2}{a+2} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$: $ \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{8a + (a-2)^2}{(a-2)(a+2)} $
Раскроем квадрат разности в числителе:
$ \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} $
Числитель $a^2+4a+4$ является полным квадратом суммы: $(a+2)^2$.
$ \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} $
Сократим дробь на $(a+2)$ (это возможно, так как $a \neq -2$):
$ \frac{a+2}{a-2} $
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$ \left( \frac{a+2}{a-2} \right) \cdot \frac{a}{a+2} - \frac{a}{a-2} = \frac{(a+2)a}{(a-2)(a+2)} - \frac{a}{a-2} $
Сократим первую дробь на $(a+2)$: $ \frac{a}{a-2} - \frac{a}{a-2} = 0 $
В результате упрощения мы получили число 0, которое не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: 0.