Страница 275 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

34. 1) Найдите скорости двух автомобилей, если известно, что скорость их сближения равна 173 км/ч, а скорость удаления равна 17 км/ч.

2) Найдите скорость течения реки и собственную скорость теплохода, если его скорость по течению реки равна 47 км/ч, а против течения — 39 км/ч.

1) Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости двух автомобилей. Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме их скоростей. Скорость удаления при движении в одном направлении равна разности их скоростей. Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 173 \\ v_1 - v_2 = 17 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 173 + 17$

$2v_1 = 190$

$v_1 = \frac{190}{2} = 95$ (км/ч)

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$:

$95 + v_2 = 173$

$v_2 = 173 - 95 = 78$ (км/ч)

Проверим, вычитая скорости: $95 - 78 = 17$ (км/ч), что соответствует условию.

Ответ: скорости автомобилей равны 95 км/ч и 78 км/ч.

2) Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость теплохода, а $v_{теч}$ — скорость течения реки. Скорость теплохода по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения. Скорость против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 47 \\ v_{соб} - v_{теч} = 39 \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы найти собственную скорость теплохода:

$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 47 + 39$

$2v_{соб} = 86$

$v_{соб} = \frac{86}{2} = 43$ (км/ч)

Подставим значение собственной скорости в первое уравнение, чтобы найти скорость течения:

$43 + v_{теч} = 47$

$v_{теч} = 47 - 43 = 4$ (км/ч)

Ответ: собственная скорость теплохода — 43 км/ч, скорость течения реки — 4 км/ч.

35*. Решите систему с параметром:

1)

$\begin{cases} -2x+5y-7=0, \\ px+3y-1=0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 8x-9y+4=0, \\ 4x-py+2=0. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} -2x + 5y - 7 = 0 \\ px + 3y - 1 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в стандартном виде $a_1x + b_1y = c_1$ и $a_2x + b_2y = c_2$:

$\begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ px + 3y = 1 \end{cases}$

Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель основной матрицы коэффициентов не равен нулю.

$\Delta = \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ p & 3 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 3 - 5 \cdot p = -6 - 5p$

Система имеет единственное решение при $\Delta \neq 0$, то есть:

$-6 - 5p \neq 0 \implies 5p \neq -6 \implies p \neq -\frac{6}{5}$

Найдем решение для случая $p \neq -\frac{6}{5}$, используя метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$-2x = 7 - 5y \implies x = \frac{5y - 7}{2}$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение:

$p(\frac{5y - 7}{2}) + 3y = 1$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$p(5y - 7) + 6y = 2$

$5py - 7p + 6y = 2$

$y(5p + 6) = 7p + 2$

$y = \frac{7p + 2}{5p + 6}$

Теперь найдем $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = \frac{5(\frac{7p + 2}{5p + 6}) - 7}{2} = \frac{\frac{5(7p + 2) - 7(5p + 6)}{5p + 6}}{2} = \frac{35p + 10 - 35p - 42}{2(5p + 6)} = \frac{-32}{2(5p + 6)} = \frac{-16}{5p + 6}$

Таким образом, при $p \neq -\frac{6}{5}$ система имеет единственное решение: $(x, y) = (\frac{-16}{5p + 6}, \frac{7p + 2}{5p + 6})$.

Рассмотрим случай, когда определитель равен нулю: $\Delta = 0$, то есть $p = -\frac{6}{5}$.

Подставим это значение $p$ в исходную систему:

$\begin{cases} -2x + 5y = 7 \\ -\frac{6}{5}x + 3y = 1 \end{cases}$

Проверим соотношение коэффициентов. Для того, чтобы система не имела решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

$\frac{-2}{-6/5} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{7}{1} = 7$

Так как $\frac{5}{3} = \frac{5}{3} \neq 7$, то уравнения описывают две параллельные несовпадающие прямые. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: если $p \neq -\frac{6}{5}$, то система имеет единственное решение $x = \frac{-16}{5p + 6}$, $y = \frac{7p + 2}{5p + 6}$; если $p = -\frac{6}{5}$, то система не имеет решений.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 8x - 9y + 4 = 0 \\ 4x - py + 2 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему в стандартном виде:

$\begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - py = -2 \end{cases}$

Найдем определитель основной матрицы коэффициентов:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & -9 \\ 4 & -p \end{vmatrix} = 8 \cdot (-p) - (-9) \cdot 4 = -8p + 36$

Система имеет единственное решение при $\Delta \neq 0$:

$-8p + 36 \neq 0 \implies 8p \neq 36 \implies p \neq \frac{36}{8} \implies p \neq \frac{9}{2}$

Найдем решение для случая $p \neq \frac{9}{2}$. Умножим второе уравнение на 2:

$2(4x - py) = 2(-2) \implies 8x - 2py = -4$

Вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы:

$(8x - 9y) - (8x - 2py) = -4 - (-4)$

$8x - 9y - 8x + 2py = 0$

$2py - 9y = 0$

$y(2p - 9) = 0$

Поскольку мы рассматриваем случай $p \neq \frac{9}{2}$, то $2p - 9 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(2p-9)$, получая $y = 0$.

Подставим $y=0$ во второе исходное уравнение:

$4x - p \cdot 0 = -2 \implies 4x = -2 \implies x = -\frac{1}{2}$

Таким образом, при $p \neq \frac{9}{2}$ система имеет единственное решение: $(x, y) = (-\frac{1}{2}, 0)$.

Рассмотрим случай, когда определитель равен нулю: $\Delta = 0$, то есть $p = \frac{9}{2}$.

Подставим это значение $p$ в систему:

$\begin{cases} 8x - 9y = -4 \\ 4x - \frac{9}{2}y = -2 \end{cases}$

Проверим соотношение коэффициентов. Для того, чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

$\frac{8}{4} = 2$

$\frac{-9}{-9/2} = 2$

$\frac{-4}{-2} = 2$

Так как все соотношения равны 2, уравнения являются зависимыми (одно получается из другого умножением на константу). Это означает, что система имеет бесконечно много решений. Все точки, лежащие на прямой $8x - 9y = -4$, являются решениями.

Выразим $y$ через $x$ из этого уравнения:

$9y = 8x + 4 \implies y = \frac{8}{9}x + \frac{4}{9}$

Решениями являются все пары чисел вида $(t, \frac{8}{9}t + \frac{4}{9})$, где $t$ — любое действительное число.

Ответ: если $p \neq \frac{9}{2}$, то система имеет единственное решение $x = -\frac{1}{2}$, $y = 0$; если $p = \frac{9}{2}$, то система имеет бесконечно много решений вида $(t, \frac{8}{9}t + \frac{4}{9})$, где $t \in \mathbb{R}$.

36. При каких значениях переменной $x$ принимает неотрицательное значение выражение:

1) $5x - 16;$

2) $47 - 97x;$

3) $x^2 - 11 - x(x - 2);$

4) $x(3 + x) - x^2 - 33;$

5) $(x + 5)^2 - x^2 - 12x;$

6) $20x + x^2 - (4 - x)^2?$

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых выражение принимает неотрицательное значение, необходимо решить неравенство "выражение $\ge 0$".

1) $5x - 16$

Составим и решим неравенство:

$5x - 16 \ge 0$

Перенесем слагаемое $-16$ в правую часть, изменив его знак:

$5x \ge 16$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x \ge \frac{16}{5}$

$x \ge 3.2$

Ответ: при $x \ge 3.2$.

2) $47 - 97x$

Составим и решим неравенство:

$47 - 97x \ge 0$

Перенесем слагаемое 47 в правую часть:

$-97x \ge -47$

Разделим обе части на $-97$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-47}{-97}$

$x \le \frac{47}{97}$

Ответ: при $x \le \frac{47}{97}$.

3) $x^2 - 11 - x(x-2)$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$x^2 - 11 - x(x-2) = x^2 - 11 - x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 2x - 11 = 2x - 11$

Теперь решим неравенство:

$2x - 11 \ge 0$

$2x \ge 11$

$x \ge \frac{11}{2}$

$x \ge 5.5$

Ответ: при $x \ge 5.5$.

4) $x(3 + x) - x^2 - 33$

Упростим выражение:

$x(3 + x) - x^2 - 33 = 3x + x^2 - x^2 - 33$

Приведем подобные слагаемые:

$3x + (x^2 - x^2) - 33 = 3x - 33$

Решим неравенство:

$3x - 33 \ge 0$

$3x \ge 33$

$x \ge \frac{33}{3}$

$x \ge 11$

Ответ: при $x \ge 11$.

5) $(x + 5)^2 - x^2 - 12x$

Упростим выражение, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 - 12x = x^2 + 10x + 25 - x^2 - 12x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (10x - 12x) + 25 = -2x + 25$

Решим неравенство:

$-2x + 25 \ge 0$

$-2x \ge -25$

Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства:

$x \le \frac{-25}{-2}$

$x \le 12.5$

Ответ: при $x \le 12.5$.

6) $20x + x^2 - (4 - x)^2$

Упростим выражение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$20x + x^2 - (4^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + x^2) = 20x + x^2 - (16 - 8x + x^2)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$20x + x^2 - 16 + 8x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(20x + 8x) + (x^2 - x^2) - 16 = 28x - 16$

Решим неравенство:

$28x - 16 \ge 0$

$28x \ge 16$

$x \ge \frac{16}{28}$

Сократим дробь на 4:

$x \ge \frac{4}{7}$

Ответ: при $x \ge \frac{4}{7}$.

37. При каких значениях переменной y меньше нуля значение разности двух выражений:

1) $y^2 - 16$ и $8y + y^2$;

2) $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$;

3) $(1-y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$;

4) $87 + y^2$ и $(y - 3)^2 - 5?

1) Чтобы найти значения переменной $y$, при которых значение разности выражений $y^2 - 16$ и $8y + y^2$ меньше нуля, необходимо составить и решить неравенство. Разность выражений должна быть меньше нуля:

$(y^2 - 16) - (8y + y^2) < 0$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$y^2 - 16 - 8y - y^2 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются:

$-8y - 16 < 0$

Перенесем число -16 в правую часть неравенства, изменив его знак:

$-8y < 16$

Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y > \frac{16}{-8}$

$y > -2$

Ответ: при $y > -2$.

2) Составим неравенство для разности выражений $5y^3 + 10y$ и $17 + 5y^3$:

$(5y^3 + 10y) - (17 + 5y^3) < 0$

Раскроем скобки:

$5y^3 + 10y - 17 - 5y^3 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $5y^3$ и $-5y^3$ взаимно уничтожаются:

$10y - 17 < 0$

Перенесем число -17 в правую часть неравенства:

$10y < 17$

Разделим обе части на 10:

$y < \frac{17}{10}$

$y < 1,7$

Ответ: при $y < 1,7$.

3) Составим неравенство для разности выражений $(1-y)^2 + 13$ и $y^2 - 6$:

$((1-y)^2 + 13) - (y^2 - 6) < 0$

Сначала раскроем скобки $(1-y)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(1 - 2y + y^2) + 13 - (y^2 - 6) < 0$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$1 - 2y + y^2 + 13 - y^2 + 6 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются. Сложим числовые коэффициенты: $1 + 13 + 6 = 20$.

$-2y + 20 < 0$

Перенесем 20 в правую часть:

$-2y < -20$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$y > \frac{-20}{-2}$

$y > 10$

Ответ: при $y > 10$.

4) Составим неравенство для разности выражений $87 + y^2$ и $(y-3)^2 - 5$:

$(87 + y^2) - ((y-3)^2 - 5) < 0$

Раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата разности:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 9 - 5) < 0$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(87 + y^2) - (y^2 - 6y + 4) < 0$

Раскроем скобки:

$87 + y^2 - y^2 + 6y - 4 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Члены $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются. Вычтем числа: $87 - 4 = 83$.

$6y + 83 < 0$

Перенесем 83 в правую часть:

$6y < -83$

Разделим обе части на 6:

$y < -\frac{83}{6}$

Ответ: при $y < -83/6$.

38. Постройте график уравнения:

1) $x + y - 3 = 0;$

2) $x - y - 3 = 0;$

3) $y - x + 3 = 0;$

4) $y - x - 3 = 0;$

5) $y + 2x^3 = 0;$

6) $y - \frac{3}{x} = 0;$

7) $y + \frac{0,3}{x} = 0.$

Это линейное уравнение. Чтобы построить его график, выразим $y$ через $x$, получив уравнение вида $y = kx + b$.

$y = -x + 3$

Графиком этого уравнения является прямая линия. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек. Возьмем точки пересечения с осями координат:

Если $x=0$, то $y = -0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.

Если $y=0$, то $0 = -x + 3$, откуда $x = 3$. Получаем точку $(3; 0)$.

Проведем прямую через эти две точки на координатной плоскости.

Ответ: График уравнения — прямая линия, показанная на рисунке.

Это линейное уравнение. Преобразуем его к виду $y = kx + b$:

$-y = -x + 3 \implies y = x - 3$

Графиком является прямая. Для построения найдем две точки:

Если $x=0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.

Если $y=0$, то $0 = x - 3$, откуда $x = 3$. Точка $(3; 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Ответ: График уравнения — прямая линия, показанная на рисунке.

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y = x - 3$

Это уравнение идентично уравнению в пункте 2), поэтому его график будет таким же. Он проходит через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$.

Ответ: График уравнения — прямая линия, показанная на рисунке.

Это линейное уравнение. Преобразуем его к виду $y = kx + b$:

$y = x + 3$

Графиком является прямая. Для построения найдем две точки:

Если $x=0$, то $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.

Если $y=0$, то $0 = x + 3$, откуда $x = -3$. Точка $(-3; 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Ответ: График уравнения — прямая линия, показанная на рисунке.

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y = -2x^3$

Это кубическая функция. Ее график — кубическая парабола. Построим его по точкам. Найдем несколько точек:

При $x=0, y=0$. Точка $(0; 0)$.

При $x=1, y=-2(1)^3=-2$. Точка $(1; -2)$.

При $x=-1, y=-2(-1)^3=2$. Точка $(-1; 2)$.

При $x=1.5, y=-2(1.5)^3=-6.75$.

При $x=-1.5, y=-2(-1.5)^3=6.75$.

Соединим точки плавной кривой.

Ответ: График уравнения — кубическая парабола, показанная на рисунке.

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y = \frac{3}{x}$

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения: $x \neq 0$. График состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Построим по точкам:

Для I четверти: $(1; 3), (1.5; 2), (3; 1)$.

Для III четверти: $(-1; -3), (-1.5; -2), (-3; -1)$.

Ответ: График уравнения — гипербола, показанная на рисунке.

Преобразуем уравнение, выразив $y$ через $x$:

$y = -\frac{0.3}{x}$

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Область определения: $x \neq 0$. Из-за отрицательного коэффициента ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Построим по точкам:

Для II четверти: $(-1; 0.3), (-0.5; 0.6), (-0.3; 1)$.

Для IV четверти: $(1; -0.3), (0.5; -0.6), (0.3; -1)$.

Ответ: График уравнения — гипербола, показанная на рисунке.

39. Запишите формулу линейной функции, график которой проходит через точки:

1) $A(-3; 2)$ и $B(1; -1)$;

2) $M(-4; -2)$ и $K(2; 4)$;

3) $F(-1; 6)$ и $E(1; -6)$;

4) $T(5; 3)$ и $P(-5; -3)$.

1) A(-3; 2) и B(1; -1)
Общий вид линейной функции: $y = kx + b$.
Поскольку график функции проходит через точки A и B, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точек в уравнение и получим систему:
$\begin{cases} 2 = k \cdot (-3) + b \\ -1 = k \cdot 1 + b \end{cases}$
$\begin{cases} 2 = -3k + b \\ -1 = k + b \end{cases}$
Вычтем из первого уравнения второе:
$2 - (-1) = (-3k + b) - (k + b)$
$3 = -3k + b - k - b$
$3 = -4k$
$k = -\frac{3}{4}$
Теперь подставим найденное значение $k$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:
$-1 = -\frac{3}{4} + b$
$b = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{4}{4} + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}$
Таким образом, искомая формула линейной функции: $y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
Ответ: $y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

2) M(-4; -2) и K(2; 4)
Ищем функцию в виде $y = kx + b$. Подставим координаты точек M и K в уравнение:
$\begin{cases} -2 = k \cdot (-4) + b \\ 4 = k \cdot 2 + b \end{cases}$
$\begin{cases} -2 = -4k + b \\ 4 = 2k + b \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$4 - (-2) = (2k + b) - (-4k + b)$
$6 = 2k + b + 4k - b$
$6 = 6k$
$k = 1$
Подставим значение $k=1$ во второе уравнение системы:
$4 = 2 \cdot 1 + b$
$4 = 2 + b$
$b = 4 - 2 = 2$
Искомая формула: $y = 1 \cdot x + 2$ или $y = x + 2$.
Ответ: $y = x + 2$

3) F(-1; 6) и E(1; -6)
Ищем функцию в виде $y = kx + b$. Подставим координаты точек F и E в уравнение:
$\begin{cases} 6 = k \cdot (-1) + b \\ -6 = k \cdot 1 + b \end{cases}$
$\begin{cases} 6 = -k + b \\ -6 = k + b \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$6 + (-6) = (-k + b) + (k + b)$
$0 = 2b$
$b = 0$
Подставим значение $b=0$ во второе уравнение системы:
$-6 = k + 0$
$k = -6$
Искомая формула: $y = -6x + 0$ или $y = -6x$.
Ответ: $y = -6x$

4) T(5; 3) и P(-5; -3)
Ищем функцию в виде $y = kx + b$. Подставим координаты точек T и P в уравнение:
$\begin{cases} 3 = k \cdot 5 + b \\ -3 = k \cdot (-5) + b \end{cases}$
$\begin{cases} 3 = 5k + b \\ -3 = -5k + b \end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$3 + (-3) = (5k + b) + (-5k + b)$
$0 = 2b$
$b = 0$
Подставим значение $b=0$ в первое уравнение системы:
$3 = 5k + 0$
$3 = 5k$
$k = \frac{3}{5}$
Искомая формула: $y = \frac{3}{5}x + 0$ или $y = \frac{3}{5}x$.
Ответ: $y = \frac{3}{5}x$

40. Для каких значений переменной x график уравнения:

1) $2,3x - 7y + 4 = 0;$

2) $5x + 4y - 9 = 0;$

3) $x^2 + y = 0;$

4) $y = 2x^2;$

5) $y - \frac{3}{x} = 0;$

6) $y + \frac{2}{x} = 0;$

расположен ниже оси абсцисс?

1) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых график уравнения $2.3x - 7y + 4 = 0$ расположен ниже оси абсцисс, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Сначала выразим $y$ через $x$ из данного уравнения:

$-7y = -2.3x - 4$

$7y = 2.3x + 4$

$y = \frac{2.3x + 4}{7}$

Теперь решим неравенство $y < 0$:

$\frac{2.3x + 4}{7} < 0$

Поскольку знаменатель 7 является положительным числом, мы можем умножить обе части неравенства на 7, не меняя знака:

$2.3x + 4 < 0$

$2.3x < -4$

$x < -\frac{4}{2.3}$

$x < -\frac{40}{23}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{40}{23})$.

2) Для уравнения $5x + 4y - 9 = 0$ найдем значения $x$, при которых $y < 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$4y = 9 - 5x$

$y = \frac{9 - 5x}{4}$

Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{9 - 5x}{4} < 0$

Умножим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):

$9 - 5x < 0$

$9 < 5x$

$x > \frac{9}{5}$

Ответ: $x \in (\frac{9}{5}; +\infty)$.

3) Для уравнения $x^2 + y = 0$ найдем значения $x$, при которых $y < 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -x^2$

Решим неравенство $y < 0$:

$-x^2 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Равенство нулю достигается только при $x=0$. Следовательно, неравенство $x^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) Для уравнения $y = 2x^2$ найдем значения $x$, при которых $y < 0$.

Решим неравенство $y < 0$:

$2x^2 < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2 < 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у этого неравенства нет решений.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

5) Для уравнения $y - \frac{3}{x} = 0$ найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{3}{x}$

Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{3}{x} < 0$

Так как числитель 3 является положительным числом, дробь будет отрицательной только в том случае, если ее знаменатель отрицателен.

$x < 0$

Это условие не противоречит области определения.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

6) Для уравнения $y + \frac{2}{x} = 0$ найдем значения $x$, при которых $y < 0$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = -\frac{2}{x}$

Решим неравенство $y < 0$:

$-\frac{2}{x} < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{2}{x} > 0$

Так как числитель 2 является положительным числом, дробь будет положительной только в том случае, если ее знаменатель положителен.

$x > 0$

Это условие не противоречит области определения.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

41. С помощью графика функции, изображенного на рисунке 1, найдите:

1) область ее определения;

2) значения аргумента $x$, для которых функция возрастает;

3) значения аргумента $x$, для которых функция убывает;

4) координаты точек $A, B, C, D$;

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;

6) уравнения, графиками которых являются прямые $AB, BC, CD$.

1) область ее определения;

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, для которых функция определена. Глядя на график, мы видим, что он начинается в точке A с абсциссой $x = -5$ и заканчивается в точке D с абсциссой $x = 4$. Таким образом, функция определена на отрезке от -5 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-5; 4]$.

2) значения аргумента x, для которых функция возрастает;

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график идет вверх при движении слева направо. На данном графике это происходит на отрезках AB и BC. Объединяя абсциссы этих отрезков, получаем, что функция возрастает от $x = -5$ (точка A) до $x = 1$ (точка C).

Ответ: $x \in [-5; 1]$.

3) значения аргумента x, для которых функция убывает;

Функция убывает на тех промежутках, где ее график идет вниз при движении слева направо. На данном графике это происходит на отрезке CD, который начинается при $x = 1$ и заканчивается при $x = 4$.

Ответ: $x \in [1; 4]$.

4) координаты точек A, B, C, D;

Определим координаты точек по клеткам на графике, считая, что одна клетка равна единице. Точка A находится в 5 клетках влево и 4 клетках вниз от начала координат, ее координаты: $(-5, -4)$. Точка B находится в 2 клетках влево и 2 клетках вниз, ее координаты: $(-2, -2)$. Точка C находится в 1 клетке вправо и 2 клетках вверх, ее координаты: $(1, 2)$. Точка D находится в 4 клетках вправо и 5 клетках вниз, ее координаты: $(4, -5)$.

Ответ: A(-5; -4), B(-2; -2), C(1; 2), D(4; -5).

5) координаты точек пересечения графика с осями координат;

Найдем точки, в которых график пересекает ось абсцисс (Ox) и ось ординат (Oy).
Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$. Эта точка лежит на отрезке BC. Найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(-2; -2) и C(1; 2). Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{4}{3}$. Уравнение прямой: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1)$, что дает $y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. При $x=0$, $y = \frac{2}{3}$. Точка пересечения с Oy: $(0, \frac{2}{3})$.
Пересечение с осью Ox происходит при $y=0$. Используя то же уравнение, решим $0 = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. Отсюда $\frac{4}{3}x = -\frac{2}{3}$, что дает $x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0,5$. Точка пересечения с Ox: $(-0,5; 0)$.

Ответ: с осью Ox в точке $(-0,5; 0)$, с осью Oy в точке $(0; \frac{2}{3})$.

6) уравнения, графиками которых являются прямые AB, BC, CD.

Найдем уравнения для каждого отрезка прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
Для прямой AB, проходящей через A(-5; -4) и B(-2; -2):
$k_{AB} = \frac{-2 - (-4)}{-2 - (-5)} = \frac{2}{3}$.
Уравнение: $y - (-2) = \frac{2}{3}(x - (-2)) \implies y + 2 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3} \implies y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$.
Для прямой BC, проходящей через B(-2; -2) и C(1; 2):
$k_{BC} = \frac{2 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{4}{3}$.
Уравнение: $y - 2 = \frac{4}{3}(x - 1) \implies y = \frac{4}{3}x - \frac{4}{3} + 2 \implies y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$.
Для прямой CD, проходящей через C(1; 2) и D(4; -5):
$k_{CD} = \frac{-5 - 2}{4 - 1} = -\frac{7}{3}$.
Уравнение: $y - 2 = -\frac{7}{3}(x - 1) \implies y = -\frac{7}{3}x + \frac{7}{3} + 2 \implies y = -\frac{7}{3}x + \frac{13}{3}$.

Ответ: AB: $y = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}$; BC: $y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$; CD: $y = -\frac{7}{3}x + \frac{13}{3}$.